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6.2.4平面向量的数量积（第一课时）年级：高一学科：数学（人教A版）整体统摄，明确思路向量的加法、减法和数乘运算，我们把这些运算统称为向量的线性运算.

问题1：我们是如何研究这些运算的呢？背景定义性质应用

问题2：向量及其线性运算有明确的物理背景，在所学的物理知识中，哪个概念可以作为“向量乘法（两向量相乘）”的物理背景呢？

功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功,其中是F与s的夹角.

追问1：在功的定义中涉及哪些要素呢？力、位移、夹角向量积数量揭示背景，引出概念向量夹角的定义B0A平面向量数量积定义

已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(也叫内积)，记作，即

【规定】零向量与任一向量的数量积为0【注意】“·”不能省略，也不能写成“×”思考：对比向量的线性运算，数量积的运算结果有什么不同？类比迁移，形成概念追问2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？例1已知解：例2解：

由

，得∵

∴

.知三求一初步应用，例题选讲A0B图1问题3：对于任意两个向量，如图，如何得到一个向量向另一个向量的投影向量？图2探究思考，得到概念设

是两个非零向量，

，过

的起点A和终点B，分别作

所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到

，我们称这种变换为向量

向向量

投影，

叫做向量

在向量

上的投影向量．

我们可以在平面内任取一点O，作.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量

探究

如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，那么

与，，θ之间有怎样的关系？

显然与

共线，于是所以当θ为锐角时，与

方向相同，当θ=0时，λ=，当θ为直角时，λ=，所以当θ为钝角时，与

方向相反，当θ=

时，λ=，所以综上可知，对任意的都有:探究：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？问题6：给出了数量积的定义后，接下来要研究什么？你认为可以如何开展研究？追问1：你认为应该怎样入手研究几何性质？你能得出哪些几何性质？深化定义，探究性质追问2：回顾上面研究性质的过程，你能说说研究一种向量运算的几何性质时所采用的思想方法吗？探究思考，得到概念数量积的性质反思小结，构建网络问题7：请你带着下面的问题，对本节课进行总结(1)你能归纳课我们是如何研究向量的数量积运算的吗?(2)你认为定义向量的数量积时,应注意哪些问题?(3)你认为我们可以利用投影向量解决怎样的问题?(4)向量数量积的性质要研究的问题是什么?我们是如何发现数量积的几何性质的?反思

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