2024年高考数学复习题型归纳讲义 立体几何 综合检测（新高考）解析版

第八章立体几何章末检测

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求.

Q

1.若〃=(1,42),6=(2,-1,2),且〃，b的夹角的余弦值为丁则丸等于()

22

A.2B.—2C.-2或方D.2或一百

【答案】C

【分析】根据C。乂丽=§,解得即可得出答案.

【详解】解：因为0=(1,42),6=(2,-1,2),

/j\a,b2—4+48

加以'/诽3历I79

2

解得：彳=-2或三.

故选：C.

2.已知空间两不同直线加、"，两不同平面a,0,下列命题正确的是()

A.若〃〃/c且”//a,则价〃〃

B.若根_1_6且m则〃//£

C,若〃0且加〃/?,则

D.若加不垂直于且“ua,则比不垂直于”

【答案】C

【分析】A选项，〃，与“可能平行、相交或异面，B选项，有或〃〃£,C选项，由面面垂直的判

定定理可知正确.D选项，加与“有可能垂直.

【详解】对于A选项，若加//c且"//&,则加与"可能平行、相交或异面，故A错误.

对于B选项，若，〃，，且则”u6或“///,故B错误.

对于C选项，因为根〃口，所以由线面平行的性质可得夕内至少存在一条直线〃，使得相〃"，又〃

所以〃J_4,由面面垂直的判定定理可知故C正确.

对于D选项，若小不垂直于a,且wua,加与”.有可能垂直，故D错误.

故选:C.

3.在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为

居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4,侧面积为15万，圆柱的

侧面积为18万，则该毡帐的体积为（）

A.39兀B.187tC.387rD.45兀

【答案】A

【分析】直接利用圆锥侧面积公式以及母线、底面半径和高的关系得到方程组即可解出圆锥底面半径，再

利用圆柱侧面积公式即可求圆柱的高，最后再根据相关体积公式即可得到答案.

【详解】设圆柱的底面半径为小高为力，圆锥的母线长为/,

因为圆锥的侧面积为15兀，所以万〃=15兀，即71=15.

因为产=/+42,所以联立解得厂=3（负舍）.

因为圆柱的侧面积为18兀，所以2如7?=18兀，即2;rx3〃=18兀，解得力=3,

所以该毡帐的体积为g兀产x4+兀/〃=39兀.

故选：A.

4.如图，ABC-ABC是直三棱柱，/BC4=90°,点2，々分别是A4，AC的中点，若BC=C4=Cq,

则8R与世所成角的余弦值是（）

「屈

Vz.-----D

15-f

【答案】A

【分析】以C为原点,建立空间直角坐标系，然后坐标运算即可.

【详解】以C为原点,建立如图所示空间直角坐标系,

设8C=C4=CG=2,则A(2,0,0),3(0,2,0),7^(1,1,2),(1,0,2),

可得一1,2）,A居=（一1,0,2）,

cos»A，纳〉=产胃鼻3屈

10'

此时,与”所成角的余弦值是噜

故选：A

5.如图，在正四棱台ABC。-44GA中，AB=2A1B1,E、尸分别为棱8、CG的中点，则下列结论中

A.AE〃平面BCG与B.AC±BB1

C.〃平面D.\E1BF

【答案】C

【分析】利用线面平行的性质可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；取棱的中点G,连

接AG、FG,推导出AG、M相交，可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断D选项.

【详解】对于A选项，连接2石，如下图所示：

在正四棱台ABCD-中，AB=2AXBX,则CD//QD,且C。=2&口,

因为E为CO的中点，贝（JCE//G2且CE=CQ,

所以，四边形CG2E为平行四边形，则QE//CC，

因为RE<Z平面34C|C,CGu平面5B]CC，所以，RE〃平面BB^qC,

由正四棱台的几何性质可知，四边形ABCiR为正方形，则A2〃片G，

因为ARU平面B8CC，耳Gu平面8BCC，所以，A2〃平面BBCC，

因为42D[E=R,A。、AEu平面ARE,则平面A2E〃平面

因为AEU平面ARE,所以，AE〃平面A对;

对于B选项，将正四棱台A3。-4型出补成正四棱锥尸-ABCD，

连接AC交3。于点。，则。为AC的中点，连接尸。,

p

又因为四边形ABC。为正方形，则AC，

因为尸OBD=O,PO、BDu平面PBD,所以，AC_L平面尸瓦）,

因为平面pec,故AC_L881,B对；

对于C选项，取棱的中点G,连接AG、FG,

因为八G分别为CG、。，的中点，所以，FGHCD宜FG丰CD,

因为AB//CD且AB=C£>,散FGHAB豆FG手AB,

故四边形ABFG为梯形，且AG、母1为两腰，则AG、所相交，

又因为AGu平面411A。，从而直线跖与平面的有公共点，

即防与平面MRD不平行，C错；

对于D选项，连接与C,如下图所示：

因为GA〃C。，CD=2CR,E为8的中点，则CE//G2且CE=G2,

因为A耳〃GA且=所以，CE//A4且CE=A4,

故四边形4瓦以为平行四边形，所以，B°AE,

若8AE,则不妨设3C=2,4G=1,

在平面BCG4内，以点8为坐标原点，3c为X轴,

过点3且垂直于BC的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,

设点耳到直线BC的距离为3则3（0,0）、旦&，4、以2,0）、cj|,/z

=则用€：.3尸=?_。=0，解得力=浮，

即当点耳到直线3C的距离为孚时，…'D对.

故选：C.

6.圆锥的高为1,体积为万，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）

A.2B.6C.0D.1

【答案】A

【分析】首先根据题意，确定出圆锥的底面圆半径和母线长，从而确定出轴截面的顶角，结合三角形的面

积公式可确定其为直角三角形时面积最大.

【详解】圆锥的高为1,体积为万，则底面圆的半径为G，母线长为2,

轴截面的顶角为0告77"，

当截面为直角三角形时，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积最大，

最大值为:x2x2=2,

故选：A.

【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关过圆锥定点截面面积的最值问题，正确解题的关键是要明确圆锥

轴截面顶角的大小以及三角形面积公式.

7.在,.ABC中，BC=5AB=1,tan/ABC=—2,将ABC绕AB旋转至“ASP处，使平面ABP工平面

ABC,则在旋转的过程中，点C的运动轨迹长度至少为（

尸⑹

C.2兀

【答案】A

【分析】根据题意，将三棱锥正方体中，结合条件可得点C的运动轨迹四分之一圆，即可得到结果.

P(o

【详解】

如图所示，将三棱锥尸-ABC放到正方体模型中，

因为BC=6，AB=l,tanZABC=-2,则正方体的棱长为2,

在旋转过程中，C点的轨迹是以D点为圆心，DC为半径的圆的四分之一，其长度为Jx无X2X2=TT.

4

故选：A.

8.四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。为边长为4的正方形，NPBA=NPBC,PD±AD,。为正方形ABC。

内一动点且满足QALQP,若PD=2,则三棱锥Q-PBC的体积的最小值为（）

84

A.3B.-C.-D.2

【答案】B

【分析】判断三角形全等，从而推出PDLCD,通过线面垂直得到AQLQD,确定点。在以49为直径的

半圆上，从而确定当点。是正方形A3CD的中心时，三棱锥Q-PBC的体积最小，从而利用三棱锥的体积

公式计算即可.

因为NPBA=NPBC,AB=CB,PB=PB,所以PAB沿PCB,

PA=PC,又、AD=CD,PD=PD,所以一

:.ZPDC=PDA,因为PZ)_LAD,所以PD_LCD,

又因为AD-8=0,所以PZ)_L平面ABC。.

：.PDLAQ,^QA±QP,QPPD=P,所以A。，平面PDQ,/.AQLQD,

故点。在以AD为直径的半圆上，

所以当点。是正方形ABCD的中心时，三棱锥。-PBC的体积最小，

111Q

即三棱锥Q-PBC的体积的最小值为VP_QBC=-SQBC-PD=—x—x4x2x2=—.

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知向量a=(-2,-1,3),b=(l,-3,2),1=(2,1,x),则下列命题中，正确的是()

A.若“_1°,》_Lc，卜=代，则c=(W)B.以0,〃为邻边的平行四边形的面积是7指

C.若则“，1之间的夹角为钝角D.若x>g,则0,d之间的夹角为锐角

【答案】BD

【分析】利用空间向量的垂直的坐标表示可判断A,利用平行四边形的面积与向量之间的关系可求面积判

断B,根据向量的夹角与数量积之间的关系可判断CD.

【详解】选项A,设c=(〃,b,c),由〃_Lc，b上c，

—2a—h+3c=0

化简得a=b=c,

a—3b+2c=0

因为卜卜百，所以C=(l,l,l)或C=(-L,-L,-1),即A错误;

选项B,由a=(—2,—1,3),b—(1,—3,2),

知〃./?=-2+3+6=7,|^|=V10,W=,

所以8@/'."\=雨a-b=标7府=1，

即（两寸,所以sin（硝T，

所以以a,6为邻边的平行四边形的面积

S=同胆忖11（2冲=14x^-=7g,即B正确;

选项C,若尤=-3,贝!][=（2,1,—3）=—（一2,—1,3）=—<7,

即a,“共线反向，故C错误；

选项D,若贝!]=—4一l+3x=—5+3无>0,

此时a,d之间的夹角为锐角，故D正确，

故选:BD.

10.如图，在正方体中，P是正方形的中心，E是PC的中点，则以下结论（）

A.B4//平面BZ5EB.平面PAC_L平面BDE

C.PC1BDD.异面直线尸。与A2所成的角为45。

【答案】ABC

【分析】利用线面平行判定定理即可证得选项A正确；利用面面垂直判定定理即可证得选项B正确；利

用线面垂直性质定理即可证得选项C正确；求得异面直线PC与AB所成的角判断选项D.

【详解】选项A：设AC与BD交于点。，连接OE,则OE//PA,

又OEu平面BDE,上40平面BDE,所以R4//平面BDE,故A正确；

选项B：连接PO,因为PO1平面ABCD,

所以「O_LB£）,又AC，BD,POAC=O,

所以即二平面PAC,又BDu平面BDE,

所以平面R1C，平面BDE,故B正确;

选项C：因为工平面PAC,PCu平面PAC,所以PCL3D,故C正确;

选项D：因为CD〃AB,所以异面直线PC与AB所成的角为/DCP或其补角,

设正方体的棱长为L连接PD,贝U3Lg加亭,

4,

在.PCD中,

2

所以异面直线PC与AB所成的角不等于45。，故D错误.

11.如图，在直三棱柱ABC-444中，底面是边长为2的正三角形，相=3,点M在B片上，且=g加片,

尸为线段上的点，则（）

A

A.GM，平面4WC

B.当尸为CM的中点时，直线A尸与平面ABC所成角的正切值为拽

3

C.存在点P,使得

D.存在点P,使得三棱锥P—40C的体积为88

【答案】BD

【分析】A：假设平面AMC,则可得AC_L平面2CC4,NACB=90。与已知矛盾，从而判断假设不

成立；B：取BC中点为N,可证PN_L平面ABC,NPAN为AP与平面ABC所成角，解AANP即可；C：

假设CPLAM,可得CP_L平面AMN,CP±MN,几何图形即可判断假设不成立；D：假设

匕一AMC=VA-PMc=—，求出ACPM的面积，判断△CPM面积是否小于或等于△CMC1面积即可.

4

【详解】对于A,假设和M，平面AMC,则GM，AC,易知CC」AC,CC,C=G，故AC,平面BCCXB},

故ACJ_BC,这与NACB=60。矛盾，故假设不成立，故A错误；

对于B,当P为GM的中点时，取BC中点为N,连接PN、AN,

易知PN〃CG,CC,J_平面ABC,则PNJ•平面ABC,

故NPAN即为AP与平面ABC所成角，

；(MB+CCJ|(1+3)20

PN

贝！)tanZPAN=-^=----=------==-，故B正确;

3x26

2

对于C,取BC中点为N,连接AN、NM,

由AN_LBC,人?4_1_6。知41\_1平面2。。4，故AN_LCP,

若CP_LAM,VANnAM=A,则CPJ_平面AMN,贝UCP_LMN,

过C作CG〃MN交GM于G,贝!JCP_LCG,即/PCG=90。，易知NPCG不可能为90。，故不存在P使得

CP±AM,故C错误；

对于D,取BC中点为N,连接AN,易知AN,平面BCC4，AN=石,

A

若三棱锥尸-的体积为上A,

4

则匕—PMC=¥n；SPMC.AN=¥=SPMC=q'

,**SCMC,=SBCC、MiSBCM=5,（CC[+BM）-BC=—■BC-BM

ii12g

=2X（3+1）X2-2X2X1=3=T>5PMC=1，

故存在P使SPMC=g时，三棱锥P-AWC的体积为38,故D正确.

44

故选：BD.

【点睛】本题充分考察空间里面的点线面位置关系，判断选项ACD时都可以采用假设存在P点满足条件,

然后结合几何关系推出与已知条件矛盾或不矛盾的结论，从而作出判断；选项B考察空间里面直线和平面

的夹角，根据几何关系可作出辅助线解决问题即可.

12.如图，在棱长为"的正方体ABC。-中，M,N分别是A8,的中点，尸为线段CQ】上的动

点（不含端点），则下列结论中正确的是（）

A.三棱锥PNC的体积为定值

B.异面直线8c与〃尸所成的最大角为45。

C.不存在点尸使得肱VLNP

D.当点尸为G2中点时，过〃、N、尸三点的平面截正方体所得截面面积为主8/

4

【答案】AD

【分析】对于A,点尸到平面MNC的距离为。为定值，利用体积公式即可判断；对于B,利用异面直线所

成角的求法即可判断；对于C,利用线面垂直证明线线垂直即可判断；对于D,先做出截面，再求其面积

即可.

【详解】点P到平面MNC的距离为。为定值，

▽C_21111111_3

—a—xx_a—xx_a—x_cix_a—_ci2•

"22222228

iai

所以%“wc=%-wc.xg/xa=ga3,即三棱锥"一PNC的体积为定值，故A正确；

JOO

设CO中点为。，连接

则/PMQ即为异面直线BC与MP所成的角

在RtAPMQ中，cosNPMQ=也=色-＜也

PMPM2

所以异面直线BC与MP所成的最小角为45。，故B不正确；

若P为GR中点，则尸平面ABCD,所以PQLMN,又MN1NQ,PQNQ=Q,所以MN,平面NPQ,

NPu平面NPQ,所以MNLNP,故C不正确；

取的中点E,用G的中点b，2月的中点G,连接A®、EP、PF、FG、GM,

所以过M、N、尸三点的平面截正方体所得截面为正六边形，面积为乎"，故D正确.

故选：AD.

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.《九章算术》中将正四梭台（上、下底面均为正方形）称为“方亭”.现有一方亭，高为2,上底面边长为2,

下底面边长为4,则此方亭的表面积为.

【答案】20+12百

【分析】先利用勾股定理求出正四棱台侧面的高，再根据多面体的表面积公式即可得解.

【详解】如图所示，AC/。分别是正四梭台不相邻两个侧面的高，AELCD,

则AE即为正四梭台的高，AE=2,

由AB=2,CQ=4,^AC=BD=

所以此方亭的表面积为42+4x包"=2。+12氐故答案为：2。+】2©

14.在棱长为1的正方体-A4CR中，点。为侧面88。。内一动点（含边界），若DQ=t，则点

Q的轨迹长度为.

【答案】v

【分析】根据题设描述确定Q的轨迹，即可求其长度.

【详解】由题意，。在面BBC。的轨迹是以C1为圆心，半径为的四分之一圆弧,

11兀

所以轨迹长度为片”片“

故答案为：V

4

15.已知三棱锥尸-一二。，若月小PB，尸。两两垂直，S.PA-l^PB=PC=1，则三棱锥尸一.二。

的内切球半径为.

【答案】7

4

【详解】试题分析：由题意，设三棱锥尸-ABC的内切球的半径为,，球心为。，则由等体积

xx

Vg_PAc=^O-PAB+^O-PAC+%-ABC-2xlxl=-x—x2xlx2xr+-x—xlxlxr+-x—X

y/2x.5--xr,r=—.

V24

考点：1.球的体积和表面积；2.棱锥的结构特征.

16.如图，在棱长为2的正方体A8CD-ABCR中，分别是棱A综42的中点，点E在3。上，点尸

在用C上，且3E=CF,点尸在线段CM上运动，给出下列四个结论：

①当点E是8。中点时，直线防〃平面。C£R；

②平面CM2V截正方体ABCD-a旦GR所得的截面图形是六边形；

③△男尸已不可能为直角三角形；

④△尸£>R面积的最小值是半.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①④

【分析】根据中位线的性质证线线平行后可得线面平行来判定①，利用平面的性质构造相交线可判定②,

建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积可判定③，利用空间中点到直线的距离可判定④

【详解】对①，如图所示，因为E是中点，BE=CF,

连接aC,显然尸也是aC的中点，连接£>G，

所以E尸〃CQ,而EV平面。CCB，。&<=平面”?。出,

所以直线跖〃平面OCG2,①正确;

对②，如图直线板v与G用、GA的延长线分别交于必，乂连接。叫,CM,分别交8与。。于加2，1,

连接MM^NN〉则五边形MM2CNN2即为所得的截面图形，故②错误；

以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，贝!]M(l,0,2),C(2,2,0)£(2,0,2),Q(0,2,2),

对③,设MP=#MC=r(l,2,-2)"e[0,r|),

则P(f+1,2t,-2t+2),则尸4=(1T,-2/2),尸R=(7-1,2-2t2),

若/男尸2=90,

则PBX-PD[=(l-r)(-r-1)+(-2z)(2-2t)+2/⑵=9/—4r-1=0得”芫叵，

由"红普40』，故存在点尸，使得/用P2=90,

故△男尸2可能为直角三角形，③错误；

对④，由③得P。+12,-2/+2）到。，的投影为（0,2-2r+2）,

故尸到0叩的距离d=J«+l）2+（2_2汀=,

△尸DR面积为S=g.2M=d=向二当/=（时，S取得最小值为苧，④正确.

故答案为：①④.

四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明'证明

过程或演算步骤.

17.在四棱锥P-ABCD中，PD_L平面ABCD,四边形A3CD是矩形，E,F,G分别是棱5C,AD,PA

（1）求证：PEP平面BFG；

（2）若PD=AD=1,AB=2,求点C到平面BFG的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）晅

17

【分析】（1）连接DE,证明平面尸凝尸平面BFG,即可说明PEP平面BFG；

（2）先计算出％_型，再利用等体积法匕bL%一型，即可求出点C到平面屏G的距离.

【详解】（1）证明：连接DE,•••在矩形ABC。中，E,尸分别是8C,AD中点，

DF=BE,。/〃BE,...四边形BED尸是平行四边形，BF.

；G是E4的中点，.•.尸GPPD.

,/PD,DE平面BFG,FG,BFu平面BFG,

:.PD,平面BFG,DE平面BFG.

VPDIDE=D,二平面PDEP平面3FG.

,/PEu平面PDE,:.PEP平面BFG.

(2)解：法一：；P£>_L平面A3CD,FGPPD,二FG_L平面A3CD.

过C在平面A3CD内，作CM_L3P,垂足为M,则FG_LCM.

•/FGIBF=F,：.CM，平面BFG,：.CM长是点C到平面BFG的距离.

在矩形ABC。中，P是AD中点，AD=1,AB=2,ABCM:"BA.

.CMBC

**FB'

•/FB=VAB2+AF2=—,BC=AD=1,：.CM

217

即点C到平面BFG的距离为勺叵.

17

法二：设。到平面5尸G的距离为心

在矩形ABC。中，AF=-AD=~,

22

；P£>_L平面A3c。，3尸u平面ABCD,工PD_LM,

VFGPPD,：.FG1BF,FG=-PD=-,

22

,ABFG的面积为-BFxFG=—.

28

ABCF的面积为—BCxAB=1,VC-BFG~VG-BCF)

：.lx^d=-xlx-,：.d=^-,即点C到平面BFG的距离为生叵.

38321717

【点睛】本题考查利用面面平行的性质定理证明线面平行、利用等体积法求点到平面的距离，属于基础题.

18.如图，正三棱柱ABC-44。中，Af是侧棱CG上一点，设平面K414c平面ABC=/.

(1)证明：AB//1-

(2)当/为CG的中点时，平面蛆耳与平面A8C所成的锐二面角的大小为30。，求直线MB与平面”A4所

成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵半

【分析】（1）先根据正三棱柱的结构特征得到4片〃48,进而得AB//平面MA4,然后利用线面平行的性

质定理即可得证；

（2）先寻找垂直关系建立空间直角坐标系，然后根据平面与平面ABC所成的锐二面角的大小为30。,

求得三棱柱的底面边长和侧棱长之间的关系，最后求解线面角的正弦值即可.

【详解】（1）解：（1）在正三棱柱ABC-44cl中，易知

因为4月u平面,ABo平面加4,21,所以Afi〃平面2片.

因为ASu平面A3C,平面跖\耳c平面ABC=/,所以AB〃/.

（2）（2）取AB的中点。，连接CO,易知—ABC是正三角形，所以COJ_AB.

又三棱柱ABC-444是正三棱柱，所以的，平面ABC,

所以以。为坐标原点，过点。与AA平行的直线为x轴，OB,OC所在直线分别为＞轴、z轴建立如图所示

的空间直角坐标系.

设AB=2a,AAl=h,则A（/?,-4,0）,4（/i,a,0）,B（0,«,0）,。倒,0,疯?），£（九0,指a）,A/g,。,百a）,

所以44=（0,2a,0）,囱”.

设平面AM,用的法向量为〃z=（x,y,z）,

"用=。［2冲=。

则，即/?6八，

m-AiM=0—x+ay+y/3az=0

、2

则y=。，令X=2疯7,则Z=〃，所以〃?=（2折,0,/2）,

易知平面ABC的一个法向量n=（1,0,0）,

因为平面MAB,与平面ABC所成的锐二面角的大小为30°,

2疯zy/3

所以一,=—,整理得/z=2a,

lx7（2V3a）2+/r2

所以M8=（-a,a,-y/3aj,m=^2y/3a,0,2aj,

设直线MB与平面”与所成角的大小为。，

4拒a2A/15

则sina=\cos(m,MB

«2瓜)。+0+(24xJ(-a/+J+(_瓜芋5'

,AD=-BC=43,PC=5AD〃BC,AB=AC,441)=150。,

2

ZPZM=30°.

(1)证明：24,平面ABCD；

(2)在线段上是否存在一点F,使直线CF与平面P8C所成角的正弦值等于I?

4

【答案】(1)证明见解析

⑵存在

【分析】(1)利用勾股定理证得以，AC,结合线面垂直的判定定理即可证得结论；

(2)以A为原点建立空间直角坐标系，设点尸(x,y,z),PF=2PD(O<A<1),求得平面尸BC的法向量

n=(1,0,1),利用已知条件建立关于九的方程，进而得解.

【详解】(1)取BC中点为E,连接AE,

在中，AD=6,ZPDA=30°,.-.PA=1,

AD//BC,ZBAD=150°,所以N3=30°,

_BE

y.AB=AC,.-.AE1BC,而2。=26，所以AC=AB=——=2,

cos30°

又尸C=S.-.PA2+AC2=PC2,:.PAYAC,

又AD\AC=A,R4_L平面ABC。

(2)存在点F是尸。的中点，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于J.

4

以A为坐标原点，以AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，

则P(O,O,1),B(1-V3.0),C(1,A/3,0),D(0,A/3,0),设点厂(x,y,z),

因为点F在线段上，设尸户=4PD(0<2<1),.,./((),扇,1-2)，.-.FC=(1,A/3-732,2-1),

设平面PBC的法向量为"=(x,y,z),PB=(1,-V3,-l),PC=(1,^,-1)

n•PB=x-6y-z=0

则〃—+A-二。令％=z=l,贝!|〃=(1,0,1)

设直线CF与平面PBC所成角为e,

解得或彳=v(舍去),

:.PF=^PD,此时点F是P£>的中点，所以存在点F.

20.如图1,己知矩形ABC。，其中AB=2,BC=4,线段A。，BC的中点分别为点E,F,现将一ABE沿

着BE折叠，使点A到达点P,得到四棱锥尸-BCDE,如图2.

F

图1

(1)求证：BE±PF；

(2)当四棱锥尸-3CDE体积最大时，求二面角尸-EC-3的大小.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)要证明线线垂直，需先证明线面垂直，首先作辅助线，取BE的中点O,连接PO,OF,证

明3E_L平面PFO；

(2)首先确定点尸的位置，法一，利用坐标法，求二面角；法二，几何法，根据二面角的定义，得二面角

尸-EC-3的平面角就是即可求解.

【详解】(1)取BE的中点O,连接PO,OF,

因为AB=2,BC=4,线段AD,BC的中点分别为点E,F,所以BE=CE=2。ZBEC=90°,

又因为FO〃CE,所以FO_L3E,在等腰直角△P3E中，POLBE,

FOcPO=O,所以BE_L平面PFO,

因为Pbu平面PFO,所以

(2)当四棱锥P-3CDE体积最大时，点P在平面BCDE的射影即为点O,即尸02平面BCDE.

法一：以OB,OF,OP方向为x轴，y轴和z轴分别建立空间直角坐标系。-孙z.如图3.

则尸(0,0,⑹，E(-V2,0,0),C(-72,272,0),川企,0,0)

PE二卜区0,-⑻,EC=(0,20,0)

.A.>.r(、[M-PE=0[-A/2X-yflz=0

设平面PEC的法向量为〃=(%,%z),贝"

[n-EC=0[y=0

取X=l,可得”=(l,0,T)

易得平面ECB的一个法向量历=(0,0])

所以cose，加瑞[=声-(

因为二面角P-EC-B是锐角，所以二面角P-EC-3的大小为了.

法二：在*ECB中,因为EC=2&,EB=2垃,BC=4,所以EBLEC.

在_PEC中，pc=RpO1+OC?=20>，PE=2,EC=2y[l,所以尸E_LEC.

由二面角的定义可知，二面角尸-EC-3的平面角就是NPEB.

n

所以二面角P-EC-3的大小为7.

4

____IT

21.如图，在四棱锥尸-AfiCD中，底面是边长为4的菱形，ZABC=-,”为3C的中点,

PA=PB=PH=2®.E为上的一点，且与平面ABCD所成角的正弦值为色.

(1)证明：平面R45_L平面ABC。；

PF

(2)试确定而的值，并求出平面以C与平面所成二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)募=；；平面K4C与平面X4B所成二面角的正弦值为"1

【分析】(1)取中点。，利用等腰三角形三线合一性质和勾股定理可分别证得POLAB,PO±OH,

由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论；

(2)以。为坐标原点可建立空间直角坐标系，设尸E=XPD(OV2V1),由线面角的向量求法可构造方程求

得汨由此可得苗=2;利用二面角的向量求法可求得结果.

【详解】(1)取AB中点。，连接尸

p

PA=PB,。为A3中点，:.PO±AB；

PA=2应，OA=^AB=2,」0=5尺一0#=2；

TT

.四边形A3co为菱形，ZABC=~,ABC为等边三角形，，AC=4,

又分别为A民BC中点，..0H=：AC=2,

:.OH-+PO-=PH~,即PO_LOH；

OHAB=O,0",48（=平面48仪）,PO_L平面ABCD,

尸Ou平面上4B,.,.平面R4B_L平面ABC。.

（2）连接CO,

由（1）知：ABC为等边三角形，；.COLAB,CO=A/42-22=273；

以。为坐标原点，。，。氏。尸正方向为工，％2轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

则4（0,-2,0）,C（20,0,0）,£>（26-4,0）,尸（0,0,2）,8（6,1,0）

AC=（2^,2,0）,PD=（2^3,-4,-2）,P”=（点1,-2）,PA=（0,-2,-2）；

设PE=APD（0<2<1）,贝!JPE=（2扇,-42,-22）,

:.EH=PH-PE=[-J?>-2A/3A,1+4A,-2+22）,

Z轴，平面ABCD，.二平面ABCD的一个法向量n=（0,0,1）,

班臼—