江苏省南通市2024届高三5月高考适应性三模考试数学试卷及答案

江苏省南通市2024届高三下学期高考适应性考试(三)数学试题

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的)

1.已知集合2={1,2,3,4},5=卜|1082(%一1),,2},则集合幺门8的子集个数为()

A.32B.16C.8D.4

2.在梯形/BCD中,28//CO,且25=2CO,点M是8C的中点，则而=()

2—­1--1—-2—■—■1—-3—-1—.

A.—AB——ADB,—AB+—ADC.AB+—ADD.-AB+-AD

3223242

3.[x6-的展开式的常数项为()

A.-21B.-35C.21D.35

4.国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为2m,4m,侧棱长为3m的正四棱

台，则该台基的体积约为()

B.28sm③C.28m3

3

5.在平面直角坐标系xOy中,已知点711(2,1)为抛物线E;X2=2py(p>0)上一点，若抛物线E在点M处的

切线恰好与圆。：/+3一6)2=2(5<0)相切,则6=()

A.—yf2B.-2C.-3D.-4

JI.4

6.已知0<0<a<3，sin(o-Q)=1,tani-tan/?=2,则sinasin/?=(

112

A.-B.-C.一

2552

7.某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠

军.已知甲、乙两人水平相当，记事件/表示“甲获得冠军”，事件8表示“比赛进行了五局“，则尸(R豆)=

(

1135

A.-B.-C.一D.—

24816

8.设定义域为R的偶函数j=/(%)的导函数为j=/(%)，若/'(X)+(x+1)2也为偶函数，且

/(2。+4)>/(4+1),则实数a的取值范围是(

A.(-℃,-1)^(3,+00)B.(-°°,-3)u(l,+oo)C.(-3,1)D.(-l,3)

二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符

合题目要求、全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.已知句/2都是复数,下列正确的是（）

A.若Z]=z2，则z/2eRB.若ZR2上R，则Z]=Z2

C、若㈤=艮|，则z：=z；D.若Z12+Z；=0,则匕J=匕2|

10.在数列｛%｝中，若对V/2eN*,都有""+2—=q（q为常数），则称数列｛%｝为“等差比数列”均为公差

%+1-an

比,设数列｛%｝的前〃项和是S„，则下列说法一定正确的是（）

A.等差数列｛%｝是等差比数列

B.若等比数列｛4｝是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同

C.若数列｛5„｝是等差比数歹U,则数列｛。角｝是等比数列

D.若数列｛4｝是等比数列,则数列阻｝等差比数列

11.在棱长为2的正方体ABCD-481GA中，点E是棱BBX的中点，点F在底面ABCD内运动（含边界），则

（）

A.若尸是棱CD的中点，则ER//平面A.BD

B.若跖，平面4GE，则厂是8。的中点

C.若F在棱AD上运动（含端点），则点F到直线A.E的距离最小值为竽

D.若尸与5重合时，四面体4GEE的外接球的表面积为197r

三、填空题（本题共3小题,每小题5分，共15分.）

X

2?X<0,rzx-

12.已知函数〃x）=j为则//]

sinZAn—,X...U,'乙）

【I6j--

13.在平面直角坐标系xOy中，片，鸟分别是双曲线E：亍-?=1的左,右焦点，设点P是E的右支上一点,

则----------的最大值为

PF】PF2

14.定义:团表示不大于x的最大整数,｛%｝表示不小于x的最小整数，如[1.2]=1,｛1.2｝=2.设函数

/（x）={x[x]}在定义域[OM（〃eN*）上的值域为C,,记G中元素的个数为an，则的=

—+—+••-+—=_____________.（第一空2分,第二空3分）

d-ydn

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分13分）

如图,正方形ABCD是圆柱0,0的轴截面，己知45=4,点£是标的中点，点M为弦3E的中点.

（1）求证〃平面ADE;

（2）求二面角D—OiM—E的余弦值.

16.（本小题满分15分）

跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能，抑制人体癌细胞

生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步，某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表.

喜欢不喜欢合计

男12820

女101020

合计221840

（1）根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关?

2-be)",7

附:力=--------------------------，其中〃=a+b+c+d7.

“(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸(/.%())0.1000.0500.0250.0100.001

2.7063.8415.0246.63510.828

2

（2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为张先生跑

步上班迟到的概率为（.对于下周（周一〜周五）上班方式张先生作出如下安排:周一跑步上班,从周二开始,

若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班,且因公司安排，周五开车去公司（无论周四

是否准时到达公司）.设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X,求X的概率分布及

数学期望£（X）.

17.(本小题满分15分)

在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,4c,已知a=2,c2=BA-BC-2cs，其中S为AABC的面积.

(1)求角力的大小；

⑵设。是边2C的中点，若48幺。，求AD的长.

18.(本小题满分17分)

22

在平面直角坐标系xOy中，点A,B分别是椭圆C：二+5=1(。〉6〉0)的右顶点,上顶点，若C的离心率为

ab

@，且O到直线AB的距离为2右.

25

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点尸(2,1)的直线/与椭圆C交于M,N两点,其中点M在第一象限，点N在x轴下方且不在j轴上，设直

线BM,BN的斜率分别为3左2.

①求证:工+工为定值，并求出该定值；

瓦k2

②设直线BM与x轴交于点T，求&BNT的面积S的最大值.

19.(本小题满分17分)

已知函数/(x)=e，-ax-cosx,且/(x)在［0,+oo)上的最小值为0.

(1)求实数a的取值范围；

(2)设函数＞=°(x)在区间。上的导函数为y=9(x)，若1对任意实数xe。恒成立，则称函数

9(x)

y=9(x)在区间。上具有性质S.

①求证:函数/(x)在(0,+®)上具有性质S；

②记rip(i)=夕(1)夕(2)…p(〃)，其中〃eN*,求证:flz-sin->——-——

,=1/=1In(n+1)

2024年高考适应性考试（三）

数学试题参考答案及评分标准

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

题号12345678

答案CDBACBAA

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分）

题号91011

答案ADBCDACD

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.—13.三514.3—

2277+1

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分13分）

（1）证明：取NE的中点N,连结ON,FN.

在△NE8中，M,N分别是£8,E4的中点,

所以AfiV〃/3,且AB=2MN.

在正方形中，AB//CD,^.AB=CD,

又点Q是CD的中点，

所以。且/8=2QD

所以且MN=OiD,

所以四边形MVOQ是平行四边形，........................3分

所以OXM//DN.

又DNu平面NOE,QMU平面

所以〃平面NDE..................................................6分

（2）解：因为N8是圆。的直径，E是N8的中点，且48=4,

所以。£_L05,且。E=0/=08=2.

以。为坐标原点，以。£,0B,。。1所在直线分别为x轴，＞轴，z轴建立如图所示

的空间直角坐标系。一干＞z.

依题意，。(0,0,0),01(0,0,4),B(0,2,0),EQ,0,0),M(l,1,0),

A(0,-2,0),£)(0,-2,4)..................................................7分

所以证=(1,1,一4),西=(0,2,0),乖=(2,0,-4).

设4=(占，”，zj是平面O\MD的法向量,

则，.空=0,即…[0,取…,

得乃=0,z\—\,

,四=0,[2%=0,

所以加=(4,0,1)是平面OiMD的一个法向量..................................................9分

设%=(%2,y2,z?)是平面OXME的法向量,

n-OM=0,优+%-4Z=0,

则＜2X即2取必=2,得竺=2,Z2=1,

[2X-4Z=0,

n2•O[E=0,22

所以鼠=(2,2,1)是平面O1ME的一个法向量..................................................11分

3V17

所以cos储，几2)=1rli%4x2+0x2+lxl

V42+02+12-V22+22+1217

设二面角D—OiM-E的大小为9,

据图可知，cos6=cos(〃],“2)=3^^，

所以二面角D-O.M-E的余弦值为巫.............................13分

17

16.(本小题满分15分)

解：(1)假设为:人们对跑步的喜欢情况与性别无关.

根据题意，由2x2列联表中的数据，

40x(12xl0-8xl0)2

可得/==—®0.4040<3.841,....................................3分

20x20x22x1899

因为P(/23.841)=0.050,

所以没有95%认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联....................5分

(2)X的所有可能取值分别为1,2,3,4.

P(X=1)=；;....................................7分

p(X=2)=-x-=-；..................9分

'7339

P（X=3）=|x|xl=±;

P^X=4）=-x-x-=—,....................................13分

'）33327

二匚2L/T八11c2c4.865

月f以石'（X）=lx—F2x—F3x---F4x—=—.

v739272727

所以X的数学期望为生...................15分

27

17.（本小题满分15分）

解：（1）据。2=拓•数—20S,可得。2=C.Q.COS5—zGxLacsinB,

2

c=acosB-sinB,....................................2分

结合正弦定理可得sinC=sinAcosB-y/3sinAsinB.

在中，sinC=sin［兀-（/+5）］=sin（4+5）=sin4cos5+cos/sin5,

所以sin4cosB+cos/sin5=sinAcos5—VJsin/sin5,

整理得cos4sin5=-6sin4sin5.....................................4分

因为sin5>0,故cosZ=~\/^sin/,BPtanA=--—,

又4E（0,兀），所以/=:兀...................6分

（2）法一：因为。是边BC的中点，a=2,所以助=。。=1.

在△4AD中，ABLAD,则40=5Qsiiig=sin5.............................................8分

57171Sjr

在△ZCZ）中，ZCAD=-71--=-,C=71——R—B=——B,CD=1,

62366

据正弦定理可得，CD=型,即，=“、,

sinZCADsinC..it］

sin—sm——BD

3<6）

所以/D=^^11］已一8）.....................................11分

即由sin5='cos5—@sin5,

222

所以cos5=sin5,....................................13分

又sin2B+cos25=1,Bw（0,冗）,

所以5苏3+（2百sin3『=1,解得sin8=普，

所以姮...................15分

13

法二：因为。是边2c的中点，故

所以Lc./Z）=Lb./Z）.sinNrUC,即•AD=•/。・sin（兀一型〕,

2222I6I

整理得c=^6①...................10分

2

在△N8C中，据余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosABAC,

BPb2+c2+yfibc=4②.

联立①②，可得6=4，c=茎.....................................13分

V13VI3

在RtZi4BD中，据勾股定理得，AD2=BD2-AB2=1-j=：,

所以/。=姮.....................................15分

13

法三：延长A4到点X,使得SLAB.

在RtZkC/ffi中，ADLAB,CHLAB,微AD〃CH,

又。是2C的中点，所以/是的中点，

所以/〃=/B=c,CH=2AD,KHB2+HC2=a2=4.

..................10分

S7T

在RtZXC™中，ACAH=7i-ABAC=n一一TI=-,AC=b,AH=c,

66

所以CH=6sin/C/H=▲6,且c=bcosNCAH=^~b.

22

..................12分

所以（2c）2+[g4=4,即+g42=4,解得6=警（负舍）,

^\^AD=-CH=-x-b=-b=—...................15分

222413

法四：延长4D到E,使4D=DE,连结E5,EC.

因为。是3c的中点，且

故四边形4BEC是平行四边形，BE=AC=b.

55TL

又/BAC=-7if所以NABE=7i—/BAC=TI—兀=—.

666

在中，ABLAD,ZABE=-,AB=c,BE=AC=b,

6

]万

所以4E=BE-sin乙4BE=—b,S.c=BE-cosAABE=—b.

22

..................10分

111

在RtZAkBAD中，ABLAD,AB=c,AD=_AE=_b,BD=—a=l,

242

据勾股定理2笈+AD?=BO?,可得=1,

..................13分

将。=@6代入上式，可得6=生@（负舍），

213

所以=巫...................15分

413

18.（本小题满分17分）

解：（1）设椭圆C的焦距为2c（c>0）,

因为椭圆。的离心率为"，所以二=",即,2=3/,

2a24

据/-〃=c2,得/一尸=302,即a=28.....................................2分

4

所以直线N8的方程为成+看=1,即x+2y-2b=0,

因为原点。到直线的距离为:石，

故目=2』,解得6=1,

#+225

所以。=2,....................................4分

丫2

所以椭圆C的标准方程为二+/=1.....................................5分

4

（2）设直线/的方程为了-1=左（》-2）,其中左>：,且左与，即y=丘一2左+1.

设直线/与椭圆C交于点M（X],必），N（X2）y2）.

y=kx-2k+1,

整理得（4后2+1）工2—（16公-8左）x+16-—16左=0,

联立方程组X22_i

-----by=1,

14,

16k2-8k16左2—16左

所以玉+%=x,x=--------------....................................8分

4F+1124公+1

1JX1|

①所以

左左2%一1%—1左（玉-2）k2-2）k（X]—2%2—2,

2XyX2一（项+%）2网毛一（西+%）

k（再_2）（々_2）kxAx2-2（X]+x2）+4

16-—16左16kz-8k_3k

24左？+1-4左？+1_2里产=-4为定值，得证.

k16左2-16左c16E-8k~~k

------；---------2x——；------+4A

4k2+14k2+1+1

....................................11分

②法一：直线2M的方程为了=《x+1,令y=0,得》=-■-,故T-■—,0

XIK

设直线8N与x轴交于点Q.

直线2N的方程为y=+1,令y=0,得了=,故,0

k2Ik2

y=k2x+1>

联立方程组工22整理得（4代+l）f+8月工=0,

彳+y=1,

3或。（丹+1=4+1.

解得X=%=^+1=/[-叼

24代+1

所以△3NT的面积

1%

s=；|。小「十一

左2%+1

由①可知，—

7

所以S=4+—

k2

因为点N在x轴下方且不在y轴上，故《〈-■或42>工，得2+工>0,

所以S="+「.含=£？4.筌1+',

....................................14分

显然，当心〈一工时，5=4卜+七二Q<4,

-214^+1J

当上2>g时，Tl+母

>4,

1

故只需考虑左2>-,令％=2左2—1，贝队>0,

、

X

]

所以S=41+-4—=41+^—W41+=272+2，

2后+2,

（Z+1）+1t+-+2

t）

当且仅当t=2,t=五,即幺=也里时,

不等式取等号,

t22

所以△BN?的面积S的最大值为2夜+2.17分

法二：直线3M的方程为了=外:+1,令y=0,得彳=-工，故7，工，0

左1I左

设直线BN与x轴交于点0.

直线5N的方程为〉=左2%+1，令歹=0,得X=,故-■—,0.

《2I%2,

由①可知，—+—=—4,故—=4,

k[k2k]k2

所以点4(2,0)是线段T0的中点.

故的面积S=2S.N=2x^AB\xd=y/5d,其中d为点N到直线

的距离...................14分

思路1显然，当过点N且与直线平行的直线，与椭圆C相切时，d取

最大值.

设直线/'的方程为y=+<0),即x+2j-2加=0,

1

y=——x+m,

2

联立方程组2整理得/_2必+2疗-2=0,

X21

—1~y=1,

14,

据A=(—2m)2-4(2加之—2)=0,解得m——y/2(正舍).

所以平行直线/tx+2y+2后=0与直线/：x+2歹一2=0之间的

距离为度/51=与二，即"的最大值为理工.

V5V5V5

所以ABNT的面积S的最大值为V5x河二=141+2.

V5

.................................17分

思路2因为直线/的方程为x+2y-2=0,

所以S=yf5d=y/5-民：2j?+2%-2|,

Vl2+2211

思，-2</<2,%2w0，%<0，%2+2y2-2<0,

所以S=+2歹2—2]=—（工2+2%）+2.

2

因为阳々，％）在椭圆C上，故号+£=1,即考+（2%）2=4,

所以[二2%卜*+；%）=2,当且仅当％=2%=-也时取

等号，故-2亚%+2%W2收,

所以5=-(%+2%)+2・2+2夜，

即△5NT的面积S的最大值为2及+2.

....................................17分

思路3因为直线/的方程为x+2y-2=0,

所以S=点4=石」％=|羽+2%—2|,

#7711

因为N(x?,%)在椭圆C上，故J+£=l,

设X2=2COS6,y2=sin0,不妨设0e1兀，兀，2兀)，

所以5=民+2%-2|=|2cos6+2sin0-2|=20sin]d+；j—2,

当。=2,x,=-V2,%=一走时，SW2夜+2.

4222

即△2NT的面积S的最大值为2a+2.

....................................17分

19.(本小题满分17分)

解：(1)f(x)=ex-ax-cosx,%N0,/(0)=e°-tzx0-cos0=0,

/*(x)=ex-q+sinx,/,(0)=e°-6z+sin0=l-6z,

/"(x)=ex+cosxNl+cosx20,等号不同时取，

所以当x20时,/H(x)>0,/")在[0,+oo)上单调递增，/'(%)》/⑼=1-。.

(i)若1一〃>0,即QWI,尸(x)21—a20,/(x)在[0,+00)上单调递增，

所以/(x)在[0,+00)上的最小值为/(0)=0,符合题意.

....................................3分

(ii)若1—q<0,即Q>1,此时广(0)=1—〃<0,

/[ln(a+2)]=2+sin[in(a+2)]>2-1>0,

又函数广⑺在[0,+oo)的图象不间断，

据零点存在性定理可知，存在%£(0,皿〃+2)),使得尸(x)=0,

且当X£(0,%0)时,/*(x)<0,/(X)在(0,%)上单调递减,

所以/'(工0)</(。)=0，与题意矛盾，舍去.

综上所述，实数。的取值范围是(-00,1]...................6分

(2)①由(1)可知，当x>0时，/(x)>0.

要证：函数/(x)在(0,+动上具有性质S.

即证：当％>o时，%((：)〉].

即证：当％>0时,x-/*(x)-/(x)>0.

令g(x)=x，,x>0,贝ljg(x)=x-(ex一a+sinx)-(e"-QX-COSX),

BPg(x)=(x-l)ex+xsinx+cosx,x>0,g*(x)=x(e，+cosx)>0,

所以g(x)在(O,+8)上单调递增,g(x)>g(O)=O.

即当x>0时，x-/*(x)-/(x)>0,得证...................11分

②法一：由①得，当x>0时，(x-l)ex+xsinx+cosx>0,

所以当x>0时，(1-x)ex<xsinx+cosx.

下面先证明两个不等式：(i)ex>x+l,其中x>0；(ii)cosx<吧，其

X

中X£(O,1).

(i)令夕(x)=e"一工一1,x>0,则p<x)=e"-1〉0,。(%)在(0,+8)上单

调递增，所以p(x)>p(O)=O,即当x>0时，ex>x+1.

1sin2x

(ii)令夕(x)=tanx—x,XG(0,1),则夕'(x)=——：---1=——z—>0,

cosXCOSX

所以夕(力在(0,1)上单调递增,故夕(力〉夕(0)=0,

即当工£(0,1)时，tanx>x,故sinx>口,得cosx<‘由'.

cosxx

..................13分

据不等式(ii)可知，当xw(0,l)时，(l-x)ex<xsinx+cosx<^x+—^sinx,

所以当xw(0,1)时，sinx>四~—ex.

结合不等式（i）可得，当X£（0,l）时,

x(l-x)+x(l-x)(l+x)x(l-x)

sinx>e>—

x2+1x2+l(l+J1+x

sinx1-x

所以当X£(O,1)时,------>-------.15分

X1+X

—_"1

1.1

当〃2