数学（人教版选修22）课件133函数的最大（小）值与导数

第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大(小)值与导数1．理解函数的最值的概念．(难点)2．了解函数的最值与极值的区别与联系．(易混点)3．会用导数求在给定区间上函数的最值．(重点)1．函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的________；(2)将函数y＝f(x)的________与________处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是________，最小的一个就是________．连续不断极值各极值端点最大值最小值1．函数f(x)＝x3－3x(x<1)(

)A．有最大值，无最小值B．有最大值，最小值C．无最大值，最小值 D．无最大值，有最小值解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1(舍)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0.从而函数f(x)有最大值，无最小值，故选A.答案：A(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．对函数最值的两点说明(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．函数极值与最值的关系【想一想】

1.函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？提示：不一定，也可能是区间端点的函数值．2．怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？提示：比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．3．如果在开区间(a，b)上的函数y＝f(x)只有一个极值且为极小值，那么函数在开区间(a，b)上有最值吗？提示：有最小值，无最大值．若x0是函数的极值点，则函数在(a，x0)是减函数，在(x0，b)是增函数，故f(x)在x0处取得最小值．

求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．求已知函数的最值[自主解答]

(1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.1．把本例(1)中“x∈[－3,2]”改为“x∈[0,2]”求相应问题．已知函数的最值求参数解决由函数的最值来确定参数问题的关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，其最值也受a的符号的影响，因此，需要进行分类讨论．本题是运用最值的定义，从逆向出发，由已知向未知转化，通过待定系数法，布列相应的方程，从而得出参数的值．2．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．解：由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.

已知函数f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x＞0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x＞0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．与最值有关的恒成立问题1．涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．2．不等式恒成立、能成立常见的转化策略：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max，a＜f(x)恒成立⇔a<f(x)min；(2)f(x)＞g(x)＋k恒成立⇔k＜[f(x)－g(x)]min；(3)f(x)＞g(x)恒成立⇔f(x)min＞g(x)max；(4)a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)min，a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)max.3．设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.利用导数证明不等式4．证明：当x>0时，1＋2x<e2x.证明：设f(x)＝1＋2x－e2x，则f′(x)＝2－2e2x＝2(1－e2x)．当x>0时，e2x>e0＝1，∴f′(x)＝2(1－e2x)<0.∴函数f(x)＝1＋2x－e2x在(0，＋∞)上是减函数．∴f(x)<f(0)＝0，x∈(0