华东师范大学第二附中校本上下习题详解

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂Word-可编辑编者的话我们这套供高中实验班用的教材自2023年年年7月面世后,广受高中师生的欢迎,尤其是全国各地高中创新班的师生们。他们还纷纷来信表述了使用本套教材对“打开思路”,“夯实基础”有获益匪浅的感触。诚如编辑原先的选题思想:让高中数学、物理、化学知识的自身体系能较完备地予以体现,而不因受课时的局限将其删减得支离破碎;只要是相对成熟的教材,没有太大的优劣之分,惟独相宜与不太相宜之别;因材施教在一定程度上也应该体现在让不同的高中学生有使用不同教材的挑选性,否则的话会使不同基础的学生学同一本教材而导致既有“吃不了”又有“吃不饱”的现象,其直接的后果是造成人才资源的极大奢侈。我们选编的这套教材很明确地表示是相宜那些逻辑推理能力较强,且数理功底较扎实的高中学生选用的。实践表明,这套教材的出版也是广受这些学生欢迎的,在较短的时光内频频重印便是明证。固然,在教材出版后,我们也同步获得学生读者、教师乃至学生家长们的来信来电,主要是反映针对其中不少题目的解题颇感费力,甚至在网上搜索或寻求解题思路和答案,总算往往无果而返。因此,寄希翼原教材的编纂者能提供一本配套的且相对详细的解题集。服务教诲,满意需求,乃是我们的天职。既然教材的使用者有合理的诉求,我们理当尽快作出合理的回应。为此,我们请这套教材的原作者,并由他们招聘相关的教师,为这套教材中留给学生读者练习的所有习题逐一撰写了详解,有的还点明了相关类型题目的解题思路和主意,以起到举一反三之功效。因为每一题的题目及相关插图仍予以展示,因此光浏览这三本习题详解,对控制相关学科的解题思想和技巧也是很存心义的。对本书质量的提高,读者若有建议或指正,敬请及时提供,我们深表谢谢。目录第一章集合与命题.11.1集合及其表示法11.2集合之间的关系41.3集合之间的运算61.4容斥原理与抽屉原理91.5命题的形式及等价关系111.6充足条件与须要条件121.7集合的综合运用15第二章不等式192.1不等式的性质192.2一元二次不等式及其解法212.3分式不等式222.4高次不等式232.5无理不等式.252.6绝对值不等式262.7绝对值的不等式的性质272.8含字母系数的不等式282.9基本不等式及其应用302.10不等式的证实342.11几个常用的不等式352.12不等式的应用38第三章函数423.1函数与映射423.2函数关系的建立493.3函数的运算及图像543.4函数的奇偶性和函数的单调性603.5函数的最值653.6函数的周期性733.7容易的函数方程78第四章幂函数、指数函数、对数函数864.1幂函数864.2指数函数904.3对数概念及其运算954.4反函数984.5对数函数1014.6指数方程和指数不等式1084.7对数方程和对数不等式1094.8函数的应用112第五章三角比·1205.1随意角及其度量1205.2随意角的三角比1215.3同角三角比的关系和诱导公式1235.4两角和与差的余弦、正弦和正切1255.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切1295.6三角比的积化和差与和差化积1315.7正弦定理、余弦定理和解斜三角形1345.8三角比的应用136第六章三角函数.1416.1正弦函数和余弦函数的性质与图像1416.2正切函数的性质与图像1436.3函数y=Asin6.4反三角函数1476.5最简三角方程1486.6三角函数综合练习151第七章平面向量.1577.1向量的基本概念及表示1577.2向量的加减法1587.3实数与向量的乘法1597.4向量的数量积1617.5向量的坐标表示及其运算1647.6线段的定比分点公式与向量的应用165第八章空间直线与平面.1718.1平面及其基本性质1718.2空间直线与直线之间的位置关系1728.3空间直线与平面1748.4空间平面与平面的位置关系1778.5空间向量及其坐标表示1868.6空间直线的方向向量和平面的法向量1888.7空间向量在度量问题中的应用189第九章容易几何体.1939.1棱柱、棱锥、棱台1939.2容易多面体与欧拉定理1989.3旋转体的概念1999.4几何体的直观图和三视图2009.5几何体的表面积2019.6几何体的体积2059.7立体几何综合应用213第十章矩阵与行列式初步.21610.1矩阵的定义及其运算21610.2矩阵变换求解线性方程组21810.3二阶行列式与二元线性方程组21910.4三阶行列式22010.5三阶行列式的展开与三元齐次线性方程组224第十一章复数.22711.1复数的概念22711.2复数的代数运算22911.3复数的模和共轭复数的运算性质23111.4复数与复数的加法、减法的几何意义23311.5复数的三角形式与运算23611.6复数乘除法的几何意义24211.7复数集内的方程24411.8复数的综合应用248第十二章数列、数学归纳法与数列的极限25212.1数列25212.2递推数列与递推主意25312.3等差数列25812.4等比数列26012.5数学归纳法及其应用26412.6归纳一预测一论证26812.7数列的极限27412.8无穷等比数列各项的和2814数学习题详解(实验班用)12.9数列的综合应用284第十三章算法初步29413.1算法的概念与基本特点29413.2程序框图295第十四章坐标平面上的直线.30114.1直线方程30114.2直线的倾斜角和斜率30214.3两条直线的位置关系30414.4点到直线的距离30814.5二元一次不等式的解集与线性计划问题31114.6直线综合运用314第十五章圆锥曲线.31915.1曲线和方程31915.2圆的方程32115.3椭圆的标准方程和性质32515.4双曲线的标准方程和性质33015.5抛物线的标准方程和性质33615.6直线与圆锥曲线的位置关系34115.7圆锥曲线的应用346第十六章坐标变换、参数方程和极坐标方程35416.1坐标轴的平移35416.2坐标轴的旋改变换35516.3直线与圆锥曲线的参数方程35616.4极坐标系35916.5圆锥曲线的极坐标方程36016.6解析几何的综合运用361第十七章罗列组合与二项式定理36517.1乘法原理和加法原理36517.2罗列36617.3组合36817.4其他几种罗列组合36917.5罗列与组合的综合应用37017.6二项式定理37117.7二项式定理的性质与应用373第十八章概率论初步与基本统计主意.37718.1随机事件和古典概型377518.2频率与概率38018.3几何概型38218.4概率的加法公式和乘法公式38418.5随机变量和数学期待38818.6总体和样本39518.7抽样技术与统计预计39618.8概率的综合应用399第十九章导数及其应用.40319.1函数的极限40319.2两个重要极限40419.3函数的延续性40519.4导数的概念与运算40919.5导数的应用410第一章集合与命题§1.1集合及其表示法基础练习全1.用描述法表示下列集合:(1){1(2)0,±解:(1)y∣(2)x 2.用列举法表示下列集合:(1){x∣x是20的正约数(2)x∣解:1{（2）解不等式得:-13.设三元素的集合a,ba,0也可表示为a2,解:由已知有a,b=1,-4.已知全集M=a 65-a∈N解:由已知5-a=1,2,3,5.给定三元集合1,x,x2-x解:由集合元素的互异性知x≠0,1,2,56.若集合A=x∣ax2+2x解:当a=0时,方程惟独一个根-12,则当a≠0时,则关于x的方程ax2+2x+1=0是一元二次方程,因为集合A中惟独一个元素,则一元二次方程a综上所得,a=7.若集合A={x,xy,xy-1},其中x∈Z,y∈Z解:由已知及集合元素的互异性知x,y≠0,因为x∈则x,y=1,1(则A中元素之和为0.8.设集合S=a0,a1,a2,a3,在S上定义运算为:ai⊕aj=ak,其中k为i+j解:因为x则x⊕惟独a1,a3符合所给关系式,则9.已知S是由实数构成的集合,且满意1)1∉S;2)若a∈S,则11-a解:若S中惟独1个元素则a=11-a(无解),若S中惟独2个元素则a=a-1a(无解),而S=10.若实数a为常数,且a∈A=x解:a=0时符合条件,a≠0时x=0,1a能力提高霸11.平面点集M=x,y∣x2-2x+解:首先x2进而得M={则M中元素的个数为8.12.定义集合A,B的一种运算:A*B=x∣x=x1+x解:A*B={2,3,13.已知集合A的元素全为实数,且满意:若a∈A,则（1）若a=-3,求出A（2）0是不是集合A中的元素?请你设计一个实数a∈A,再求出A（3）按照(1)(2),你能得出什么结论?解:(1)A中元素为-3（2）0不是A的元素.若0∈A,则而当1∈A时,1+a1-a不存在,故取a=3,可得（3）预测:①A中没有元素-1,0,1;②A中有由上题知:0,1∉A.若-1∈A,则1设a1∈A,⇒a又由集合元素的互异性知,A中最多惟独4个元素a1,a2,显然a1若a1=a2,则a1=1+a11-a1,得:a114.非空集合M⊆N,且同时满意条件“若a∈M,（1）写出所有含有2个元素的集合M.（2）惟独3个元素的集合M是否存在?若存在,写出集合M,若不存在,请说明理由,并适当改变题目的条件,使满意题意的集合M可以惟独3个元素.（3）用sM表示集合M中所有元素之和,求sM（4）从以上的工作中你可以得到哪些普通性的结论(逻辑)?解:1{（2）不存在.若M中有3个元素,则有a=30a成立,这显然是不符题意的.如将30改成36(合理情形均可),此时M的一种情形为{（3）M={1,2,3,5,10,（4）如:正整数n为彻低平方数的充足须要条件是n的所有正因子个数为奇数.15.集合A={1,2,3,⋯,2n,2n+1}的子集B解:设B=则bk-b1,bk-b2,⋯,且M∩B=⌀.所以k+k构造B={§1.2集合之间的关系基础练习1.已知集合P=a,aq,aq2,Q={a,a+d,a解:若aq=a+d,aq若aq=a+2d,aq2=a+d,则2.已知集合M=x∣x2-3x+2=0,N={x解:M={1,2},此时a3.已知A={x∣x<2},B={x∣解:a≥4.若非空集合S满意S⊆{1,2,3,4,5},且若a∈S解:{1,5},{3},{25.集合P=x∣x2+x-6=0,M={x解:P={-3,2},此时m=0,12,-6.已知集合A={x,xy,x+y},解:因为x,y≠0,7.集合A={x-y,x+y,xy},B=x2+y2,x2-y2,0,且8.已知集合A={x∣x<0},B=z解:原题即求实数m的取值范围,使得m2x-若m2x-1>若m2x-1<故m∈9.集合M={u∣u=12m+8n+4l,m,l解:M=10.设集合M={1,2,3,⋯,2010},集合A满意:A⊆M,且当x∈A解:一方面M={1,2,3,4,5,6,7,8,135,136,137,⋯,2009,2010}符合要求,此时M中元素有1884个11.设集合M={1,2,3,4,5,6},S1,S2,⋯,Sk都是M的含两个元素的子集,且解:对每一个Si=ai,b故k的最大值为11.12.对于函数fx,若fx=x,则称x为fx的“不动点”,若ffx=x,则称x为fx的“稳定点”,函数fx的“不动点”和“稳定点”的集合分离记为(1)求证:A⊆（2）若fx=ax2-1a∈R,解:(1)若A=⌀,则A⊆B若A≠⌀,设t∈A,则ft=t,ff（2）A中元素是方程fx=x即a由A≠⌀,知a=0或a≠0B中元素是方程aax2-12-由A⊆B,知上方程左边含有一个因式aa因此,要A=B,即要方程a2x2+ax-a+1若①没有实根,则Δ2=a2-若①有实根且①的实根是②的实根,则由②有a2x2=ax+a由此解得x=-12a,再代入②得14故a的取值范围是-1§1.3集合之间的运算1.分离用集合符号表示图1-5的阴影部分:基础练习图1-5解:1A(2)C∩2.设集合A={x,y∣3x-y=解:联立3x-y=73.集合A={x∣y=解:A=R,B=(-∞,4.设B=x∣2a-1x2-2x+解:a=12时,不符合题意.a≠12时,有B=⌀或B=-5.设全集U=R,集合A=x∣x2+ax-12解:由已知x=2是x2+ax-12=0的一个根,得a=4,进而有A={-6,2},故x=-6.已知A={x,yy=ax∣},B={x,解:数形结合可知a∈7.I={1,2,3解:A={8.已知集合A=x∣10+3x-x2≥0,B解:当B=⌀时,m<2,当B≠⌀时,m>9.集合M=m2,m+1,-解:由已知及集合元素的互异性有m-3=-3(舍)或2m-1=-3或10.集合A=a∣a=5x+解:枚举可得:23.提高霸11.设全集U={x,y∣(1)若B={x,y∣（2）若B={x,y∣解:1{2{12.某公司有120人,其中乘轨道交通上班的84人,乘公共汽车上班的32人,两种都乘的18人,求:（1）只乘轨道交通上班的人数.（2）不乘轨道交通上班的人数.（3）乘坐交通工具的人数.（4）不乘交通工具而步行的人数.（5）只乘一种交通工具的人数.解:画韦恩图和容斥原理可得:(1)66.(2)36.(3)98.(4)22.(5)80.13.已知A={x,y∣x=n,y=an+解:因为A={因为A∩B≠⌀,则y=ax+by=由Δ①而a②由①②得144≥a2+b2a2≥108a2≤108⇒a2=108,因为a=±14.设集合A=(1)若A∩B={2},求实数（2）若A∪B=A,求实数（3）若U=R,A∩∁U解:(1)因为A={1,2},A∩B={2}得a2+4a+当a=-1时,B=x当a=-3时,B=x综上,a的值为-1或-3.（2）对于集合B,Δ=4a+12-①当Δ<0,即a<-3时,B②当Δ=0,即a=-3时,B③当Δ>0,即a>-3由韦达定理得1+2=-2a+11×2=（3）A∩∁UB=A,则①若B=⌀,则Δ<0②若B≠⌀,则a≥-3,此时1∉B将2代入B的方程得a=-1或a=-3,将1代入a2+2a-2=0⇒a=-1±综上,a的取值范围是a<-3或-3<a<-1-3或-1-15.设集合A=x,y∣y2-x-1=0,B=x解:要使A∪B∩C=A∩C∪由y2当k=0时,方程有解x=当k≠0时由Δ1=2又由4x由Δ2=41-由①、②得b>k+14因为b为天然数,则b=2,代入①、②得16.集合A和B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满意下列条件的集合C(1)C⊆A∪B且C(2)C∩解:C2017.判断以下命题是否准确:设A,B是平面上两个点集,∁对任何r≥0,都有∁r∪A⊆∁r解:命题不准确.如取A={§1.4容斥原理与抽屉原理1.对某小学的100名学生举行调查,了解他们喜欢看球赛、看电影和听音乐的情况.其中58人喜欢看球赛,38人喜欢看电影,52人喜欢听音乐,既喜欢看球赛又喜欢看电影的有18人,既喜欢听音乐又喜欢看电影的有16人,三种都喜欢的有12人,问有多少人只喜欢听音乐?解:由容斥原理可得有22人只喜欢听音乐.2.正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆(每面只涂一种色),证实正方体一定有三个面颜色相同.证实:把两种色彩当作两个抽屉,把正方体六个面当作物体,那么6=2×2+2,按照抽屉3.从天然数1,2,3,⋯,99,100这100个数中随意取出51个数来,解:构造抽屉:(1)不超过50个;(2)每个抽屉里的数(除仅有的一个外),其中一个数是另一个数的倍数,一个天然数的主意是从数的质因数表示形式入手.设第一个抽屉里放进数:1,第二个抽屉里放进数:3,第三个抽屉里放进数:5,……第二十五个抽屉里放进数:49,第二十六个抽屉里放进数:51.……第五十个抽屉里放进数:99.那么随意取出51个数中,必有两个数同属一个抽屉,其中一个数是另一个数的倍数.4.随意给定7个不同的天然数,求证其中必有两个整数,其和或差是10的倍数.解:这些数队以10的余数即个位数字,以0,1,⋯,9为标准发明10个抽屉,标以0,1,⋯,9.若有两数落入同一抽屉,其差是10的倍数,只是仅有7个天然数,似不便运用抽屉原则,再作调节:[6],[7],[8],[9]四个抽屉分离与[4],[3],[2],[1]合并,则可保证至少有5.在一条笔直的马路旁种树,从起点起,每隔一米种一棵树,倘若把三块“保护树木”的小牌分离挂在三棵树上,那么不管怎样挂,至少有两棵挂牌的树之间的距离是偶数(以米为单位),这是为什么?解:如图,设挂牌的三棵树依次为A,B,C.AB=a,BC=b,若a,b中有一为偶数,命题得证.下面我们换一个角度考虑:给每棵树上编上号,于是两棵树之间的距离就是号码差,因为树的号码只能为奇数和偶数两类,那么挂牌的三棵树号码至少有两个同为奇数或偶数,它们的差必为偶数,问题得证.题5解析图6.以x,y,z表示三元有序整数组,其中x,y,z为整数,试证:在随意七个三元整数组中,至少有两个三解:设七个三元素组为A1x1,y1,z1,A2x2,y2,z2,⋯,A7x7,y7,z7.现在逐步探索,从x元开始,由抽屉原则,x1,x2,⋯,x7这七个数中,必然有四个数具有相同的奇偶性,不妨设这四个数是x1,x2,⋯,x4且为偶数,接着扩散考虑A1,A2,A3,A4这四组数的7.任选6人,试证其中必有3人,他们互相认识或都不认识.解:用A,B,C,D,E,F表示这6个人,首先以A为中央考虑,他与另外5个人B,C,D,E,F惟独两种可能的关系:认识或不认识,那么由抽屉原则,他必然与其中某3人认识或不认识,现不妨设A认识B,C,D3人,当B,C,D38.a,b,c,d为四个随意给定的整数,求证:以下六个差数b-解:把这6个差数的乘积记为p,我们必须且只须证实:3与4都可以整除p,以下分两步举行.第一步,把a,b,c,d按以3为除数的余数来分类,这样的类惟独三个,故知a,b,c,d中至少有2个除以3的余数相同,例如,不妨设为a,第二步,再把a,b,c,d按以4为除数的余数来分类,这种类至多惟独四个,倘若a,b,c,d中有两个数除以4的余数相同,设a,b,c,d四数除以4的余数不同,由此推知,a,b,c,d之中必有两个奇数(不妨设为a,b),也必有两个偶数(设为c,d),这时b-a为偶数(倘若能进一步灵便运用原则,不仅发明抽屉,还按照问题的特征,发明出放进抽屉的物体,则更可收到意想不到的效果.)9.求证:从随意n个天然数a1,a2,⋯,an中可以找到若干个数解:以0,1,⋯,n-1即被n除的余数分类发明抽屉的合理的,但把什么样的数作为抽屉里的物体呢?SSSS其中随意两个和数之差仍为和数,若他们之中有一个是n的倍数,问题得证,否则至少有两个数被n除余数相同,则它们的差即它们中若干数(包括1个)的和是n的倍数,问题同样得证.10.910瓶红、蓝墨水,排成130行,每行7瓶,证实:不论怎样罗列,红、蓝墨水瓶的色彩次序必然浮上下述两种情况之一种:（1）至少有三行彻低相同.（2）至少有两组(四行)每组的两行彻低相同.解:910瓶红、蓝墨水排成130行,每行7瓶,对一行来说,每个位置上有红、蓝两种可能,因此,一行的红、蓝墨水排法有27=128种,对每一种不同排法设为一种“行式”,共有128种现有130行,在其中任取129行,依抽屉原则知,必有两行A,B除A,B外余下128行,若有一行P与A行式相同,知满意(1)至少有三行A,B,P彻低相同,若没有一行P与A行式相同,那么这128行至多有127种行式,依抽屉原则,必有两行C,D具有相同行式,这样便找到了A,§1.5命题的形式及等价关系1.已知命题“两个有理数的和是有理数”为某命题的逆命题.试写出原命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.解:原命题:倘若两个数的和是有理数,那么这两个数都是有理数(假);否命题:倘若两个数的和不是有理数,那么这两个数不都是有理数(真);逆否命题:倘若两个数不都是有理数,那么和也不是有理数(假).2.写出命题“已知a,b∈Z,若a,b是奇数,则ab是奇数”的逆否命题:解:已知a,b∈Z,若ab不是奇数,则3.下列四个命题中的真命题是().(A)已知a,b∈R,若a×b是无理数(B)已知a,b∈R,若a×b是有理数(C)已知a,b∈R,若a+b是无理数,则a(D)已知a,b∈R,若a+b是有理数,则a是有理数或b4.命题“若p不准确,则q不准确”的逆命题的等价命题是().(A)若q不准确,则p不准确(B)若q不准确,则p准确(C)若p准确,则q不准确(D)若p准确,则q准确解:D(逆命题为A,逆命题的等价命题为D).5.“若b2-4ac<0,则a(A)若b2-4ac>0(B)若b2-4ac>0(C)若b2-4ac≥0(D)若b2-4ac≥0解:C.6.写出命题“各位数字之和是3的倍数的正整数,能被3整除”的逆能力命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.提高麝解:逆命题:能被3整除的正整数各位数字之和是3的倍数(真);否命题:各位数字之和不是3的倍数的正整数不能被3整除(真);逆否命题:不能被3整除的正整数各位数字之和不是3的倍数(真).7.用反证法证实:不存在整数m,n,使得证:若存在整数m,n,使得m2=n2+1998.右边≡2或3 mod 4,故无论何种情形左边≠故不存在整数m,n,使得§1.6充足条件与须要条件白基础练习拿1.若a、b、c是常数,则函数y=解:a=b=0,2.若非空集合M⫋N,则“a∈M或a∈N___条件.解:须要非充足.3.“a≠1且b≠-1”是(A)充足不须要条件(B)须要不充足条件(C)充要条件(D)既不充足又不须要条件解:D.4.“三个数a、b、c不全为零”(A)a、b、c都不为零(C)a、b、c中惟独一个为零解:D.5.设x、y∈R.命题“x2+y(A)充足不须要条件(B)须要不充足条件(C)充要条件(D)既不充足也不须要条件解:A.6.若A=y∣y=x2-4x+6,须要条件.解:A={y∣y≥2},故a7.已知关于x的方程1-ax（1）方程有两个正根的充要条件.（2）方程至少有一个正根的充要条件.解:(1)1（2）分两类情形:①有一个正根,②有两个正根.a=1或解得:a≤2或能力提高8.(1)已知实数集合A=x求A=B（2）试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果,并加以证实.解:(1)A=（2）倘若系数a1,b1,c1和a2,b2,c2都是非零实数,不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+若1-1=-2若A=B=R,取x29.已知a>0,函数（1）当b>0时,若对随意x∈R都有fx（2）当b>1时,证实:对随意x∈0,（3）当0<b≤1时,研究:对随意解:(1)依题设,对随意x∈R,都有∵∴f∵a∴a（2）(须要性),对随意x∈0,1即a-b≥-1, 因为b>1,可推出f1b≤1.即(充足性):因b>1,a≥b-1ax-bx2≥因为b>1,a≤2可推出ax-bx2≤综上,当b>1时,对随意x∈0,（3）因为a>1,0<b≤1fx=ax-bfx≤1⇒f1≤1⇒所以,当a>1,0<b≤1时,对10.设定数A,B,C使得不等式Ax-yx-z+By-zy-x+Cz-xz-y≥0解:充要条件为A,B,C先证须要性,题设可改写为Ax若A=0,则由②对一切x,y,z∈R成立,则若A≠0,则因为②恒成立,所以A>0,Δ=B-即A2+B2+C2≤2再证充足性,若A,B,C≥(1)若A=0,则由B2+C2≤2BC得B-C2≤0,（2）若A>0,则Δ≤0,所以②综上,充要性得证.11.设p,q是实数,证实:方程x2+px=证:结合p-q2-4>0,得q-p>2⇔p-q+2可知当且仅当p+q+2<0§1.7集合的综合运用能力提高1.已知集合A,B,C(不必相异)的并集A∪B∪C={1,解:由集合的文氏图可知,对于{1,2,⋯,n}中的每一个元素,都有7种可能的放置主意,故满意条件的有序三元组2.已知集合A={x,（1）当a取何值时,A∪B∩C为恰有2（2）若改为3个元素集合,结论如何?解:显然0,1∈A∩(1)a=0时,直线ax+y=1与x+ay=1a=1时,直线ax+y=1与x+ay=1a≠0,1时,直线ax+y=1与圆x2+y2=1因此a=（2）这时a≠0,1,而且直线ax+y=1与圆x2+y2=1的另一个交点也是直线x+ay=1与圆x2+y2=1的另一个交点,即这点是3.求集合B和C,使得B∪C={1,2,⋯,10},B∩C=⌀解:B中元素的和≤1+2+3+⋯+10=55而1×2×3×4×5(1)C=1⇒CB的元素和≥1故此情况不成立.（2）C=2,不妨设由已知,得x⋅因x+1<y+故C={（3）C=3,不妨设由已知,得x⋅当x=1时则y=故C={当x=2时则2y因为107为质数,所以无解.若x≥3,显然x⋅(4)C=4,不妨设必有x=1,否则此时1⋅同(3)y≥3必有y=2,则故C={综上,C={6,7},或C={4.S是Q的子集且满意:若r∈Q,则r∈S,-r∈S,r=0恰有一个成立,并且若a∈解:设随意的r∈Q,r≠0,由已知r∈S,或-r∈S之一成立.又若r∈S,则r2∈取r=1,则1∈S.再由p+q∈S,设p,q∈S,由①pq∈S,又由前证知1q2∈S,所以再由已知,0及全体负有理数不属于S.即S是由全体正有理数组成的集合.5.集合S={1,2,3,4,5,6,7,8解:设A1,A2,⋯,Ak是S的子集(满意(2)AiAm∩An∩Al≤1,1≤m≤n≤l≤k第二,下列6个集合满意题设条件:A1A4综上可知,所求k的最大值为6.6.S1,S2,S3是三个非空整数集,已知对于1,2,3的随意一个罗列i,j,k,倘若证:若x∈Si,y所以每个集合中均有非负元素.当三个集合中的元素都为零时,命题显然成立.否则,设S1,S2,S3中的最小正元素为a,不妨设a∈S1素,不妨设b∈S2,则若b>0,则0≤b-a<b,与任取x∈S1,因0∈S2,故x-0=所以S17.求证:集合{1,2,⋯,1989}可以划分为(1)每个Ai恰有17个元素（2）每个Ai中各元素之和相同证实:将集合{1,2,⋯,1989}中的数从小到大顺次分成17从第4段数开始,将偶数段的数从小到大依次放入A1,A2,⋯,A117中,将奇数段的数从大到小依次放入这117个子扩散.易见,所有集合中的14个数之和都相等.于是问题归结为如何将前三段数{1,2,⋯,351把这些数中3的倍数抽出来从大到小排好:{351,348,345,⋯,6,3},共117个数,依次放入A1,A2,⋯,A117中,其余的234个数从小到大罗列并分成两段,每段117个数,即{1,2,4,5,7,⋯,173,175}和{176,8.设a1,a2,⋯,a20是20个两两不同的整数,且集合ai+aj∣1解:所给集合的元素个数的最小值为100.首先,令ai=1011+10i,a10+i=1011-10i,i=1,2,⋯,下面用反证法证实:所给集合的不同元素的个数不小于100.若存在一个使所给集合的元素个数小于100的集合S=a1,a2,⋯,a20,我们计算S的“好子集”{x,对S中满意b>c的数对b,c(共190对),考虑它们的差b-c,因为至多有99个不同的差(这里用到反证法假设),故必有至少91个数对b,c,使得存在b',c'∈S,满意b'<b,c'<c且b-c=b'-c'.对这样的91个数对b,c,它与其相应的b',c'形成S的一个4元集{b,c,另一方面,S的“好子集”{x,y,z,w}的个数等于∑12sisi-1,这里si为S中满意注重到,对每个i,S中的每个元素s至多浮上在上面的一个数对b,c中(事实上,当s≤i-s时,s浮上在数对s,i-s中,其余情况浮上在i-s,s中),于是因为集合ai+aj∣1≤i≤j≤20中有201个不同的元素,故使得si≥1的正整数i易知S中有C202对b,c满意b<c,有20对b,c于是i∈T​12sisi-1≤i所以,所给集合中,至少有100个不同的元素.9.设A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,⋯,解:nmin设B中每个数在所有Ai中最多重复浮上k次,则必有k≤4.若不然,数m浮上k次(k>4),则3k>12.在m浮上的所有Ai中,至少有一个A中的数浮上3次,不妨设它是1,就有集合1,a1,a2,m,b1,1,a3,a4,20个Ai中,B中的数有40个,因此至少是10个不同的,所以n当n=16时,如下20个集合满意{1,2,3,7{1,3,4{1,4,{2,3,6{3,4,5,12§2.1不等式的性质基础练习伞1.判断下列命题是否成立,并说明理由.（1）倘若a>b,c<（2）倘若a>b,c>d（3）倘若a>b,c>解:(1)不成立,(2)不成立,(3)不成立.2.对于实数a,b,c①若a>b,则②若ac2>bc③若a<b<0,④若a<b<0,⑤若a<b<0,⑥若a<b<0,⑦若c>a>b>⑧若a>b,1a解:236070是真命题.3.设n>-1,且n≠1,则n3+解:分解因式或逐差法可得:n34.比较下列两个数的大小:(1)2-1与(2)2-3与（3）从以上两小题的结论中,你能否得出更普通的结论?并加以证实.解:(1)2-(2)2-（3）n+证实过程如下:n⇔⇔⇔n5.已知fx=ax2-c解:fxfa因为-4≤f1≤-能力提高麝6.若不等式a-2x2+2a-2x-4<0解:当a=2时,当a≠2时,则综上:a∈(-7.若关于x的方程x2+ax+a2-1=解:由f0<0可得8.关于x的方程mx-3+3=m2x的解为不大于解:m≠m2x=9.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是().(A)2枝玫瑰价格高(B)3枝康乃馨价格高(C)价格相同(D)不决定解:这是一个大小比较问题.可先设玫瑰与康乃馨的单价分离为x元、y元,则由题设得6且4问题转化为在条件①②的约束下,比较2x与3y的大小,2枝玫瑰价格高.故选§2.2一元二次不等式及其解法1.设a1,b1,c1,a2,b2,c2均为非零实数,不等式a1x2+b1x+c解:不是.反例:x2+3x+1>x2+3x+100>2.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x解:由不等式ax2+bx+c>0c3.不等式ax2+ab+1x+b>0解:a<0ba=4.若不等式-x2+kx-4<0的解集为解:k2-16<05.已知不等式ax2-3x+6>4(1)求a、（2）解不等式x-cax-b解:(1)由题知,b不是方程ax2-3x+2=0的两根（2）当c>2时,解集为{x∣x>c或x<2};当c<2时,解集为{x∣x6.若关于m的不等式mx2-2m+1x+提高麝解:m=0时不符题意,m≠0时,m<0Δ<07.已知不等式组x2-x+a-a2<解:a的取值范围是1<a≤2.(提醒:可以因式分解,分离对a=128.已知fx=ax2+bx+c在0,1解:首先f0于是b=aa又当a=8,b=-8,c=1时,§2.3分式不等式1.解下列不等式:基础(1)x2-3x(2)x-(3)x>(4)x-(5)15x解:(1)-1(2)-∞,(3)-1(4)-1(5)-∞,-2.已知关于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集为-2解:kxax3.若a>b>c,a、b、c为常数,解:x-ax-c日能力提高麝4.解不等式1x解:11⇔解得:-∞,-5.若不等式x+ax2+4x+3≥0的解集为{解:x2+4x+3≠0x6.若m>n>0,求关于x的不等式解:mx-7.不等式2x2+2kx+k4x解:∵4x2+6x+3恒大于0,故原不等式⇔2x2+2kx+§2.4高次不等式基础1.解不等式x3解:-32.解不等式x2解:x23.解不等式x+解:-∞,-日能力提高4.对于一切x∈-2,12,不等式ax3-x2解:分离参数法解题,-105.设P=x4+6x3+11x2+3解:P=x2+3x+12-3x-10.下证没有其他整数x满意要求.（1）当x>10时,有又P-x2+3从而x2+3x2<P<x2+3x（2）当x<10时,有P>x2则y>x2+3x+1,即-3解此不等式,得x的整数值为±2,±1,0,-3,-4,-综上所述,使P为彻低平方数的整数x的值为10.6.已知x>0,y>0,a=x+y,b=x2+xy+y2,c=mxy,问是否存在正数m使得对于解:因为x>0,y>当m≤2时,有a≥c.若要使a,b,c为三角形的三边,则应有b+c>a,即mxy+x2+xy+y2>x+y=x2+2xy+y2m>1t+2当m>2时,若要使a,b,c为三角形的三边,则应有b+c>a,a+b>c同时成立.由b+c>a可得m>2-3.由a+b>c,即x+y+x2+综上所述,存在正数m∈2-3,2+3使得对于随意正数x,7.已知函数fx=x4+k2+2解:fx=1+k2+2k当k2+2k-6≥当k2+2k-由条件知1+16k2§2.5无理不等式基础练习:1.解下列不等式:(1)2x（2）3x(3)4-(4)x-解:(1)2,+∞(2)[-3(3)-5(4){-12.解不等式9-解:移项平方再平方可得:(03.解不等式2x解:分类研究,然后两边平方可得:-14.解不等式32解:[15.满意3-x≥x-1的x的集合为的x的集合为B.(1)若A⊆B,求a（2）若A⊇B,求a（3）若A∩B为仅含一个元素的集合,求a解:A=(1)[2,+∞).(2)1,6.求不等式4x21解:由1-1+2x原不等式可变为1+1+2x2故原不等式的解集为-17.求使关于x的不等式x-3+6-x≥解:x-3+6-x=x-3+6-x+§2.6绝对值不等式基础练习全1.解不等式x-解:一切实数.2.已知A={x2x-3∣<a},B={解:A=3.求不等式x+2>解:分类研究或由几何性质可得:-∞,-4.求不等式x-1+解:分类研究或由几何性质可得:-15.(1)对随意实数x,x+1+x-2>（2）对随意实数x,x-1-x+3<解:(1)由几何意义可知,x+1+x-(2)由几何意义可知,x-6.在一条马路上,每隔100 km有个仓库(如图2-5),共有口能力提高一号仓库存有10t货物,二号仓库存20t,五号仓库存40t,其余两个仓库是空的.现在想把所有的货物放在一个仓库里,倘若每吨货物运输1 km%要图2-5解:以一号仓库为原点建立坐标轴,则五个点坐标分离为A1设货物扩散于点B:x,则所花的运费当0≤x≤100时,y=-25x+9000,此时当100<x<400时,y=-当x≥400时,y=35x-9000,此时,当综上可得,当x=400时,ymin=5000,即将货物都运到五号仓库时,花费最少7.若关于x的不等式x-4+x+3<a解:利用几何意义可知,x-§2.7绝对值的不等式的性质1.ab>0,则①a+b>a,②a+b<b(A)⊙②(B)②③(C)⊙④(D)②④解:C.2.x为实数,且x-5+x-3<m(A)m>1(B)m≥1解:C.3.不等式a+ba(A)ab≠0(B)a2+解:B.4.已知a≠b,m=a-(A)m>n(B)m<n(C)m=5.已知fx=x2+ax+ba解:f16.实数x1、x2、⋯、x2007∈R,满意x2-x1解:对k=1y==≤所以y≤⋯==≤=§2.8含字母系数的不等式1.设a>0,b>0,解关于基础练习令解:当a>b>0时,当0<a≤b时,2.解关于x的不等式:2x2-a+解:2x1<a≤2时,x>a>2时,x<0或a-3.解关于x的不等式:m+解:m=-1时,m>3时,m=3时,-1<m<3m<-1时,x>2+4.解关于x的不等式:ax-解:a=0时,a=-1时,a=12时a<-1时,1a<x-1<a<0时,-0<a<12时,xa>12时,x>25.关于x的不等式m+1x2-2m-1x+解:Δ<0且m+1<小能力提高霸6.设m∈R,m≠0,解关于x的不等式当m∈-∞,1-当m∈1-2,当m=1-2或2+7.设不等式2x-1>mx2-1对满意m≤2的一切实数m解:令fm原题等价于,对满意m≤2的一切实数m的值,fm=x则f-2<0f8.若关于x的不等式ax+2<6的解集是-1,2解:a=-9.设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M,解:令fx分为两类情形:Δ<0或由此可得:a∈10.已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈解:因为x2>0,则§2.9基本不等式及其应用1.已知a,b,c都是正数,基础练习全解:a+b≥2ab;b2.设a,b,c∈R+,且ab解:由不等式:a2+babababc+bca+cab3.(1)若x>0,求fx（2）若x<0,求fx解:(1)12.(2)-12.4.(1)若x≠0,求x+（2）若ab=1,求a+（3）若x<54,求4（4）若x>2,求x2(5)若x,y>0,且1x+9（6）若x,y>0,且x+y=（7）求y=x2+13x2(8)若a,b>0,且ab=a+解:(1)x+1x≥2(2)a+b≥2(3)1.(4)x2(5)16.(6)9.(7)6和52(8)ab≥5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800 m3,深为3 m,倘若池底每1 m2的造价为150元,池壁每1 m2解:297600元,当池底为40×406.某房屋开辟公司用100万元购得一块土地,该地可以建造每层1000 m2的楼房,楼房的总建造面积(即各层面积之和)每平方米平均建造费用与建造高度有关,楼房每升高一层,整幢楼房每平方米建造费用提高5%.已知建造5层楼房时,每平方米建造费用为400元,公司决定造一幢高于5层的楼房,为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低(综合费用是建造费用与解:7层.7.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12,用水越多洗掉的农药量也越多,但总还有农药残留在蔬菜上.设用x单位量的水清洗一次以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(1)试规定f0的值,并解释其实际意义（2）试按照假定写出函数fx应该满意的条件和具有的性质（3）设fx=11+x2,现有aa>0单位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均解:(1)f0=1表示没实用水洗时（2）函数fx应该满意的条件和具有的性质是:f在0,+∞上fx单调递减,且（3）设仅清洗一次,残留的农药量为f1清洗两次后,残留的农药量为f2则f1于是,当a>22时当a=22时当0<a<22当a>22时当a=22时,两种清洗当0<a<228.设a1(1)证实:2介于a1,a（2）a1,a2中哪一个更临近（3）按照以上事实,设计一种求2近似值的计划,并说明理由.解:(1)2-a12-a2=1-22-a1(2)∵2∴a2比a1更临近于（3）依次令an+1=2而2-故a1,a2,a3,⋯,an9.设常数a,b∈R+,试探求不等式ax2-a+解:a⇔⇔又由ax-1+1x-得到b<a+1210.已知集合D=x1,x2∣（1）设u=x1x2,求（2）求证:当k≥1时,不等式1x1-x11（3）求使不等式1x1-x11x2-x2≥k2解:(1)x1x2≤x1+故u的取值范围0,(2)1x1由0<u≤k24,又k≥1,k2所以1x即当k≥1时不等式1x（3）记1x1-x1即求使fu≥fk24对u∈由(2)知,要使1x1-x11x2-x2≥因此1-k2>0,则函数fu=u+1-k2u+2在0,1-k2上递减,在即k4+16k211.已知a,b,c∈R+,且满意kab解:因为a≥=所以a≥当a=b=2c>0时等号成立§2.10不等式的证实基础练习⇕1.(1)若x>1,求证:（2）若a,b∈R,（3）若a<b<0,（4）若a>0,b>解:(1)原不等式⇔1（2）原不等式⇔1（3）原不等式⇔2（4）原不等式⇔a2.若x,y,z∈解:原不等式⇔b3.若a,b,c为不全相等的正数,解:原不等式⇔a4.已知a,b∈R+,且a解:原不等式⇔31.求证:3+基础解:提醒:两边平方.练习全2.设x>0,y>0解:提醒:两边六次方.3.已知a,b,c分离为一个三角形的三边之长,解:ca4.若x,y,z∈R+,且解:原不等式⇔⇔⇔≥⇔⇔5.已知x,y,z∈R+,且解:提醒:先证x1-x2≥331-6.已知0≤a,b,解:提醒:先证abc+1≤小星础1.求证:-1练习集解:提醒:两边平方得x22.已知a,b,c∈解:原不等式⇔13.已知x,y∈R,解:原不等式⇔14.已知a,b,c∈解:原不等式⇔15.已知a,b,c∈解:原不等式⇔16.设an=1×2解:an§2.11几个常用的不等式1.是否存在最小的正整数t,使得不等式n+tn+t>1+n3nn证:取t,n=1,1,2,当t=4时,若n=l,式①显然成立4≤<故题式成立.因此t=4满意对任何正整数n,2.设△ABC三边长分离为a,b,c,且a+最小值.解:fa,因为a,b,c是△ABC三边长,且a于是32即ab+bc则fa,b,c≥9故fa,b,c3.设i=1nxi证:因为i=1nxi=1,所以有i=1n/=4.已知x,y,（1）求证:xyz（2）若x+y+z≥xyz,证:(1)因为x,y,z均为正数,则原不等式解:(2)x+因为,a+u当且仅当x=y=z=5.给定两组数x1,x2(1)x1(2)x1求证:对于任何天然数k,都有如下不等式成立:x1证:要证实上述不等式,先证以下命题:若a1则a1因为a1设an则a==>==则①式成立.取a1=xx取a1=xx取a1=yx则x1原不等式得证.6.n为正整数,证实:n1证:先证左边不等式n⇔数学习题详解(实验班用)⇔⇔2∴*式成立,故原左边不等式成立第二证右边不等式1⇔⇔**式恰符合均值不等式,故原不等式右边不等号成立.§2.1.2不等式的应用1.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均确切,有人说要用它称物体一基础练习的分量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真切分量,这种说法对吗?并说明你的结论.解:错,m=2已知水渠在过水断面面积为定值的情况下,过水湿周越小,其流量越大.现有以下两种设计,如图2-13的过水断面为等腰△ABC,AB=BC图2-13图2-14图2-14的过水断面为等腰梯形ABCD,AB=AB+BC+CD.若△ABC与梯形(1)分离求l1和l2（2）为使流量最大,给出最佳设计计划.解.(1)在图2-13中,设∠ABC=θ,AB因为S,a,sinθ则当且仅当sinθ=1,即θ=π在图2-14中,设AB=CD=m,可求得:AD=由S=则l2（2）因为22s≥23s3,故在计划②中当3.设x,y,a都是实数,且x+y=2a-1解:利用柯西不等式求解,取a=2-22能力4.(1)已知:a,b,x均是正数,且a>提高（2）当a,b,x均是正数,且a<b论,并予以证实.（3）证实:△ABC中,sinAsinB+sinC+（4）自己设计一道可直接应用第（1）、（2）小题结论的不等式证实题,并写出证实过程.解:(1)因为a+x>b+又a+xb+x（2）因为a<b,则ba>1,应用第(1)小题结论,得1<b证实:(3)由正弦定理,原题⇔△ABC中,求证:a由(2)的结论得,a,b,c>0,则aba解:(4)在四边形ABCD中,求证:ab凸n边形A1A2A3⋯Anaan为各项为正数的等差数列,d≠0a5.设32≤x≤5,证:a+∴a+b+c+d≤取a=b2x+∵x+1∴ 6.设a,b,c是大于1的整数.求u=a+b+c2-a,b解:不妨设a≥b≥c.当u=2,32,178,72,11a⇔⇔因为xy≥x,y,因为a+b+c≥所以a2故u≥32.当a所以,u的最小值为327.设实数a,b满意3a+13证:假设a≥b,则13a≥13b,5a≥317a+1317a≥1.且fa≥1>f由5a+7b=11b,得因为gx=511x+711x则b>1.因此,a<1<b,与a≥第三章函数Function§3.1函数与映射1.已知集合M={x,y∣x+y=1基础练习x,y的像是2x,2(A){(B){(C){(D){解:D.(解法要点:因为x+y=2,2.设集合M={-1,0,1},N={-2,-1,0,1,2},倘若从M到N的映射f满意条件:M中的每个元素x(B)12个(C)16个解,D(解法要点:∵x+fx为奇数,∴当x为奇数-1,1时,它们在N中像只能为偶数-2、0或2,所以主意有32=9种;而当x=0时,它在N中的像为奇数一13.在下列四组函数中,fx与gx(A)f(B)f(C)f(D)f解:B.(解法要点:解析式和定义域都需要一致.)4.若函数y=x2-4x-2的定义域为0,m,是().(C)(0,2](D)2解.B(解法要点:画图即可得.)5.给定映射f:x,y→2x+解:f:x,y→6.已知X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2},映射f:X→Y满意:对解:奇数自变量所对应值也为奇数,故±1各有2种对应,0有3种对应.所以27.给定A={1,2,3},B={-1,0,1}和映射f:X→Y,若f为单射,则f有___个;若f解:(1)由定义可得:6个;（2）由定义可得:6个;（3）枚举可得:1个.8.(1)已知函数fx的定义域为0,1,求f（2）已知函数fx2-1的定义域是-1,1（3）已知函数fx+3的定义域为[1,3)（4）已知函数fx的定义域是(-3,2],求函数解:(1)-2(2)-1(3)[5(4)-19.已知fx是一次函数,且f{ffx}=8解:设fx10.求出解析式为fx=x2,值域为解:±1①fx②fx③fx④fx⑤fx(C)fx⑦fx11.f是集合P={a,b,c,d,e}到集合解:将0,1,2三个元素设想为0号盒、1号盒和2号盒三个盒子.只要5个元素a,b,c,d,人1号盒的元素个数为x,放入2号盒的元素个数为y,则放入0号盒的元素个数为5-x-y个,0≤x,f由条件x+2y=5,考虑到x故上述方程的解是x因此满意条件的元素的放法有三类.已合0分子表其余元素放入0号盒,放法种数是:第一类:放入1号盒1个元素,放入2号盒2个元素,其余元素放入0号盒,放法种数是:第二类:放入1号盒3个元素,放入2号盒1个元素,其余元素放入0号盒,放法种数是:20种.第三类:所有5个元素都放入1号盒,放法种数为1种.所以放法总数为30+20+1=5112.求下列函数的值域:(1)求函数y=x+（2）函数y=x+x(3)求函数y=1+解:(1)y===-当x=-12时,y=-1（2）先平方去掉根号,由题设得y-则x=y2-22y-3解得1≤y<32,y所以函数的值域为1,（3）令1+x+1-x=u,因为x显然y=u+2u2213.设fx在0,1上有定义,要使函数fx-a+f解:因为x-14.已知函数fx和gx的图像关于原点对称,且(1)求函数gx的解析式（2）解不等式gx解:(1)设函数y=gx图像上一点为其关于原点对称点-x,-gx在函数则有-gx=-x（2）原不等式等价于x-当x≥1时,有x-当x<1时,x-1≤综上,原不等式的解集为x 15.函数fx(1)求函数fx的值域（2）设Fx=m1-x2+fx,记Fx（3）在第（2）条件下,试求满意不等式g-m>94m解:(1)要使fx存心义,必须1+x≥0且1因为fx2=2+则fx的值域是2（2）设fx=t,则则Fx由题意知gm即为函数mt=因为直线t=-1m是抛物线m则可分以下几种情况举行研究:1当m>0时,函数y=由t=-1m<0知mt在t∈2∘当m=0时,mt=3∘当m<0时,函数y若t=-1m∈(0,2]若t=-1m∈(2,2]即m∈-若t=-1m∈2,+∞即综上所述,有g(3)由2得到:g当m<12时,g-m=-m则g-m>-当12≤m<22时,因为则g-m=m+12m单调递减则g-m≤12+1当m≥22时,g-m=2综上:满意不等式g-m>94m的实数16.已知函数fx(1)是否存在实数a,ba<b,使得函数fx求出a,b的值;若不存在,(2)若存在实数a,ba<b,使得函数fx的定义域是解:(1)不存在实数a,ba<b满意条件.事实上,若存在实数有x≥a>0.(i)当a,b∈0,1时,fx=1x-1在由此推得a=b,与已知矛盾,故此时不存在实数a,b(ii)当a,b∈[1,+∞)时,fx=1-1x在[于是a,b为方程x2-x+1=0的实根.而此时方程无实根,(iii)当a∈0,1,b∈[1,+∞)时,显然1∈a综上可知,不存在实数a,ba<（2）若存在实数a,ba<b满意fx定义域是a,b,仿(1)知,当a,b∈0,1或a∈0,1,b惟独当a,b∈[1,+∞)时,fx=1-1即1-1a=ma,1-1b=mb.则Δ=1-4m>0,x所以m的取值范围为0<17.函数fx定义在整数集上,且满意fn=n-3n解:定义:fnx=ff⋯fx,其中等式右边有f==因为f1811000=f1791000,fin1000=f118.已知函数f（1）当a=2时,求函数fx（2）若对随意x∈[1,+∞),fx>0恒成立解:(1)当a=2时,因为fx在[1,+∞)则fx在[1,+∞)上有最小值（2）在[1,+∞)上,fx=2x2+4x+a则gx在[1,+∞)上是增函数,当x=1时由fx>0恒成立,得6+a19.设a,b为常数,M={fx∣fx=acosx+b（1）证实:不存在两个不同点对应于同一个函数.（2）证实:当f0x∈M时,f1x=（3）对于属于M的一个固定值f0x,得M1=f0x+t,t∈R,在映射F解:(1)假设有两个不同的点a,b,c,d对应同一函数Fc,d=ccosx+dsinx相同,即acosx+bsinx=ccosx+dsinx对一切实数x均成立.异常令x（2）当f0x∈M时,可得常数ff==因为a0,b0,t为常数,设a0cost+b(3)设f0x∈M,由此得f0x+t=mcosx+nsinx,其中m=a0cosm,消去t得m2+n2=a02+b02,即在映射为圆心,a02+20.设fx=x2+M=a∈R∣证实:(1)倘若a<-2,则（2）倘若-2≤a≤14①当0≤a≤14事实上,当n=1时,f10=a≤12,设n=kf②当-2≤a<0事实上,当n=1时,f10≤a,设n=k-1时成立(k≥2为某整数),则对n=k,有-a=a≤fk0=fk-102（3）当a>14时,记an=fna对于随意n≥1,a-1所以,an当n>2-aa-14时,an综合123,我们有§3.2函数关系的建立1.某商场在节日期间推出一项促销活动,“满100送30”,即当消费额超过100元当场抵扣30元,例如消费额为180元抵扣30元,实际支付费用为150元;消费额200元抵扣60元,实际支付费用为140元;依此类推.（1）建立实际支付费用y与消费额x之间的函数关系.（2）消费金额不同,实际支付的费用能否相同?解:(1)则y=（2）消费金额不同,实际支付的费用可能相同,如消费额170元时,实际支付费用为140元,而消费额200元时,实际支付的费用也为140元.元,则有其种树将进货价为每件30元,若以40元一件售出,则天天可以买出40件;有做出收之间的函数关系.元,则天天卖出的件数将减少一件.试写出天天出售衬衫的净收入与销售价格之间的函数入小.解:y=3.投寄本埠平信,每封信不超过20克时付邮费0.6元,超过20克不超过40克,时分量人投一封分量1.2元,依此类推,每增强20克需增强邮费0.6元(分量在100克以内),倘若来人仅习第第为72.5克的信,求他对付的邮费.解:0.6×4=副长90米,甲在泳道A1B1上从A1处出发,以3米/秒的速度到达B1以同样的速度返回A1之列长,可复上述过程;乙在泳道A2B2上从B2处出发,以2米/秒的速度到达A（1）设甲离开池边B1B2处的距离为y米,当初光t∈0,60的函数解析式.B1B2处的距离.在同一个坐标系中画出甲乙两人各自运动的函数图像（3）请按照图像判断从开始运动起到3分钟为止,甲乙的相遇次数.图3-2题4(2)解题配图解:(1)y=（2）如上右图.（3）图线交点代表相遇,可见相遇五次.图35.某小学要建造一个面积为10000平方米的运动场.如3-3,运动场是由一个矩形ABCD和分离以AD、BC为直径的两个半圆组成.跑道是一条宽8米的塑胶跑道,运动场除跑道外,具他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方米造价为150元,草皮每平方米浩价为30(1)设半圆的半径OA=r(米),试建立塑胶跑道面积S与r的函数关系（2）因为条件限制r∈30,40,问当r取何值时,运动场造价最低解:(1)塑胶跑道面积S=（2）设运动场造价为y=300000+12080000r+8πr当r=40,运动场造价最低位6365106.国际上常用恩格尔系数(记作n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的情况,它的计算公式为:n=食品消费支出总额消费支出总额×100家庭类型贫困温饱小康富饶最富饶nn504030n按照某市城区家庭抽样调查统计,2003年初至2023年年年底期间,每户家庭消费支出总额每年平均增强720元,其中食品消费支出总额每年平均增强120元.（1）若2002年底该市城区家庭刚达到小康,且该年每户家庭消费支出总额9600元,问2023年年年底能否达到富饶?请说明理由.（2）若2023年年年比2002年的消费支出总额增强36%,其中食品消费支出总额增强12%,问从哪一年底起能达到富饶?解:(1)2023年年年底能达到富饶.（2）(解题提醒:通过支出增强的比例与实际量,算出2002年的消费支出总额)6年后即2023年年年底起达到富饶.7.某公司为协助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商图3-4店,借出20万元将该商店改建成经营情况良好的某种消费品专卖店,并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).已知该种消费品的进价为每件40元;该店每月销售量q(百件)与销售价p(元/件)之间的关系用图3-4中的一条折线(实线)表示;职工每人每月工资为600元,该店应交付的其他费用为每月13200元.（1）若当销售价p为52元/件时,该店正巧收支平衡,求该店的职工人数.（2）若该店只安顿40名职工,则该店最早可在几年后还清所有债务,此时每件消费品的价格定为多少元?解:(1)设该店的月利润为S元,有职工m名.所以,S=-2p+由已知,当p=52时,S-2解得m=50.即此时该店有50(2)若该店只安顿40名职工,则月利润-S当40≤p≤58时,求得p=55时,当58<p≤81时,求得p=61时,综上,当p=55时,S有最大值7800设该店最早可在n年后还清债务,依题意,有12n解得n≥5.所以,该店最早可在5年后还清债务,此时消费品的单价定为558.已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元,但每生产一件次品将亏损A2元,望定出合适的日产量.(1)试将生产这种仪器天天的盈利额T(元