平均变化率学案(有答案)(五)

3.1.1平均变化率

高二・一部数学组刘苏文2017年4月3日

知识梳理•］

1.函数f(X)在区间因，X2］上的平均变化率为.习惯

上用Jx表示,即,可把/X看作是相对于XI

的一个““，可用代替X2；类似地，4y=

,因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为.

2.函数y=f(x)的平均变化率务=*■)二*x］)的几何意义是:表示

连接函数y=f(x)图象上两点(X1,f(xi))>(X2,f(X2))的割线的

作业设计•］

一'填空题

1.当自变量从XO变到X］时-，函数值的增量与相应自变量的增量

之比是函数.(填序号)

①在［X。，Xi］上的平均变化率；

②在XO处的变化率；

③在X］处的变化率；

④以上都不对.

2.设函数y=f(x),当自变量x由XO改变到Xo+/x时，函数的

增量/y=.

3.已知函数f(x)=2x2—1的图象上一点(1,1)及邻近一点(l+/x,

f(l+Jx)),则曝=.

4.某物体做运动规律是s=s(t),则该物体在t至!Jt+/t这段时间

内的平均速度是.

5.如图，函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是.

6.已知函数y=f(x)=x2+l,在x=2,zfx=0.1时，，Ay的值为

7.过曲线y=2x上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率为.

8.若一质点M按规律s(t)=8+t2运动，则该质点在一小段时间

［2,2.1］内相应的平均速度是.

二、解答题

9.已知函数f(x)=x2—2x,分别计算函数在区间［—3,—1］,［2,4］

上的平均变化率.

10.过曲线y=f(x)=x3上两点P(l,l)和Q(l+/x,l+/y)作曲线的割

线，求出当/x=0.1时割线的斜率.

【能力提升】

11.

甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪

一个跑得快？

12.函数f(x)=x?+2x在［0,a］上的平均变化率是函数g(x)=2x—

3在［2,3］上的平均变化率的2倍，求a的值.

©反思感悟

1.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s=s(t)描述，设

山为时间改变量，在to+山这段时间内，物体的位移(即位置)改

变量是Js=s(to+Jt)—S(to),那么位移改变量Js与时间改变量Jt

的比就是这段时间内物体的平均速度即7=堂=

s(tp+/t)-s(t())

Jt.

2.求函数f(x)的平均变化率的步骤：

⑴求函数值的增量Zly=f(x2)-f(x1)；(2)计算平均变化率9=

f(X2)—f(Xi)

X2—X1,

3.2.2函数的和、差、积、商的导数

知识梳理

1.和(或差)>不)土g'(力

2.第一个函数乘第二个函数的导数(x>g(x)+/)-g'(x)C-f(x)

g。)/"(r)—瓮)

3.分母的积分母的导数分母的平方©

g(x)

(g(x)WO)

作业设计

1.3/+32n3解析(In3)'=0,注意避免出现(In3)'=；的错误.

2.x—y+l=0解析y'=ev+xev,当x=0时，导数值为1,故所求的

切线方程是y=x+l,即x—y+l=0.

3.18解析。)=4/+2依一仇

小。)一3—/?=—13,

(-1)=-27—4—2a-/?=-27.

a=5,

.7.,.«+/?=5+13=18.

b=13.

4.y=12Qx解析y'=(x—l)(x—2)***(x—6)+x[U—1)U—2)*(%—6)]',

所以/(0)=1X2X3X4X5X6+0=720.

故切线方程为y=720x.

5.1e2解析\'y'=(ex)/=eA；

.,.在(2,e2)处的切线斜率为e2,

...曲线在点(2,e2)处的切线方程为y-e2=e2(x—2),

即y=e2%—e2.当尤=0时，y=~e2-,当y=0时，x=l.

；.SA=；X1X|—e2|=^e2.

6.1解析，)cosx+sinx,

：.f[x)=~f像inx+cosx：.f(4)=-/侪X乎+坐

"佯)=^^=啦-L故周=(啦一DX阴¥=1.

7.2x—y+3=0解析由«x)=sinx+et+2得/'(x)=cosx+e1,

从而/'(0)=2,又.*0)=3,所以切线方程为y=2x+3.

12533125

8.而解析=2t-p,二当第4秒末，v=8—^=j^-(m/s).

9.解(l)y'=(10'y=10vln10.

f(x+cosX)’(尤一COSX)—(x+cos■¥)(■¥-COSX)’

Q)，(X-cosx)2

(1-sinx)(x-cosx)—(x+cosx)(1+sinx)

(x-cosx)2

-2(cosx+xsinx)

(x-cosx)2

(3)y'=(2Aycosx+(cosx)'2"-3[>log2oux+(log2。】㈤㈤

=2vln2-cosx—sinx-2x—3flog2onx+|-log2onelx]

=2'ln2-cosx—2Asin%—31og2oii%—31og2one.

(4)y'=(xtanx)'

(xsinx)'cos尢-xsinx(cosx)’

(cosx)2

(sin尤+xcosx)cosx+xsiMx

(cosx)2

sinxcosx+Mcos2尤+sin2尤)

(cosx)2

^sin2x+x.cIn

_2__________sm2x十2x

(cosx)2-2cos2尤,

10.解f(x)=2x+cosx.

故曲线在点(兀，兀2)的切线斜率为2兀—i,

所以切线为y—兀2=（2兀-1）（九一兀），

即（2兀一l）x—y—兀2+兀=o.

11•卷，兀）解析/一西%4

T，

^+2+~

e1

■3兀、

,.,&，+最22,，一iWy'<0,即一lWtana<0,/.otGn\.

12.解依题意知与直线万一y一2=0平行的抛物线y=f的切线的切点到直

线x—y—2=0的距离最短，设切点坐标为（次，成）.

=（x2）/=2x,/.2xo=l,.*.xo=1.切点坐标为（；，

1-1-2厂

2447\12

.•.所求的最短距离d=­忑—=等.

3.1.2瞬时变化率——导数（一）

高二-一部数学组刘苏文2017年4月3日

知识梳理•

1.瞬时速度的概念

作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某

一时刻的速度叫.

用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是s=f(t),

当Jt趋近于0时，函数f(t)在to至ljto+Jt之间的平均变化率

幽士竽侬趋近于常数，我们这个常数称为.

2.导数的概念

设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，x0e(a,b),当/x无限趋

近于0时一，比值今=___________无限趋近于一个常数A,则称

ZJX

f(x)在点x=X0处，并称该常数A为

______________________________，记作f'(X0).

3.函数的导数

若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随

着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称

为f(x)的导函数，记作f'(X).

4.瞬时速度是运动物体的位移S(。对于时间t的导数，即v(t)=

5.瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t)

作业设计•

一、填空题

1.任一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是S=3t—12,

则物体的初速度是.

f（x（）­/x）~~f（x（））

2.设f(x)在x=xo处可导，则当/x无限趋近于0时

Jx

的值为.

3.一物体的运动方程是s=：at2(a为常数)，则该物体在t=to时

的瞬时速度是.

3

4.已知f(x)=-x2+10,贝！)f(x)在x=］处的瞬时变化率是

5.函数y=x+：在x=l处的导数是.

A.

6.设函数f(x)=ax3+2,若f'(—1)=3,则a=

7.曲线£仪)=正在点(4,2)处的瞬时变化率是一

8.已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)=t2+2t+2,

则在时间间隔［1,1+戊］内的平均加速度是，在t=l时的

瞬时加速度是.

二、解答题

比在

9.用导数的定义，求函数y=f(x)=x=l处的导数.

10.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a=

5X105m/?,枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6X10-3$.求枪弹射

出枪口时的瞬时速度.

甫自力提升】

11.已知函数y=ax?+bx+c,求函数在x=2处的导数.

12.以初速度vo(vo>O)垂直上抛的物体，t秒时间的高度为s(t)=

vot—^gt2,求物体在时刻to处的瞬时速度.

@反思感悟

1.利用定义求函数在一点处导数的步骤:

(1)计算函数的增量：Jy=f(xo+zlx)—f(xo).

(2)计算函数的增量与自变量增量的比任

⑶计算上述增量的比值当/X无限趋近于0时，%

ZJA.

f(x。+髭一即。)无限趋近于A.

Z.1A.

2.导数的物理意义是物体在某一时刻的瞬时速度.

上一节答案

3.1.1平均变化率

知识梳理

］於2)—加1)

X2~X\\x=X2~X\增量为+Ar/(%2)一兀3

・X2~X\

Ax

2.斜率

作业设计

1.①

2./(xo+Ar)—«xo)

3.4+2Ax

解析A^=/(1+Ar)-/(l)=2(l+Ar)2-l-2Xl2+l=4Ax+

2(Ax)2,

.Ay4AX+2(AX)2

=4+2Ax

,,ZAx

5(Z+Az)—S«)

4,Ar

解析由平均速度的定义可知，物体在/到r+加这段时间内的平

均速度是其位移改变量与时间改变量的比.

As_s(，+A/)—s(/)

所以V=

△「Nt

5.—1

解析W3)一«i)q

用牛忻3-121.

6.0.41

7.1

解析由平均变化率的几何意义知

1-I)

8.4.1

解析质点在区间［2,2.1］内的平均速度可由寸求得，即。=苗=

t^)=4l

0.1'J。

9.解函数7U)在［-3,—1］上的平均变化率为：

八—If—3)

(-1)-(-3)

［(1)22X(1)］［(3)22X(3)］,

——6.

函数人工)在［2,4］上的平均变化率为:

/4)—A2)(422X4)Q22X2)

4-2

10.解•.•Ay=/(1+Ax)-A1)=(1+Ar)3—1

=3Ax+3(Ar)?+(AXP,

二.割线PQ的斜率

Ay(△x)3+3(Ax)2+3Ar

=(AX)2+3AJC+3.

当△x=0.1时，割线P。的斜率为2,

则々=『=(0.1)2+3X0.1+3=3.31.

二.当Ax=0.1时割线的斜率为3.31.

11.解乙跑的快.因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑

的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小.

12.解函数兀t)在［0,司上的平均变化率为

X«)-A0)〃+2Q

--==Q十2.

a—0a

函数g(x)在［2,3］上的平均变化率为

g(3)—g(2)(2X3—3)—(2X2—3)

3-2~1-2,

•.•。+2=2*2,：.a=2.

3.1.2瞬时变化率——导数(二)

高二•一部数学组刘苏文2017年4月3日

知识梳理•

1.导数的几何意义

函数y=f(x)在点x()处的导数f'(x())的几何意义是:

2.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：

⑴求出函数y=f(x)在点x()处的导数(xo)；

(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y-yo=f(xo).(x-

Xo).

作业设计•

一、填空题

1.曲线y=1在点P(l,l)处的切线方程是.

2.已知曲线y=2x3上一点A(l,2),则A处的切线斜率为

3.曲线y=4x—x3在点(一1,—3)处的切线方程是.

4.若曲线y=x”的一条切线/与直线x+4y—8=0垂直，则/的

方程为.

5.曲线y=2x—x3在点(1,1)处的切线方程为.

6.设函数y=f(x)在点x()处可导，且(x())>0,则曲线y=f(x)

在点(xo,f(xo))处切线的倾斜角的范围是.

7.曲线f(x)=x3+x—2在点P处的切线平行于直线y=4x—1,则

P点的坐标为.

8.已知直线x—y—1=0与曲线y=ax2相切，则a=.

二、解答题

9.已知曲线y=?在点P(l,4)处的切线与直线/平行且距离为小兀

A.

求直线I的方程.

10.求过点(2,0)且与曲线丫=:相切的直线方程.

A.

【能力提升】

11.已知曲线y=2x2上的点(1,2),求过该点且与过该点的切线垂

直的直线方程.

12.设函数f(x)=x3+ax2—9x—1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最

小的切线与直线12x+y=6平行，求a的值.

⑥反思感悟

1.利用导数可以解决一些与切线方程或切线斜率有关的问题.

2.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如

果已知点在曲线上，则切线方程为y—f(xo)=f'(xo)(x-xo)；若已

知点不在切线上，则设出切点(xo,f(x0)),表示出切线方程，然后

求出切点.

上一节答案

3.1.2瞬时变化率——导数(一)

知识梳理

1.瞬时速度瞬时速度

2M+黑一刎可导函数人x)在点x=xo处的导数

4.S'(/)5.v'(r)

作业设计

2

.Q翻加△S.v(Ar)-5(0)3Ar-(Ar).

1.3解析瓦=-&一=-&-=3Q—△/，

当加无限趋近于0时，却无限趋近于3.

..7(X0—Ax)-*xo),/(x())-*X0-Ax)

2.—f(xo)解析Ax—Ax

__/(A-O)-/(A-O-AA-)

Ax

・••当Ax无限趋近于0时，原式无限趋近于一/(次).

3.ato

s(fo+△，)一5(△)1

斛析A/一—2必1+。加，

当加无限趋近于。时，黑无限趋近于〃0.

4.-3

解析

当心无限趋近于0时，碧无限趋近于一3.

5.0

A)，(l+Ax)+]+--2

解析

AxAr

(1+©>+1-2(1+Ax)

""Ml+Axj-

(Ax)2Ar

AA(1+AX)1+AX*

当Ax无限趋近于0时，言无限趋近于0.

6.1

解析.『y)

a(—1+Ax)3—4(—1)3

=Ax

=a(Ax)2—3aAx+3a.

.•.当Ax无限趋近于。时，言无限趋近于3m

即3a=3,.*.a=l.

葩矫)

斛析比M=,一A4+直AA-—)-/(4)4+A%一-2

―N4+Ax+2'

.•.当Ar无限趋近于。时，当无限趋近于由

8.4+△/4

解析在［1,1+4］内的平均加速度为第=蛆嗯二也=0+4,当加无限

趋近于0时，风无限趋近于4.

9.解VAJ=A1+Ax)-Xl)=^^-^

1—yj1+Ax_________-_______

yj1+Axyj1+Ax-(1+'1+Ax)

.△「_一］

,,战，1+Ax・(l+51+©)'

・••当Ax无限趋近于0时，

________2J________

\1+Ax.(1+yj1+Ax)

无限趋近于T"(i)=-q

10.解运动方程为s=；aK

因为△5=淤(九)+0)2—呼招

=a/oAr+^fl(Ar)2,

所以治=砒)+/心大

所以当△/无限趋近于。时，岩无限趋近于mo.

由题意知，a=5XIO5m/s2,r()=1.6X103s,

所以30=8义102=800(m/s).

即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.

11.解Ay=6f(2+Zkx)2+/?(2+Ax)+c—(4a+2/7+c)

=4aA%+^z(Ax)2+/?Ax,

.AyA^)2+Z?Ax,,

*/----------------------------------------------------------------------------------------------AC—I—Al—I—ZTIA-V

当Ax无限趋近于0时，党无限趋近于4a+4

所以函数在x=2处的导数为4a+b.

12.解A5=uo(fo+A/)—^g(Zo+A/)2—

所一上而)=Qo—8助加一金(加)2,：.^=vo-gto—^gAt,

当无限趋近于0时，器无限趋近于优一g/0.

故物体在时刻ro处的瞬时速度为00-gm.

§3.2.1常见函数的导数

高二•一部数学组刘苏文2017年4月3日

知识梳理•

1.几个常用函数的导数：

(kx+b)'=;C'=(C为常数)；x'

2.基本初等函数的导数公式:

(Xn)z=_______(n为常数)

(a)=________(a>0,且aWl)

(logaX)'=~loge=----_____(a>0,且aW1)

Aa

cy=________

(bix)'=_______

(5Z71X)f~~________

(cosx)，=________

作业设计•

一'填空题

1.下列结论不正确的是______.(填序号)

①若y=3,则y，=0；②若y=白，则y，=—1A/X；

③若y=-5，则y'=-2^x;④若y=3x,则y'=3.

2.下列结论:①(cosx)'=sinx；②'比如=cos?③若y=±,

2

贝ijf,(3)=一冷淇中正确的有个.

3.设fo(x)=s%x,fl(x)=f'0(X),f2(X)=f'i(x),…，fn+l(x)=f'n(x),

n£N,则及oio(%)=.

4.已知曲线)=必在点尸处的切线斜率为攵，则当％=3时的P

点坐标为.

5.质点沿直线运动的路程s与时间f的关系是5=%，则质点在

t=4时的速度为.

6.若函数yy%)满足兀¥—1)=1—2%+/,则/(%)=______.

7.曲线y=cos%在点A后期处的切线方程为

8.曲线丫=好上切线倾斜角为例点是

二、解答题

9.求下列函数的导数.

(l)y=log4-log4x2；

2x2+l

(2)产x2x；

10.已知曲线y=/上有两点A(l/)，3(2,4).求:

(1)割线AB的斜率ZAB;

(2)在［1/+时内的平均变化率；

⑶点4处的切线斜率Mr；

(4)点4处的切线方程.

甫自力提升】

11.若曲线+存在垂直于y轴的切线，则实数。的

取值范围为.

12.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单

位：元)与时间/(单位：年)有如下函数关系：

MO=po(l+5%)’，

其中po为t=0时的物价，假定某种商品的po=L那么在第10

个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(注In

1.05-0.05,精确到0.01)

⑥反思感悟

1.求函数的导数，可以利用导数的定义，也可以直接使用基本初

等函数的导数公式.

2.对实际问题中的变化率问题可以转化为导数问题解决.

上一节答案

3.1.2瞬时变化率——导数(二)

知识梳理

1.曲线y=/a)上过点X。的切线的斜率

作业设计

1—Ax

Ay1+Ax1+Ar-1

1.x+y-2=0

解析Ax-AxAx—1+Ax'

当Ax无限趋近于0时，会无限趋近于一1,

'.k=—1,

，切线方程为y—1=—(x—1),即x+y—2=0.

2.6解析；y=2x3,

2(x+Ax)3—2J?2(AX)3+6X(AX)2+6%2Ax,,,,

•Av_-一屋-----=----靖-------=2(右)2+6必x+6f.

二当/x无限趋近于0时，票无限趋近于6f,

.•.点41,2)处切线的斜率为6.

-lAy4(x+Ax)—(x+Ax)3—4%+x3

3.x-y-2=0解析一--------

=4—(Ax)2—3X2—3x(Ax),

当Ax无限趋近于。时，会无限趋近于4—3f,

(-1)=1.所以在点(一1,一3)处的切线的斜率为2=1,

所以切线方程是y=x—2.

4.4x—y—3=0解析与直线x+4y-8=0垂直的直线/为4x-y+

m=0,即y=*4在某一点的导数为4,而y'=4x3,所以y=%4在(1,1)处导数为4,

此点的切线方程为4x—y—3=0.

5.x+y-2=0解析^=2—(Ax)2—3/—3x(—)，

当Ax无限趋近于0时，言无限趋近于2—31,

.\yf—2—3f,:・k=2—3=—1.

・••切线方程为y~~1=—(X—1),即x+y—2=0.

6.(0,目解析k=f(xo)>O,/.tan6b>0,0e^0,"

7.(1,0)或(一1,—4)解析设P(xo,yo),由共幻二X3+尤一2,

^=(AX)2+3X2+3X(AA)+1,当1无限趋近于0时，图无限趋近于3f+l.

•••f(x)=3f+1,令fr(xo)=4,即3xo+1=4,得xo=l或xo=-1,

・・・「(1,0)或(一1,-4).

8.1解析好心+.一江=2以+人,

当Ax无限趋近于0时，2ax+aAx无限趋近于2ax,

/./(x)=2ax.设切点为(xo,yo),则/'(xo)=2oxo,2axo=1,

且yo=xo-1=ax(i,解得xo=2,a=[

4_4

△y/+Av)—/(x)x+Axx_4AJC4

9.解

△xAxAA-XAX(X+AX)X(X+AJC)'

44

10.当Ax无限趋近于。时，—/.：八、无限趋近于一表,

4

即，(x)=-J.k=f'(1)=—4,切线方程是y—4=—4(x—1),

即为4x+y—8=0,设/：4x+y+c=0,则3^=小学,，

，|c+8|=17,/.c=9,或c=-25,

・二直线/的方程为4x+y+9=0或4x+y—25=0.

10.解(2,0)不在曲线上，令切点为(x(),yo),则有、()==；.①

A-A-0

1_1

Avx+Axxi1

又△吃x=-ixxx(x二+AKx)，当Ar无限趋近于0时，一x((x+:AKx)无限趋近

于一点■-k=f(xo)=-^.二切线方程为y=T(L2).而£?]=一*②

由①②联立方程组可得xo=l,故切线方程为x+y—2=0.

2

AJ：=2(1+AX)-2

”,用牛AxAx

4Ax+2(Ax)2

=------=4+2Ax,

AAx

当Ax无限趋近于0时，图无限趋近于4,

(1)=4....所求直线的斜率为％=一

.'.y—2=—^(x—l),即x+4厂9=0.

12.解VAy=f(x()+Ax)~f(xo)

=(xo+ZU)3+a(xo+Ax)2—9(xo+Ax)—1~(x^+ax^—9xo—1)

=(3君+2axo—9)Ax+(3xo+a)(Ax)2+(Ax)3,

辞=3x8+20ro—9+(3xo+a)Ax+(Zkx)2.

3.2.2函数的和、差、积、商的导数

高二•一部数学组刘苏文2017年4月3日

知识梳理•］

1.两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的

，即伏4)±虱初'--

2.两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，

加上,即

优力•必朝'=.特别地［C7U)］，=(其

中C为常数).

3.两个函数的商的导数，等于分子的导数与减去

与分子的积，再除以.即

作业设计•

一、填空题

1.已知＜%)=必+3'+1113,则，(%)=.

2.曲线y=%e'+l在点(0,1)处的切线方程是.

3.已知函数/U)=d+or2—法，且/(())=-]3,/(―1)=一

27,则a+b=.

4.曲线y=%(%—1)(%—2)…—6)在原点处的切线方程为

5.曲线y=e，在点(2,eV处的切线与坐标轴所围成的三角形的面

积为•

6.已知函数/(%)=/'令cos%+sin%,则就)的值为.

7.曲线C：f(x)=sinx+e+2在x=Q处的切线方程为

3

8.某物体作直线运动，其运动规律是的单位是秒，s

的单位是米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为m/s.

二、解答题

9.求下列函数的导数.

(l)y=l(r；

%+cosX

(2)y=%—cosx;

(3)y=2"cos%—3%log2oii%;

(4)y="tanx.

10.求曲线y=%2+sin%在点(兀，/)处的切线方程.

前力提升】

4

11.已知点尸在曲线)=再彳上，a为曲线在点尸处的切线的倾

斜角，则a的取值范围为.

12.求抛物线y=X2上的点到直线％—2=0的最短距离.

⑥反思感悟

1.理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的

前提条件.

2.对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义,

利用公式进行计算.

上一节答案

3.2.1常见函数的导数

知识梳理

1.4012%一土

2.

_____________—=纱"一[a为常数)_____________

___________⑷)'=Tlna(a>0,且aWl)__