7.3平面基本性质与两直线的位置关系

7.3平面基本性质与两直线的位置关系课标要求精细考点素养达成1.了解4个基本事实及其推论2.抽象出空间点、直线的位置关系的定义3.了解等角定理4.理解异面直线的判定定理平面基本性质的运用通过学习并运用平面的基本性质,培养逻辑推理、直观想象素养判断空间两条直线的位置关系通过空间两条直线的位置关系的判定,培养逻辑推理、直观想象素养求两条异面直线所成的角通过学习空间中两条异面直线所成的角,培养数学运算、直观想象素养1.(概念辨析)(多选)下列四个命题为真命题的有().A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.三点确定一个平面C.过一点有无数条直线垂直于已知直线D.若空间两条直线不相交,则这两条直线平行2.(对接教材)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成角的大小为().A.30° B.45° C.60° D.90°3.(对接教材)如图,在三棱锥ABCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形;

(2)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为正方形.

4.(易错自纠)如果OA∥O1A1,OB∥O1B1,∠AOB=40°,则∠A1O1B1=.

(模拟演练)(2024·河北部分重点高中开学考)如图,在三棱锥PABC中,异面直线AC与PB所成的角为60°,E,F分别为棱PA,BC的中点,若AC=2,PB=4,则EF=().A.3 B.2 C.3或7 D.2或7平面基本性质的运用典例1如图所示,已知在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线.1.证明点或线共面问题的两种方法:(1)先找后证,首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;(2)统一法:将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.2.证明点共线问题的两种方法:(1)先找后证,先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.3.证明线共点问题的常用方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.训练1如图,在正四棱台ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,B1C1,AB,BC的中点.(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)求证:GE,FH,BB1相交于一点.判断空间两条直线的位置关系典例2(多选)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,则下列结论正确的是().MN与BD1异面B.AP与CM异面C.AP与CM相交D.PM∥AC空间中两条直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线的判定可采用直接法或反证法;平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理;垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.训练2(1)已知空间三条直线l,m,n,若l与m垂直,l与n垂直,则().A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n平行、相交、异面均有可能(2)(多选)已知四棱锥PABCD的所有棱长都相等,M,N分别为PA,CD的中点,则下列说法正确的是().A.MN与PD是异面直线B.MN⊥PAC.MN∥ACD.MN⊥PB因为PC=BC,H为PB的中点,所以CH⊥PB,又CH∥MN,所以MN⊥PB,故D正确.求两条异面直线所成的角典例3如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为().A.15 B.25 C.35 综合法求异面直线所成角的步骤(1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.(2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角(或其补角).(3)三求:解三角形求出所作的角,如果求出的角是锐角或直角,那么它就是要求的角,如果求出的角是钝角,那么它的补角才是要求的角.易错点:对异面直线所成角的定义理解不透,异面直线所成角的取值范围是0,π训练3如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE=14A.222 B.53 C.1316立体几何中的截面问题典例已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为().A.334 B.233 C.作出截面的关键是找到截线,作出截线的关键是找交点,即面面相交得线,线线相交得点,在作图过程中要能逆向寻找,找到两个交点就得交线,找出各个面的交线就得到了截面.主要根据:(1)确定平面的条件;(2)三线共点的条件;(3)面面平行的性质定理.训练如图,E,F分别为正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1,C1D1的中点,若AB=6,则过A,E,F三点的截面的面积为.

一、单选题1.给出以下四个命题:①依次首尾相接的四条线段必共面;②过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面;③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角必相等;④垂直于同一条直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是().A.0 B.1 C.2 D.32.如图所示,P是正方体ABCDA1B1C1D1中棱C1D1上异于端点的一个动点,连接A1P并延长,则A1P与直线().A.CC1相交 B.BC相交 C.BB1相交 D.B1C1相交3.在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且斜边BC=2,D是BC的中点,若AA1=2,则异面直线A1C与AD所成的角的大小为().A.30° B.45° C.60° D.90°4.如图,已知在正三棱柱ABCA'B'C'中,AB=9,AA'=3,点P在四边形ABB'A'内,且P到AA',A'B'的距离都等于1,若D为BC上靠近C的四等分点,过点P且与A'D平行的直线交三棱柱ABCA'B'C'于点P,Q两点,则点Q所在的平面是().A.平面ACC'A' B.平面BCC'B'C.平面ABC D.平面ABB'A'二、多选题5.(2023·江苏南京陵中学校考)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分别为棱A1B1和A1C1上的点(不包括端点),且BE∩CF=P,则下列结论正确的是().A.B,C,E,F四点共面B.P∈平面ABB1A1C.平面AEF与平面BB1C1不相交D.P,A1,A三点共线6.如图,这是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,下列说法正确的是().A.GH与EF平行 B.BD与MN为异面C.GH与MN成60°角 D.DE与MN垂直三、填空题7.如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则直线GH,MN为异面直线的图形有.(填序号)

8.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为.

四、解答题9.如图,已知空间四边形ABCD的对角线AC=20,BD=19,异面直线AC与BD所成角的余弦值为1819(1)求证:四边形PQMN是平行四边形.(2)求四边形PQMN的面积.10.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点,(1)求证:E,C,D1,F四点共面.(2)求证:D1F,CE,DA三线共点.(3)求异面直线C1E与CD1所成角的余弦值.11.在正四棱锥P