2023八年级数学上册 第六章 数据的分析4 数据的离散程度第1课时 极差、方差和标准差教案 （新版）北师大版

2023八年级数学上册第六章数据的分析4数据的离散程度第1课时极差、方差和标准差教案（新版）北师大版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容本节课的教学内容来自于北师大版八年级数学上册第六章“数据的分析4数据的离散程度”，具体包括以下几个方面：

1.极差的定义及其计算方法；

2.方差的定义及其计算方法；

3.标准差的定义及其计算方法；

4.学生通过实例理解极差、方差和标准差在实际问题中的应用。

教学目标：

1.学生能够理解极差、方差和标准差的定义，并掌握其计算方法；

2.学生能够通过实例分析，运用极差、方差和标准差解决实际问题；

3.学生能够理解离散程度的概念，并能够比较不同数据集的离散程度。核心素养目标本节课的核心素养目标如下：

1.逻辑推理：通过讲解极差、方差和标准差的定义和计算方法，培养学生的逻辑推理能力，使学生能够理解并运用这些概念解决实际问题。

2.数据分析：通过实例分析，培养学生的数据分析能力，使学生能够运用极差、方差和标准差对数据集的离散程度进行分析和比较。

3.数学建模：通过实际问题的引入和解决，培养学生建立数学模型的能力，使学生能够将实际问题转化为数学问题，并运用数学知识解决。

4.直观想象：通过数据的图表展示和分析，培养学生的直观想象能力，使学生能够直观地理解和感受数据集的离散程度。

5.数学运算：通过计算极差、方差和标准差，培养学生的数学运算能力，使学生能够熟练运用公式和计算方法进行运算。教学难点与重点1.教学重点：

（1）极差的定义及其计算方法：极差是一组数据中最大值与最小值的差，能够反映数据的波动范围。计算公式为：极差=最大值-最小值。

（2）方差的定义及其计算方法：方差是一组数据与其平均值差的平方的平均数，能够反映数据的波动程度。计算公式为：方差=[Σ(xi-x̄)²]/n。

（3）标准差的定义及其计算方法：标准差是方差的平方根，能够反映数据的离散程度。计算公式为：标准差=√方差。

（4）极差、方差和标准差在实际问题中的应用：通过实例分析，使学生能够理解并运用这些概念解决实际问题。

2.教学难点：

（1）方差的计算方法：学生容易混淆方差的计算公式，难以理解每个字母代表的具体含义，因此需要教师通过具体例子进行讲解和解释。

（2）标准差的计算方法：学生容易将标准差与方差混淆，难以理解标准差的计算公式，需要教师进行详细的讲解和演示。

（3）离散程度的概念：学生对于离散程度的概念理解不够深刻，需要教师通过图表和实际问题进行讲解和引导。

（4）实际问题的解决：学生对于如何将实际问题转化为数学问题，并运用极差、方差和标准差解决有一定的困难，需要教师进行实例分析和指导。教学资源1.软硬件资源：教室、计算机、投影仪、白板、黑板、粉笔、计算器、纸张、铅笔、直尺等。

2.课程平台：北师大版八年级数学教材、教学课件、练习题库等。

3.信息化资源：在线教育平台、数学软件、数据可视化工具等。

4.教学手段：讲解、示范、练习、讨论、小组合作、案例分析、问题解决等。

5.教学辅助材料：极差、方差和标准差的计算表格、实际问题案例、图表等。

6.评价工具：练习题、测试题、小组讨论报告、学生表现评估等。教学流程一、导入新课（用时5分钟）

同学们，今天我们将要学习的是“数据的离散程度”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要比较数据集离散程度的情况？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索数据的离散程度的奥秘。

二、新课讲授（用时10分钟）

1.理论介绍：首先，我们要了解极差、方差和标准差这三个概念。极差是一组数据中最大值与最小值的差，能够反映数据的波动范围。方差是一组数据与其平均值差的平方的平均数，能够反映数据的波动程度。标准差是方差的平方根，能够反映数据的离散程度。

2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了极差、方差和标准差在实际中的应用，以及它们如何帮助我们解决问题。

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调极差、方差和标准差这三个重点。对于它们的计算方法，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

三、实践活动（用时10分钟）

1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与数据的离散程度相关的实际问题。

2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示数据的离散程度的基本原理。

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.讨论主题：学生将围绕“数据的离散程度在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

五、总结回顾（用时5分钟）

今天的学习，我们了解了极差、方差和标准差这三个概念、它们的计算方法和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对数据的离散程度的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

a.《统计学原理》，第6章，离散程度的度量，作者：张三，出版社：北京出版社，出版时间：2020年。

b.“数据的离散程度在实际应用中的例子”，载于《数学应用》杂志，2019年第4期，作者：李四。

c.《离散数学导论》，第3章，离散程度的度量，作者：王五，出版社：上海科学技术出版社，出版时间：2018年。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

a.学生可以进一步研究其他衡量数据离散程度的指标，如偏度、峰度等。

b.学生可以尝试使用计算机软件（如Excel、R语言等）来计算数据的极差、方差、标准差等。

c.学生可以寻找生活中的实例，利用所学的数据离散程度的知识进行分析。

d.学生可以阅读更多关于统计学、数据分析的书籍和文章，以加深对数据离散程度的理解。

e.学生可以尝试解决一些与数据离散程度相关的数学问题，如求解最大或最小离散程度的数据集等。

3.建议学生在课后进行小组讨论，分享他们的学习和探究成果，互相学习和启发。

4.鼓励学生在课后向老师请教问题，或参与学校的数据分析俱乐部等活动，以进一步拓展和延伸他们对数据离散程度的知识。板书设计1.目的明确：板书设计应紧扣教学内容，明确展示本节课的核心概念、定义、计算方法和应用。

2.结构清晰：板书应具有清晰的结构，分为导入、新课讲授、实践活动、学生小组讨论和总结回顾等部分，便于学生跟随教学流程。

3.简洁明了：板书应简洁明了，突出重点，准确精炼地概括教学内容，避免冗长的解释和说明。

4.艺术性和趣味性：板书设计应具有一定的艺术性和趣味性，通过图形、颜色、符号等形式，激发学生的学习兴趣和主动性。

具体板书设计示例：

一、导入新课

-生活中的数据比较

-举例：某商品在不同店铺的价格比较

二、新课讲授

1.极差

-定义：最大值-最小值

-计算方法：简单易懂的计算步骤

2.方差

-定义：数据与平均值的差的平方的平均数

-计算方法：通过实例演示计算过程

3.标准差

-定义：方差的平方根

-计算方法：简洁明了的计算步骤

三、实践活动

-分组讨论与实验操作

-讨论主题：数据离散程度在实际中的应用

-实验操作：演示数据离散程度的原理

四、学生小组讨论

-讨论主题：数据的离散程度在实际生活中的应用

-引导与启发：提出开放性问题，引导学生深入思考

五、总结回顾

-重点概念：极差、方差、标准差

-应用场景：生活中的数据分析和比较

板书设计应根据实际教学情况和学生的反应进行调整，以保证教学效果的最大化。典型例题讲解例题1：

某班级30名学生参加数学考试，成绩分别为：80,85,90,92,95,98,100,97,93,88,82,86,91,94,99,84,81,83,96,90,87,89,92,85,91,93。

（1）计算这组数据的最大值和最小值。

（2）计算这组数据的极差。

（3）计算这组数据的平均值。

（4）计算这组数据的方差。

（5）计算这组数据的标准差。

解答过程：

（1）最大值：100；最小值：80

（2）极差：100-80=20

（3）平均值：(80+85+90+92+95+98+100+97+93+88+82+86+91+94+99+84+81+83+96+90+87+89+92+85+91+93)/30=91

（4）方差：根据方差的计算公式，我们需要先计算每个数据与平均值的差的平方，然后求平均值。具体计算过程如下：

-(80-91)²=256

-(85-91)²=25

-(90-91)²=1

-(92-91)²=1

-(95-91)²=16

-(98-91)²=49

-(100-91)²=81

-(97-91)²=36

-(93-91)²=4

-(88-91)²=9

-(82-91)²=49

-(86-91)²=25

-(91-91)²=0

-(94-91)²=9

-(99-91)²=36

-(84-91)²=25

-(81-91)²=49

-(83-91)²=49

-(96-91)²=25

-(90-91)²=1

-(87-91)²=4

-(89-91)²=4

-(92-91)²=1

-(85-91)²=16

-(91-91)²=0

-(93-91)²=4

方差=(256+25+1+1+16+49+81+36+4+9+49+25+0+9+49+49+25+0+4)/30=31.1

（5）标准差：标准差是方差的平方根，所以我们需要先计算方差，然后取平方根。

标准差=√31.1≈5.56

例题2：

某公司员工的年收入如下（单位：万元）：6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50。

（1）计算这组数据的最大值和最小值。

（2）计算这组数据的极差。

（3）计算这组数据的平均值。

（4）计算这组数据的方差。

（5）计算这组数据的标准差。

解答过程：

（1）最大值：50；最小值：6

（2）极差：50-6=44

（3）平均值：(6+8+10+12+14+16+18+20+22+24+26+28+30+32+34+36+38+40+42+44+46+48+50)/20=31

（4）方差：根据方差的计算公式，我们需要先计算每个数据与平均值的差的平方，然后求平均值。具体计算过程如下：

-(6-31)²=676

-(8-31)²=584

-(10-31)²=441

-(12-31)²=424

-(14-31)²=416

-(16-31)²=409

-(18-31)²=385

-(20-31)²=361

-(22-31)²=329

-(24-31)²=307

-(26-31)²=291

-(28-31)²=276

-(30-31)²=266

-(32-31)²=256

-(34-31)²=249

-(36-31)²=256

-(38-31)²=289

-(40-31)²=321

-(42-31)²=329

-(44-31)²=365

-(46-31)²=361

-(48-31)²=373

-(50-31)²=382

方差=(676+584+441+424+416+409+385+361+329+307+291+276+266+256+249+256+289+321+329+365+361+373+382)/20=28.55

（5）标准差：标准差是方差的平方根，所以我们需要先计算方差，然后取平方根。

标准差=√28.55≈5.33

例题3：

某学校对学生进行体能测试，测得学生的跑步时间（单位：分钟）如下：8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50。

（1）计算这组数据的最大值和最小值。

（2）计算这组数据的极差。

（3）计算这组数据的平均值。

（4）计算这组数据的方差。

（5）计算这组数据的标准差。

解答过程：

（1）最大值：50；最小值：8

（2）极差：50-8=42

（3）平均值：(8+10+12+14+16+18+20+22+24+26+28+30+32+34+36+38+40+42+44+46+48+50)/20=29

（4）方差：根据方差的计算公式，我们需要先计算每个数据与平均值的差的平方，然后求平均值。具体计算过程如下：

-(8-29)²=441

-(10-29)²=491

-(12-29)²=484

-(14-29)²=476

-(16-29)²=456

-(18-29)²=436

-(20-29)²=416

-(22-29)²=404

-(24-29)²=376

-(26-29)²=356

-(28-29)²=324

-(30-29)²=321

-(32-29)²=313

-(34-29)²=304

-(36-29)²=296

-(38-29)²=289

-(40-29)²=276

-(42-29)²=264

-(44-29)²=256

-(46-29)²=247

-(48-29)²=239

-(50-29)²=221

方差=(441+491+484+476+456+436+416+404+376+356+324+321+313+304+296+289+276+264+256+247+239+221)/20=37.3

（5）标准差：标准差是方差的平方根，所以我们需要先计算方差，然后取平方根。

标准差=√37.3≈6.12

例题4：

某班级对学生进行数学和英语两门学科的测试，得到以下成绩：

数学成绩：70,75,80,85,90,95,100

英语成绩：80,85,90,95,100,105,110

（1）计算数学成绩的极差、方差、标准差。

（2）计算英语成绩的极差、方差、标准差。

（3）计算数学和英语成绩的协方差。

（4）计算数学和英语成绩的相关系数。

解答过程：

（1）数学成绩的极差、方差、标准差：

极差：100-70=30

方差：根据方差的计算公式，我们需要先计算每个数据与平均值的差的平方，然后求平均值。具体计算过程如下：

-(70-85)²=225

-(75-85)²=25

-(80-85)²=25

-(85-85)²=0

-(90-85)²=25

-(95-85)²=100

-(100-85)²=225

方差=(225+25+25+0+25+100+225)/7=89.29

标准差：标准差是方差的平方根，所以我们需要先计算方差，然后取平方根。

标准差=√89.29≈9.43

（2）英语成绩的极差、方差、标准差：

极差：110-80=30

方差：根据方差的计算公式，我们需要先计算每个数据与平均值的差的平方，然后求平均值。具体计算过程如下：

-(80-85)²=25

-(85-85)²=0

-(90-85)²=25

-(95-85)²=100

-(100-85)²=225

-(105-85)²=300

-(110-85)²=302.5

方差=(25+0+25+100+225+300+302.5)/7=120.36

标准差：标准差是方差的平方根，所以我们需要先计算方差，然后取平方根。

标准差=√120.36≈10.97

（3）数学和英语成绩的协方差：

协方差是两个变量之间