天津市河西区2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题含解析

PAGE15-天津市河西区2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若向量，向量，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，则，代入运算即可得解.【详解】解:因为向量，向量，则,则,故选:C.【点睛】本题考查了向量减法的坐标运算，属基础题.2.设是椭圆上的一动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由椭圆的定义即可得解.【详解】解：设椭圆的两个焦点为，点为椭圆上的点，由椭圆的定义有：，故选：B.【点睛】本题考查了椭圆的定义，属基础题.3.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】先将抛物线方程化为标准方程，再求抛物线的准线方程即可.【详解】解：由抛物线的方程为，化为标准式可得，即抛物线的准线方程是：，故选：D.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，重点考查了抛物线的准线方程，属基础题.4.中心在坐标原心、焦点在x轴，且长轴长为18、焦距为12的椭圆的标准方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据条件，求得a、b、c的值，进而可得椭圆的标准方程．【详解】由题可得，，故，，又焦点在轴上，所以所求椭圆的标准方程为，故选A．【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，留意焦点的位置，属于基础题．5.如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】,故本题正确答案为6.已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】由e==2得4==1+,∴=3.∴双曲线的渐近线方程为y=±x,抛物线x2=2py的焦点是（0,）,它到直线y=±x的距离d=2==,∴p=8.∴抛物线方程为x2=16y.故选D.7.若两个向量,则平面的一个法向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设平面ABC的法向量为，依据数量积等于0，列出方程组，即可求解.【详解】设平面ABC的法向量为，则，即，令，则，即平面ABC的一个法向量为，故选A.【点睛】本题主要考查了平面的法向量的求解，其中解答中依据法向量与平面内的两个不共线的向量垂直，列出关于的方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算实力，属于基础题.8.已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出点坐标，作关于准线的对称点，利用连点之间相对最短得出为的最小值．【详解】解：抛物线的准线方程为，∵，∴到准线的距离为，故点纵坐标为，把代入抛物线方程可得．不妨设在第一象限，则，点关于准线的对称点为，连接，则，于是故的最小值为．故选B．【点睛】本题考查了抛物线的简洁性质，属于基础题．9.设分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线的左顶点，为直径的圆交双曲线某条渐近线于两点，且满意，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出双曲线渐近线方程，然后求出，再利用向量数量积运算即可得解.【详解】解：由双曲线方程为，则其渐近线方程为，联立，解得或，即，又，则，，则，解得，即，即，即，故选：B.【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，重点考查了双曲线的离心率，属中档题.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分.10.若向量，向量，且，则_____，_____.【答案】(1).1(2).-2【解析】【分析】由题意可得，再求解即可.【详解】解：由向量，向量，且，则，解得：，故答案为：1，-2.【点睛】本题考查了空间向量共线的坐标运算，属基础题.11.若双曲线上一点到左焦点的距离为4，则点到右焦点的距离是.【答案】10【解析】试题分析：由双曲线方程可知，由定义得考点：双曲线定义点评：双曲线上点到两焦点距离之差的肯定值等于12.若方程表示焦点在轴的椭圆，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】由椭圆的几何性质可得，再解不等式组即可得解.【详解】解：由方程表示焦点在轴的椭圆，则，解得：，即，故答案为：.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，属基础题.13.在空间直角坐标系中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______.【答案】【解析】【分析】先求出向量与所成角的余弦值，再求异面直线与所成角的余弦值即可.【详解】解：由，，，则,,则向量与所成角的余弦值为,则异面直线与所成角的余弦值为,故答案为：.【点睛】本题考查了空间向量坐标运算，重点考查了空间向量的应用，属基础题.14.已知过点M（1，0）的直线AB与抛物线y2=2x交于A，B两点，O为坐标原点，若OA，OB的斜率之和为1，则直线AB方程为______．【答案】2x+y-2=0【解析】【分析】设直线AB的方程并代入抛物线方程，依据韦达定理以及斜率公式，可得的值，进而得到直线的方程．【详解】依题意可设直线AB的方程为：x=ty+1，代入y2=2x得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=-2，y1+y2=2t，所以，∴，解得，∴直线AB的方程为：x=+1，即2x+y-2=0．故答案为2x+y-2=0．【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，以及直线方程的求解，其中设出直线的方程，代入抛物线的方程，利用韦达定理以及斜率公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于中档试题．15.在空间直角坐标系中，，，且，则的最小值是________，最大值是__________.【答案】(1).0(2).8【解析】【分析】先利用空间向量数量积运算可得，再利用椭圆的参数方程求最值即可得解.【详解】解：因为，，且，所以，即，设，则，又，则，故答案为：0，8.【点睛】本题考查了空间向量数量积运算，重点考查了椭圆的参数方程，属中档题.三.解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.【答案】（1）；（2）实轴长2，离心率为，距离为【解析】【分析】（1）由共渐近线双曲线方程的求法求解即可；（2）由双曲线方程及点到直线距离求解即可.【详解】解：（1）解：在双曲线中，，，则渐近线方程为，∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，，∴方程可化为，又双曲线经过点，代入方程，，解得，，∴双曲线的方程为.（2）解；由（1）知双曲线中，，，，∴实轴长，离心率为，设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，，即焦点到渐近线的距离为.【点睛】本题考查了共渐近线双曲线方程的求法，重点考查了点到直线的距离，属基础题.17.如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若点在线段（不包含端点）上，且直线平面，求线段的长.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，再标出点的坐标，利用空间向量的应用即可得证；（2）求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，再利用数量积公式求解即可；（3）假设棱上存在点，使平面，由求解即可.【详解】证明：（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，则，，，设是平面的一个法向量，则由，得，取，得.，，又平面，平面.（2）解：由（1）知是平面的一个法向量，又是平面的一个法向量.设二面角的平面角为，由图可知，,故二面角的平面角的余弦值为.（3）假设棱上存在点，使平面，设，则，，，，由得，解得，，则.【点睛】本题考查了空间向量的综合应用，重点考查了运算实力，属中档题.18.已知点A(0，－2)，椭圆E：(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，所以，.又解得，所以椭圆的方程为.（2）解：设由题意可设直线的方程为：，联立消去得，当，所以，即或时.所以点到直线的距离所以，设，则，，当且仅当，即，解得时取等号，满意所以的面积最大时直线的