九年级数学人教版（上册）第22章 小结与复习

第二十二章二次函数小结与复习目录页考点精讲课堂小结当堂练习要点梳理要点梳理教学目标教学重点学习目标1．掌握二次函数的定义及表达式．2．巩固二次函数的图象和性质．3．强化二次函数的实际应用．【重点、难点】二次函数的图象、性质及其运用．

一般地，形如

(a，b，c是常数，

__)的函数，叫做二次函数．y＝ax2＋bx＋ca

≠0[注意](1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．

二次函数的概念要点梳理1二次函数y=a(x-h)2+ky＝ax2＋bx＋c开口方向对称轴顶点坐标最值a＞0a＜0增减性a＞0a＜0

二次函数的图象与性质：a＞0开口向上a＜0开口向下x=h(h,k)y最小=ky最大=k在对称轴左边,x↗y↘;在对称轴右边,

x↗y↗.

在对称轴左边,x↗y↗;在对称轴右边,

x↗y↘.y最小=y最大=2

二次函数图象的平移y＝ax2左、右平移左加右减上、下平移上加下减y＝-ax2写成一般形式沿x轴翻折3

二次函数解析式的求法1．一般式法：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)2．顶点式法：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)3．交点式法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)4

二次函数与一元二次方程的关系

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.

当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.5二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根一元二次方程ax2＋bx＋c=0根的判别式（b2-4ac）有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac>0有两个重合的交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0

二次函数的应用1．二次函数的应用包括以下两个方面(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；(2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．6考点精讲典例精讲归纳总结考点1求抛物线的顶点、对称轴、最值

抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为________．【解析】方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点坐标为(1,2)．方法二：代入公式，，则顶点坐标为(1,2)．(1,2)例1

解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.方法归纳1．对于y＝2(x－3)2＋2的图象下列叙述正确的是(

)A．顶点坐标为(－3,2)

B．对称轴为y＝3C．当x≥3时，y随x的增大而增大D．当x≥3时，y随x的增大而减小C针对训练

二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1<x2<1，则y1与y2的大小关系是(

)A.y1≤y2

B．y1<y2

C．y1≥y2

D．y1>y2【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大．∵x1<x2<1，∴y1<y2.故选B.B考点2

二次函数的图象与性质及函数值的大小比较例22.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（）

A.y=B.y=x-1C.D.y=-3x2D针对训练

已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的个数是(

)A．1

B．2

C．3

D．4D考点3

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数a，b，c的关系例3解析：由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上横坐标为x＝1的点在第四象限得出a＋b＋c＜0，由图象上横坐标为x＝－1的点在第二象限得出

a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．故选D.1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0⇔对称轴是y轴；a、b同号⇔对称轴在y轴左侧；a、b异号⇔对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.2.当x＝1时，函数y＝a＋b＋c.当图象上横坐标x＝1的点在x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐标x＝1的点在x轴上时，a＋b＋c＝0；当图象上横坐标x＝1的点在x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图象上横坐标x＝－1的点判断a－b＋c的符号.方法归纳3.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）A．b≥－1 B．b≤－1C．b≥1

D．b≤1针对训练D解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴，即b≤1，故选择D.

将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是(

)A．y＝(x－4)2－6B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－1)2－3【解析】因为y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的解析式为y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝(x－4)2－2.故选B.考点4

抛物线的几何变换例4B4.若抛物线y=－7(x+4)2－1平移得到y=－7x2，则可能（）A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位B针对训练

已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.待定系数法解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c,由题意得：解得,

a=2,b=－3,c=5.∴所求的二次函数为y＝2x2－3x＋5.考点5

二次函数解析式的确定例55.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.解:

抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同

a=1或－1

又

顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,

顶点为(1,5)或(1,－5)

所以其表达式为:(1)y=(x－1)2+5(2)y=(x－1)2－5(3)y=－(x－1)2+5(4)y=－(x－1)2－5

针对训练

若二次函数y=x2+mx的图象的对称轴是直线x=3，则关于x的方程x2+mx=0的解为

．解析：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，且当x=0时，y=0，即图象经过点（0，0），∴点（0，0）关于对称轴x=3对称的点（0，6）也在二次函数的图象上.∴关于x的方程x2+mx=0的解为x1=0，x2=6.考点6

二次函数与一元二次方程例6x1=0，x2=6

某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个.(1)请写出每月售出书包的利润y(元)与每个书包涨价x(元)间的函数关系式；进价/元售价/元数量/件现价涨价304060040+x600-10x30分析：y=(40+x-30)(600-10x)=-10x2+500x+6000.(0≤x≤60)解：(1)考点7

二次函数的应用例7(2)设某月的利润为10000元，10000元的利润是否为该月最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元.

(2)10000元不是最大利润，y=-10x2+500x+6000=-10(x-25)2+12250.当x=25时有最大利润，即售价为65元时，有最大利润12250元.y=-10x2+500x+6000.(0≤x≤60)xyO-10606.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：(1)求该抛物线对应的二次函数解析式；(2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？(3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析．针对训练解：(1)因图象过原点，则设函数解析式为y=ax2+bx，由图象的点的含义，得解得a=-1,b=14.故所求一次函数的表达式为y=-x2+14x.(2)y=-x2+14x=-(x-7)2+49.即当x=7时，利润最大，y=49(万元）(3)没有利润，即y=-x2+14x=0.解得x1=0(舍去）或x2=14,而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.(1)用含有x的代数式表示BF的长；(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．例8解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30.∴BF=2x-30.（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°，∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30.所以S△DEF-S△GBF=DE2-