2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展四：立体几何的翻折问题(详解版)

拓展四：立体几何的翻折问题

三目标导航

立体几何是高中数学的重点内容，图像的翻折是立体问题中的一类典型问题，是连接平面几何与空间几何

的纽带，成为立体几何中考查分析能力与创新能力的好素材，备受命题者的青睐。立体几何翻折问题是指

将平面图形沿着平面图形中的某条或几条线段将平面图形翻折，使之变成空间几何体，以此为载体，考查

空间中点、线、面之间的相互关系，或角度与距离关系。现将翻折问题中的几类常见题型进行剖析，以其

对同学们的复习备考能有所帮助。

立体几何解题的根本思想是把空间问题转化为平面问题，解决翻折问题时，首先要根据题目的要求正

确画出由平面图形折成的空间图形，即由平面图形转化成空间图形。在解题过程中，往往根据问题的需要

再把空间图形还原成平面图形，对比平面图形和空间图形，找准翻折的起点与翻折的程度，弄清翻折过程

中的变与不变的量进行求解，这是处理翻折问题的关键。

蓍高频考点

之二知识梳理

认知规律:

画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量

关系的变与不变.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和

确定翻折前后变与

数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生

不变的关系

变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在

立体图形中解决

确定翻折后关键点所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点.因为这些点的位置移动，

的位置会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面

之间位置关系与数量关系的变化.只有分析清楚关键点的准确位置，才

能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与

计算

考点精析

考点一翻折后位置关系的判断

解题的前提和必要步骤是分析清楚翻折前平面图形的结构特征，以及翻折前后图形中变与不变的量，

特别要注意不变中的直角。

【例1-1】【多选】如图，"为正方形ABC。的边OC上异于点的一个动点，将沿A/W翻折成

/\PAM,使得平面平面A8CA/,则下列说法中正确的有（）

A.在平面P&W内存在直线与8c平行

B.在平面P8M内存在直线与AC垂直

C.在平面PBC内存在直线与平面PAW平行

D.存在点使得直线PAL平面P3M

变式1：【多选】在矩形ABCD中，AB=2AD,E为边A3的中点，将沿直线翻折成△AQE,若

点M为线段AC的中点，则在AADE翻折过程中，下述选项正确的是（）

A.BM是定值

B.点用在某个球面上运动

C.存在某个位置，使OE1AC

D.存在某个位置，使〃平面AOE变式2：已知梯形A6C。和矩形Q9EF.在平面图形中，

AB=AD=DE=3CD=1,CDLAE.现将矩形COE尸沿C。进行如图所示的翻折，满足面ABC。垂直于

面CDEF.设丽=2近，丽=〃而，若AP〃面OBN,则实数〃的值为.

计算

翻折后首先要确定线段的长度与角度中不变的量，再计算变化的量，其次确定关键点的位置。

【例2-1】如图把正方形纸片A8CZ)沿对角线AC折成直二面角，E,尸分别为A。，BC的中点，。是原正

方形ABCD的中心，求折纸后NEO尸的大小.

【例2-2］如图(1),平面四边形ABCD中，C0=4,A5=AO=2,ZBAD=60°,/BCD

=30。，将三角形480沿3。翻折到三角形P8O的位置，如图(2),平面P8O_L平面

BCD,E为PD中点.

(1)求证：PD1CE；

(2)求直线BE与平面PCD所成角的正弦值.

变式1：如图(1),ABC。中，4。是8c边上的高，且NAC0=45。，AB

=2AD,E是80的中点，将ABC。沿AO翻折，使得平面AC。，平面450,得到的图形如图

⑴求证：ABYCD,

⑵求直线AE与平面8CE所成角的正弦值.

【例2-3】如图(1),在直角梯形A3CD中，AB//CD,ABLBC,S.BC=CD=^AB=2,取AB的中点

0,连结。。，并将八4。。沿着。。翻折，翻折后AC=2g,点M,N分别是线段ARAB的中点，如图(2).

A

(1)求证：AC±OM;

图⑴

⑵求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值.

变式1：如图，在等腰直角三角形PAO中,ZA=90,，AD=8,AB=3,B、C分别是以、PD上的点，且

AD//BC,M,N分别为BP、CD的中点，现将ABCP沿8C折起，得到四棱锥P-ABCE),连接MN.

(2)在翻折的过程中，当"=4时，求二面角8-PC-。的余弦值.

DE

变式2：如图1,在等边AABC中，点〃，E分别为边45,AC上的动点且满足OE//8C,ifi—=2.^AADE

BC

沿OE翻折到△MDE的位置并使得平面MZ)E_L平面DECB,连接MB,MC得到图2,点N为MC的中点.

c

(1)当EN〃平面时，求;I的值;

(2)试探究：随着工值的变化，二面角5-AW-E的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请

求出二面角的正弦值大小.

考点三翻折后距离的计算

处理翻折问题时，一定要将翻折前后的图形相对照进行分析，找准翻折前后中的不变量，弄清哪些要在原

平面图形中进行计算，哪些要在翻折后的立体图形中进行计算，这是处理翻折问题的一般性方法。

【例3-1】已知四边形AC8D中，AC=2y/2,AB=2y/3,BC=2,E为线段AB上靠近8的三等分点.现沿AB将

四边形进行翻折，使得平面4?。，平面A8C,得到四棱锥ABC,并使。ELAC.

DD

(1)求证：DE±BC；

(2)若ND48=45。，求点8到平面D4C的距离.

变式1：如图，已知菱形A8C。的边长为3,对角线8。=2,将△8CO沿着对角线8。翻折至△8DE的位

置，使得AE=4,在平面A3C。上方存在一点M,且M4_L平面ABC。，MA=^.

(1)求证：平面平面A8Z)：

⑵求点M到平面ABE的距离;

(3)求二面角E-AB-M的正弦值.

变式2：如图，在梯形ABCD中，AB//DC,AD=DC=2,AB=4,现将AA£>C沿AC翻折成直二面角

P-AC-B.

⑴证明：C3L平面PAC;

⑵记及相的重心为G,若异面直线PC与AB所成角的余弦值为：，在侧面P8C内是否存在一点M,使

4

得平面P8C,若存在，求出点〃到平面A8C的距离；若不存在，请说明理由.

考点四翻折问题的综合应用

【例4-11【多选】如图，直角梯形ABC。中,AB//CD,NABC=90°,CD=2,AB=BC=\,E是边CO中点,

将出沿AE翻折，得到四棱锥。「4BCE,在翻折的程中，下列说法正确的是（）

B.AE1CD,

变式1：【多选】已知边长为2的菱形A8CR中，乙4，C=60°（如图1所示），将AARC沿对角线AC折

起到AAOC的位置（如图2所示），点P为棱8。上任意一点（点P不与B,。重合），则下列说法正确

的是（）

B.无论如何翻折，都有8OJ.AC

C.当BD=6时,点C到平面的距离为平

D.三棱锥P-ACD的体积与点尸的位置无关

变式2：【多选题】如图，四边形A8C。中，AB=BC=AC=2,DA=DC=6,将四边形沿对角线AC折

起，使点。不在平面A8C内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（）

7TTT

A.两条异面直线A3与CQ所成角的范围是

JT

B.尸为线段。上一点（包括端点），当。*LAB时，AAPB<-

C.三棱锥O-ABC的体积最大值为迫

3

D.当二面角O-AC-8的大小为?时，三棱锥O-43C的外接球表面积为要

63

变式3：【多选】在矩形A8CD中，AB=2BC=2,E是CD的中点，将ABCE沿跖翻折，直至点C落在边A8

上.当ABCE翻折到△出?£的位置时，连接AP,。尸，如图所示，则下列说法正确的是（）

A.四棱锥尸-A皿体积的最大值为乎

13

B.设A8的中点为F,当PF=］时，二面角P-8E—。的余弦值为］

C.不存在某一翻折位置，使得PALPE

D.”是尸B的中点，无论翻折到什么位置，都有〃平面PAO

⑦分层提分

题组A基础过关练

1.如图，将一张三角形纸片沿着5c边上的高4。翻折后竖立在桌面上，则折痕所在直线与桌面”所

成的角等于（）

2.如图所示△44A为等腰直角三角形，C为斜边的中点，g=4亚.,B、。分别落在边的、AP2±.,

且满足A8=4）=x,若分别将ACBP、沿着8、C。翻折时点4、乙能重合（两个三角形不共面），

A

则工满足条件（

D

A.0<x<lB.0<x<2C.0<x<3D.l<x<2

3.已知菱形45CD边长为8,NA4O=60。，对角线AC与80交于点O,将菱形48co沿对角线8。翻折

成平面角为，的二面角，若，G[90。，120。],则翻折后点。到直线AC距离的取值范围为（）

B.[26,2扃

C.[26，3逐]D.诉3病

4.如图，已知四边形ABC。，△BCD是以为斜边的等腰直角三角形，△A3。为等边三角形，BD=2,

将△ABQ沿对角线8。翻折到△尸8。在翻折的过程中，下列结论中不氐确的是（）

A.BDVPCB.£>P与8c可能垂直

C.直线。尸与平面BCO所成角的最大值是45°D.四面体P88的体积的最大是包

3

5.已知正方形ABC。中E为AB中点，”为AO中点，凡G分别为8C,CD上的点，CF=2FB,CG=2GD,

将△AB。沿着80折起得到空间四边形ABC。，则在翻折过程中，以下说法正确的是（）.

A.EF//GHB.EF与G"相交

C.E尸与GH异面D.EH与FG异面

6.在矩形ABCD中,A8=6,8C=8,现将AABC沿对角线AC翻折，得到四面体D48C,则该四面体外接

球的体积为（）

B.也〃400

C.------71

3

7.如图，在边长为2的菱形ABCD中，/刚。=60°,现将皿》沿150翻折至八4为£＞,使二面角A'-8£)-C

的大小为60°,求CD和平面AZBD所成角的余弦值是；

8.如图43。为平行四边形，AB=5,4)=4,BD=3,将△48。沿翻

折到△尸3£＞位置使PC=5.

(1)求异面直线PD与BC所成的角;

⑵求点D到平面PBC的距离.

9.在梯形ABCD中，AB\\CD,Afi=2,CQ=4,AD=BC=3,BO与AE交于点G.如图所示沿梯形的

两条高4E,B/所在直线翻折，使得NDEF=NCfE=90。.

(1)求证：AD//BCx

(2)求三棱锥C-BDG的体积.

10.如图1,在矩形ABCZ)中，点E在边以＞上，BC=DE=2EC,将△以、沿AE进行翻折，翻折后。点

到达尸点位置，且满足平面尸4E_L平面45CE,如图2.

C⑴若点尸在棱R4上，且EF〃平面P8C,求

图1图2

PF

~PA

（2）求二面角B-PC-E的正弦值

题组B能力提升练

11.【多选】如图，在菱形48。中，AB=2,NAW=60。，将△A3。沿对角线8。翻折到△尸80位置,

连接尸C,在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A.任取三棱锥P-8CO中的三条棱，它们共面的概率为0.2

B.存在某个位置，使得PC与8。所成角为60。。PC与平面BCO所成角为45。时，三棱锥P-BC。的体积

最大

D.当二面角尸-5ZKC大小为90。时，点。到面P3C的距离最大

12.【多选】如图所示，已知平面四边形ABC。，AB=BC=3,AD=\,CD=卡,/ADC吟.沿直线AC

将AABC翻折成VA8C,下列说法正确的是（）

C.直线AC与87）成角余弦的最大值为逅

6

D.点C到平面他2）的距离的最大值为叵

7

13.如图1,在边上为4的菱形ABC。中，ND4B=60。，点用，N分别是边BC,C/）的中点，ACr>BD=Ol,

ACcMN=G.沿MN将△C0N翻折到APMN的位置，连接以，PB,PD,得到如图2所示的五棱锥

⑴在翻折过程中是否总有平

面PM_L平面PAG?证明你的结论;

（2）当四棱锥P-MMM体积最大时，求直线尸B和平面MMM所成角的正弦值；

⑶在（2）的条件下，在线段3上是否存在一点Q,使得二面角Q-MN-尸余弦值的绝对值为巫？若存

10

在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由.

14.如图1,在矩形ABC。中，点E在边8上，BC=DE=2EC,将沿AE进行翻折，翻折后。点

到达P点位置，且满足平面平面ABCE,如图2.

C⑴若点尸在棱幺上，且所〃平面PBC,求

图1图2

PF

~PA'

⑵若AB=3,求点A到平面PBC的距离，

15.已知平行四边形A8CO,AB=2BC=4,ZA8C=60,屈F是CD的中点.沿AF把AADF进行翻折,

使得平面ADF，平面ABCF.

D

DFM

⑴求证：BF±

平面ADFt

（2）点E是AB的中点，棱8上一点M使得根_L£>E,求二面角M-EF-C的余弦值.

题组C培优拔尖练16.【多选】如图，在菱形ABCD中，AB=4,ZZMB=60。，£为中点，将

沿直线£>£翻折至的位置，则下列结论正确的是（）

.在翻转过程中（不重合），直线AE与直线CQ始终异面且所成的角不断变

大

B.若平面平面3EOC,则直线AB与直线C。的公垂线段长为

C.在翻转过程中（不重合）,二面角A-DC-E的平面角恒为30°

D.若二面角A-DE-B的平面角为60。，则点C到平面A/D的距离为g岳

17.【多选】如图，在梯形A8CQ中，AB//CD,A8=6,CD=4,A=8=60。，E,尸为线段AB的两个

三等分点，将和△5CF分别沿着。E,CF向上翻折，使得点A,3分别至M,N（〃在N的左侧）,

且MV〃平面A8CDO,P分别为DE,8的中点，在翻折过程中，下列说法中正确的是（）

O,P,M,N四点共面

B.当MN=3时，平面。£M_L平面ABC。

C.存在某个位置使得。ML用V

D.存在某个位置使得平面OEMJL平面CFN

18.【多选】菱形ABCD的边长为4,ZA=60°,E为48的中点（如图1）,将AAOE沿直线OE翻折至

AA7）E处（如图2）,连接AB,A'C,下列说法中正确的有（）

图1

A.在翻折的过程中（不包括初始位置），平面与平面A7）£所成角逐渐减小

B.若尸为A7）中点，在翻折的过程中（不包括初始位置），点F到平面4E8的距离恒为G

C.若A'£1.8C,则三棱锥A-E3D的外接球半径为不

D.若A'ELBC,点尸为AT）的中点，则尸到直线8c的距离为息

2

19.【多选】如图，菱形45co中，43=2,NZM5=60。，E是43的中点，将△AOE沿直线OE翻折至

A4OE的位置后，连接A/C,A,B.若尸是A/C的中点，则在翻折过程中，下列说法错误的是（）

A.异面直线A/E与DC所成的角不断变大

B.二面角A/-OC-E的平面角恒为45°

C.点F到平面4E5的距离恒为正

2

D.当4在平面E8C。的投影为E点时，直线A/C与平面E8C。所成角最大

拓展四：立体几何的翻折问题

三目标导航

立体几何是高中数学的重点内容，图像的翻折是立体问题中的一类典型问题，是连接平面几何与空间几何

的纽带，成为立体几何中考查分析能力与创新能力的好素材，备受命题者的青睐。立体几何翻折问题是指

将平面图形沿着平面图形中的某条或几条线段将平面图形翻折，使之变成空间几何体，以此为载体，考查

空间中点、线、面之间的相互关系，或角度与距离关系。现将翻折问题中的几类常见题型进行剖析，以其

对同学们的复习备考能有所帮助。

立体几何解题的根本思想是把空间问题转化为平面问题，解决翻折问题时，首先要根据题目的要求正

确画出由平面图形折成的空间图形，即由平面图形转化成空间图形。在解题过程中，往往根据问题的需要

再把空间图形还原成平面图形，对比平面图形和空间图形，找准翻折的起点与翻折的程度，弄清翻折过程

中的变与不变的量进行求解，这是处理翻折问题的关键。

蓍高频考点

之二知识梳理

认知规律:

画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量

关系的变与不变.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和

确定翻折前后变与

数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生

不变的关系

变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在

立体图形中解决

确定翻折后关键点所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点.因为这些点的位置移动，

的位置会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面

之间位置关系与数量关系的变化.只有分析清楚关键点的准确位置，才

能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与

计算

考点精析

考点一翻折后位置关系的判断

解题的前提和必要步骤是分析清楚翻折前平面图形的结构特征，以及翻折前后图形中变与不变的量，

特别要注意不变中的直角。

【例1-1】【多选】如图，"为正方形ABC。的边OC上异于点的一个动点，将沿A/W翻折成

/\PAM,使得平面平面A8CA/,则下列说法中正确的有（）

A.在平面P&W内存在直线与8c平行

B.在平面P8M内存在直线与AC垂直

C.在平面PBC内存在直线与平面PAW平行

D.存在点使得直线PAL平面P3M

【解析】对于选项A,若在平面内存在直线与BC平行，

又因为面尸则BC〃平面P8W,而BC与面网M7相交,

故矛盾，A错误；

对于选项B,设ACc8M=O,过。做AC的垂面a,

因为面a与面PBM有公共点0,

所以平面aC|平面PBA/=/,且Oe/,

则AC_L/,Iu面PBM,故B正确；

H

延长AM,8c交于点“连接p”，作CK〃PH

P”u平面CKu平面PBC,

CKa平面1ft4",所以CK〃平面R4M,

故存在，C正确；

对于选项D,若PA_L平面则以_L8W

又PNIBM,所以8以_L平面

所以"WL/VW,可知点似在以A8为直径的圆上

又该圆与C£＞无交点，所以不存在，D错误.

故选：BC.

变式1：【多选】在矩形ABC。中，48=2AO,E为边AB的中点，将AADE沿直线翻折成△4OE,若

点M为线段AC的中点，则在AADE翻折过程中，下述选项正确的是（）

A.8M是定值

B.点M在某个球面上运动

C.存在某个位置，使OE1AC

D.存在某个位置，使加〃平面

【解析】取OC中点尸，连接MF，8F,则MF//AQ,且=

FB〃DEaFB=ED,所以NMFB=DE=NADE,且度数大小为定值,

由余弦定理可得MB"=MF2+FB2-2MF-FB-cosZMFB,

由于户以及N/0/有是定值，故MB为定值，故A正确；

由于8为定点，为定值，所以M是在以B为球心，MB为半径的球上，可得B正确；

因为DE?=AQ2+AE2=2信,CE?=BC?+BE?=2BE?,

故DE2+CE2=2AE2+2BE-=4A£2=(2AE)2=CD2DEICE,

假设力ELA。，由于CEnAC=C,CE，ACu平面AEC,

故DE_L平面A|EC,则DE14E,则NDE%=90,

而/。4后=4也46=90,这在A£＞AE中是不可能的，故假设不成立，

即不存在某个位置，使。E_LAC，故C错误；

由M尸〃A。与所〃DE,且时尸08尸=尸，4。0。£=。，

可得平面〃平面A。/ftWu平面M8F,故〃平面，可得D正确；

故选：ABD

变式2：已知梯形ABC。和矩形CDEF.在平面图形中，AB=AD=DE=；CD=1,CD1AE.现将矩形

CQE/沿CZ)进行如图所示的翻折，满足面A3C£＞垂直于面。＞EF.设丽=2近，EP=/dPB,若AP〃面

CDEF=EF,又AZ)u面ABCD,则">JL面CDEF,

又。Eu面CDE/，则A£>_LE>£,以。为原点建立如图所示空间直角坐标系，则

D（O,O,O）,B（1,1,O）,A（1,O,O）,E（O,O,1）C（O,2,O）,

又丽=瓦+函=瓦+|比=诙+|(觉_码=3诙+|觉=(0,*;),

同理可得而二诙+而=诙+仁丽=-^丽+勺丽/勺，上［一^〕,设面O8N的法向量为

〃=(x,y,z),

n-DB=y=0/、

则］一41,，令y=l,则3=（—又而=而+而=——7,4，々，

ft•DN=—y+—z=0+++

又AP〃面O8N,则/万=」-7+上7--j=。，解得〃=3.

故答案为：3.

考点二翻折后角度的计算

翻折后首先要确定线段的长度与角度中不变的量，再计算变化的量，其次确定关键点的位置。

【例2-1】如图把正方形纸片ABC。沿对角线AC折成直二面角，E,尸分别为AO,BC的中点，0是原正

方形ABCD的中心，求折纸后NEO尸的大小.

【解析】如图，以OB,OC,OD为x轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系O-xyz.

设原正方形的边长为1,则

《0,-9,喻曹,坐,

1

_~OE_dF_8__1

）

cos<OE,OF=——>——T=-F7=~2:

IOE1-1OF|2X2

NEO尸=120°.

【例2-2］如图(1),平面四边形ABC。中，CD=4,AB=AD=2,N3AO=60。，ZBCD=30°,将三角形

48。沿80翻折到三角形PBD的位置，如图(2),平面PBZ>_L平面8CZ),E为尸。中点.

(1)求证：PD±CE；

(2)求直线BE与平面PCD所成角的正弦值.

图⑴图⑵【解析】(1)证明：由题意A430为等边三角形，则8。=2,

在三角形5CZ）中，CD=4,ZBCD=30°,

由余弦定理可求得：8c=2巾.

:.CD=BD2+BC,BPBC±BD.

又平面P8DJ_平面BCD,

平面尸8DCI平面BCD=BD,8Cu平面BCD,

平面PBD=>BC±PD.

等边三角形尸80中，E为中点,

贝!|3EJ_PZ),KBCHBE=B,

."DJ_平面8CE,：.PD±CE.

（2）以8为坐标原点，BC,30分别为*轴，y轴建立空间直角坐标系（图略），贝|8（0,0,0）,C（25，0,0）,

0(0,2,0),P(0,1,小),£(0,1,令,CD=(-2^3,

2,0),下方=(0,1,一仍).设m=(x,y,z)是平面

nrCI)=0,

尸CD的法向量，贝可_>

m'PD=0,

'-2V5x+2y=O,

即1取,”=(1,小，1),

J—A/3Z=0,

则cosBE〉="—r-r---

|,n|.|BE|下*小5

所以直线BE与平面PCD所成角的正弦值为芈.

变式1:如图（1）,A8CD中，40是8c边上的高，且/ACD=45。，AB=2AD,E是80的中点，将ABCD

沿AZ）翻折，使得平面AC。，平面A8Z）,得到的图形如图（2）.

⑵求直线AE与平面5CE所成角的正弦值.

【解析】（1）证明：由图（1）知，在图（2）中AC_L4O,AB1.AD,

•平面ACOJ_平面45。，平面4CZ>n平面4BZ>=A。，A5u平面A8。，

平面4C0,又CDu平面ACD,：.AB1.CD；

⑵由（1）可知A8_L平面AC。，又ACu平面AC。，：.ABA.AC.

以A为原点，AC,AB,40所在直线分别为x,‘，z轴建立空间直角坐标系,

C(1,0,

0),D(0,0,1),E(0,1，3)，

...泰=(o,l,gj,%=(1,-2,0),而=3

BCn=x-2y=0

设平面8CE的法向量为5=(x,y,z),由_1令y=L得x=2,z=2,则］=(2,

nBE=-y+-z=0

1,2),

设直线AE与平面BCE所成角为巴

则sin6»引cos

故直线AE与平面BCE所成角的正弦值为延.

15

【例2-3】如图(1),在直角梯形ABC。中，AB//CD,ABVBC,且8C=CO=；A8=2,取A8的中点

O,连结0。，并将尽。。沿着。。翻折，翻折后AC=26,点M,N分别是线段ARAB的中点，如图(2).

(1)求证：AC1OM；

⑵求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值.

【解析】⑴连接OC,

N

ABHCD,AB1BC,BC=CD=3AB=2,。为A8中点,

，四边形8C8为正方形，「.0C=2也，

:翻折后，AC=2y/3,.­.(?A2+OC2=22+(2>/2)2=(2^)2=AC2,:.OA±OC；

又OAJ_O£),OCC\OD=O,OC,O£)u平面OCT),.'.OA±Y®OC£>,;CDu平面OC£>,..OA±CD,

又CDLOD,OAr\OD=O,OA,ODcz^OAD,\8人平面。4。，

•jOMu平面。AO,:.CDVOM；

■.■OA=OD,〃为AO中点，:.OMLAD,

又CZ)nAO=O,8,4短<=平面4?。，.・.。加，平面4?£),

•jACu平面ACO,:.AC10M.

(2)以。为坐标原点，而，而，而正方向为x，>，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则0(0,0,0),M(1,0,1),N(OJl),.•.南=(1,0,1),丽=(0,1,1)；

：z轴_L平面OBCD,平面088的一个法向量w=(0,0,1)；

设平面OMN的法向量〃=(x,y,z),

OM-n=x+z=0.,一/<\

则—八，令x=l,解得：y=l,z=-l,/.H=(1,1,-1)；

ON-n=y+z=0v7

gsG储卜器=

/.cos<myn>

H-H

即平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值为立

3

变式1：如图，在等腰直角三角形PA。中,44=9()',A£>=8,45=3,B、C分别是以、户口上的点，且

AD//BC,M、N分别为BP、CD的中点，现将ABCP沿8c折起，得到四棱锥P-A8CD,连接用N.

(1)证明：MN"平面PAD;

⑵在翻折的过程中，当必=4时，求二面角B-PC-。的余弦值.

【解析】(1)在四棱锥P—MCD中，取AB的中点E,连接

因为"，N分别为BP,C。的中点，ADHBC,

所以ME〃PA,EN//A。，

又A4u平面PA。，平面PAO,所以ME〃平面PAD,

同理可得，E7V//平面PAO,

又MECEN=E,ME,ENu平面MNE,所以平面MNE〃平面PAO,

因为MNuMNC平面MVE,所以MN//平面PAO.

(2)因为在等腰直角三角形PA。中，44=90°,49//8C,所以8C_L以，

在四棱锥尸—ABCO中，BC±PB,BCrAB,

因为AO//8C,则AQ_LPB,AOJ_AB,

又P8nA8=8,P8,A8u平面E3,所以A£)_L平面

又叫<=平面AW,所以

因为AO=8,AB=3,PA=4,4£>//8(7,则依=5,BC=5,

所以AB'PA'PB),^LPAA.AB,

所以以点A为坐标原点，分别以钻,A。,”所在方向为x轴，)，轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系

A-xyz,如图所示，

M3A(0,0,0),3(3,0,0),C(3,5,0),P(0,0,4),£>(0,8,0),

所以而=(3,(),-4),斤=(3,5,-4),PD=(0,8,-4),

设而=(X1,%,Z|)为平面PBC的一个法向量，则

m-PB=0(3x,-4z.=0

in-PC=013X|+5y-4Z1=0

令占=4,则y=0,Z1=2,»j=(4,0,3),

设方=52，%小)为平面尸8的一个法向量，则

m-PD=0[8y2-4z2=0

m-PC=0[3x2+5y2-4z2=0

令)，2=1,则/=1*2=2,3=(1,1,2),

设二面角5-尸C-O所成角为a,贝IJ

|4xl+0xl+2x3|10V6

cosa=---———----

V42+02+32X712+12+22-5x^6-3

因为二面角B-PC-。的余弦值为-也.

3

DE

变式2：如图1,在等边“1BC中，点O,E分别为边AB,AC上的动点且满足OE//BC,ifi—=A.^AADE

沿OE翻折到△MDE的位置并使得平面平面DECB,连接MB,MC得到图2,点N为MC的中点.

c

(1)当EN〃平面M8D时，求2的值;

(2)试探究：随着义值的变化，二面角的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请

求出二面角8-加£)-£的正弦值大小.

C

【解析】⑴取例8的中点为P,连接。P,PN,

因为MN=CN,MP=BP,所以N尸〃BC,

又OE〃8C,所以NP〃。瓦即N,E,D,尸四点共面，

又EN〃平面3M£>,ENu平面NEZJP,

平面NEOPCI平面MBD=DP,

所以EN//PD,即NEDP为平行四边形，

所以NP=DE,贝!jQE=g8C,即

(2)取DE的中点。，连接M。，贝!]MO_LOE,因为平面MDE_L平面

MDEAYffiDECB=DE,且MO_LOE,所以MO_L平面OEC5,

如图建立空间直角坐标系，

C不妨设8c=2,则M(0,0,四),*0,0),

fi(l,x/3(l-/l),0),

所以砺=(20,-&),DB=(l-A,x/3(l-A),0),

MDin=Ax-6九z=0X='J?>Z,

设平面即仍的法向量为£=(x,y,z),则｛——r即＜

DB/n=(l-2)x+V3(l-A)>>=0X=一岛

令x=也,即，"=1).

又平面的法向量)=(0,1,0),

工

所以8sM/----〃\”丽mn飞-1

5

即随着2值的变化，二面角石的大小不变.

且sin(m,n

所以二面角8-河。-£的正弦值为手.

考点三翻折后距离的计算

处理翻折问题时，一定要将翻折前后的图形相对照进行分析，找准翻折前后中的不变量，弄清哪些要

在原平面图形中进行计算，哪些要在翻折后的立体图形中进行计算，这是处理翻折问题的一般性方法。

【例3-1】已知四边形AC8O中，AC=2EAB=2®BC=2,E为线段4B上靠近8的三等分点.现沿AB将

四边形进行翻折，使得平面ABOJL平面A3C,得到四棱锥并使。ELAC.

DD

(1)求证：DE±BC；

(2)若ND48=45。，求点B到平面D4C的距离.

【解析】(D证明：连接CE,；BC2+AC2=12=AB2,二ACLBC.

...2也.BE>/3BC

・DDCE.=-----9••----=---=----9

3BC3AB

■:NEBC=NCBA,：.AfiEC:ABC4,AZBEC=ZBC4=9()°,ACEVAB.

又•.・平面A8£>J_平面ABC,工CE_L平面ZM8,故E>E_LCE,

又：£)E_LAC,AC[}CE=C,二£>E_L平面ABC,故DE1.BC.

_________277_________

在RrZ\8E中，CE=y/BC2-BE2=—,DC=>JDE2+CE2=141=AC,

3

872

故SADAC

-3-

设8到平面D4C的距离为d,V^B-DAC=^D-ABC，

11.SARrXDEfT

­---S^DAC-d=--S△生DE,：.d=芳6•

J30^DAC

故点B到平面DAC的距离为73.

变式1：如图，已知菱形48co的边长为3,对角线9=2,将△88沿着对角线80翻折至△3DE的位

置，使得A£=4,在平面4BCD上方存在一点M,且M4_L平面ABC。，MA=4Io.