2024年5月北京市怀柔区九年级中考数学三模试卷含答案

北京市怀柔区2024届中考数学5月三模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.的倒数是（）

A.3B.—3C.-D.—

33

2.2024年4月25日20时58分57秒在酒泉卫星发射中心成功发射神舟十八号载人飞船,

神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体，总重量400000多千克，总高度

近60米.将400000用科学记数法表示应为（）

A.40x104B.4xl04C.4xl05D.0.4xlO6

4.如图，直线A3、8相交于点。，OC平分/AOE,/2OD=35°,则/BOE的度数为（）

C.110°D.145°

5.不透明的盒子中装有3个小球，每个小球上面写着一个汉字分别是“向”、"前”、“冲”，

这3个小球除汉字外无其他差别，从中随机摸出一个小球，记录其汉字，放回并摇匀，再从

中随机摸出一个小球，记录其汉字，则两次都摸到“冲”字的概率是（）

6.如果〃工+〃=i,那么代数式k-―•汇二±的值为（）

1m-n）n

A.-1B.1C.-2D.2

7.在今年的慈善基金捐款活动中，某单位对捐款金额分别是人民币100元、200元、300元、

400元和500元的人数进行了统计，制成如下统计图，那么从该统计图获得的四条信息中正

确的是（）

某单位捐款统计图

B.捐款金额为400元的人数比捐款金额为200元的人数要少

C.捐款金额为300元的人数最多

D.捐款金额为200元的人数最少

8.2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目一甘肃省阿克塞汇东新能源“光热

+光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成.该项目建成后，年发电量将

达17亿千瓦时.该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块

定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为48m2,则该正五边形的边长大约

是（）（结果保留一位小数，参考数据：tan36°®0.7,tan54°»1.4,742»6.5，V21«4.6）

图1图2

A.5.2mB.4.8mC.3.7mD.2.6m

二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9.分解因式：mx2-4m=.

10.若百I在实数范围内有意义，则X的取值范围是.

11.化简：上■+4的结果为.

12.某学校为了解九年级800名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了40名学生

进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不

超过2小时的学生有人.

每周课外阅读时间X

0<%<11<%<22<x<3尤>3

（小时）

人数691312

13.如图，点A,B,C,。在。上，ZCAD=30°,ZABD=5O°,则/ADC=

D

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ar2+bx+c（aN0）的图象与X轴交于

A（-2,0）,3两点，并且过。（加,〃）和。（2-机,明则点6的坐标为.

15.汽车的“燃油效率”是指汽车每年消耗1升汽油最多可行使的公里数，下图描述了A,B

两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.根据图中信息,下面4个推断中，合理的是

①消耗1升汽油，A车最多可行使5千米；

②2车以40千米/小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油：

③对于A车而言，行驶速度越快越省油；

④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车更省油.

16.如图「ABC中，ZACS=90°,AB=4,AC^x,ZBAC=a,。为AB的中点，若点。

为直线BC下方一点，且△3CD与ABC相似，则下列结论:①若e=60。，^ABC^CBD,

则。。的长为2g；②若e=60。，则AD的最大值为2g；③若a=45。，8C与。。相交于

E,则点E不一定是的重心；④若AABCsABCD,则当x=2时，AC+CD取得最

大值.其中正确的结论是.

A

三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.计算：（7i-3）°-4sin60°+卜2|+疵.

此已知八3=。，求代数式占+1+E的值.

x+l

x<-----

19.解不等式组：｛2

8—2x〉2+工

20.在平面直角坐标系xQv中，一次函数丫=履+。（左片。）的图像经过点（4,1）和（0,-1）.

（1）求这个一次函数的解析式；

⑵当x>-2时，对于x的每一个值，函数丫=如（；九中0）的值大于一次函数>=履+6（左W0）的

值，直接写出机的取值范围.

21.如图，在平行四边形ABCD中，BDLCD,延长。到点E,使DE=CD,连接AE.

E

⑴求证：四边形ABCD是矩形；

(2)连接AC,若4c0=60。，CD=L求AC的长.

22.在平面直角坐标系xQy中，对于点尸和图形给出如下定义：若图形〃上存在一点

。不与0重合，使点尸关于直线。。的对称点P在图形M上，则称尸为图形M的关联点.

⑴如图，点4-2,2),8(2,2).在点G(l,0),C2(2,-2),2,0)中,线段A3的关联点

是;

(2)己知点。的半径为2,点P在直线y=6x上，若尸为。的关联点，求点P

的横坐标与的取值范围；

(3)eT的圆心为(0J),半径为3,无轴上存在eT的关联点，直接写出r的取值范围.

23.燕几(即宴几)是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思.全套燕几一共

有七张桌子，每张桌子高度相同.其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小

桌，它们的宽都相同.七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其

方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身.右图给出了《燕几图》中列出的名称为

“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式.若全套七张桌子桌面的总面积为61.25平方尺，则长桌

的长为多少尺?

24.如图，AB为。的直径，点C在。上，ZEAC=ZCAB,直线CD_LAE于点D,交

AB的延长线于点F.

(1)求证：直线CD为。的切线；

(2)当tan尸=g,8=4时，求陟的长.

25.某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的

部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机

抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图，(每组数据包括右端点但不

包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题:

用户用水疑扇形统计图

4:吨）

(1)此次抽样调查的样本容量是

(2)补全频数分布直方图;

(3)求扇形图中“15吨〜20吨”部分的圆心角的度数;

(4)如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区7万用户中约有多少万户的用

水全部享受基本价格?

26.某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站

在8点测得旗杆顶端E点的仰角为45。，小军站在。点测得旗杆顶端E点的仰角为30。.己

知小明和小军的距离8£>=6m,小明的身高48=1.5m,小军的身高C£)=1.75m,求旗杆

的高EF(结果精确到0.1,参考数据：72-1.41,73-1.73)

E

Q

27.如图，已知抛物线>=依2一］依一石的图象经过点。，OE=6()C,C是£D的中点,

P是抛物线上的一个动点，连接PD,设点尸的横坐标为加

(1)求抛物线的表达式；

(2)若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接。尸，当四边形0cop面积最大时，求〃的值;

⑶如图，若点。在坐标轴上，是否存在点。使N£DQ=75。，若存在，直接写出所有符合

条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

28.在RtZiABC中，ABAC=90°,AB=AC,点。，E是8C边上的点，DE=；BC,连

接AD.过点。作AD的垂线，过点E作3C的垂线，两垂线交于点凡连接AF交BC于点

G.

B(D)

图1图2

⑴如图1,当点。与点B重合时，直接写出NZMF与NBAC之间的数量关系;

（2）如图2,当点。与点8不重合（点。在点E的左侧）时,

①补全图形;

②4MF与一瓦IC在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请

说明理由.

（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段加，DG,CG之间的数量关系.

参考答案:

1.B

【分析】本题考查了倒数的定义，属于应知应会题型，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解

题关键.乘积为1的两个数互为倒数，据此即可解答.

【详解】解：的倒数是-3,

故选：B.

2.C

【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为axlO”的形式，其中

〃为整数，确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝

对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，〃是正数，当原数绝对值小

于1时〃是负数，由此进行求解即可得到答案.

【详解】解：400000=4x1()5,

故选：C.

3.D

【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对

折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.如果一个图形绕

某一点旋转180。后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称

中心.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

4.C

【分析】本题考查的是对顶角性质，邻补角的性质，角平分线的定义，熟记邻补角之和为180。

是解题的关键.

先由对顶角性质求得NAOC=35。，再根据角平分线的定义求出4OE,再根据邻补角之和

为180。计算，即可得到答案.

【详解】解：•/ZAOC=ZBOD=35°,

又：OC平分/AOE,

ZAOE=2ZAOC=70°,

ZBOE=180°-ZAOE=110°,

故选：C.

5.D

【分析】本题考查的是列表法或画树状图求解概率，根据题意列出表格即可求解.

【详解】解：根据题意列表如下：

向前冲

向向，向前，向冲，向

刖向，前刖，刖前，冲

冲向，冲前，冲冲，冲

共有9种等可能得情况，其中两次都摸到“冲”字的情况有1种，

则两次都摸到“冲”字的概率是：1,

故选：D.

6.A

【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值.

【详解】m+n=l

.Amm2-n2

Im-nJn

nm2-n2

nm-n)n

—n+—n)

m—nn

=-l.

故选：A.

7.C

【分析】条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，本题主要考查了从条形统计图读取每

个项目的数据，再做比较.从条形图中得出捐款金额分别是人民币100元、200元、300元、

400元和500元的人数，再进行判断.

【详解】解：由图知，捐款金额分别是人民币100元、200元、300元、400元和500元的

人数分别是2,5,11,5,6.

•・・选项A、B、D是错误的，正确的是C,捐款金额为300元的人数最多是11人.

故选：C.

8.A

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形

添加适当的辅助线是解题的关键.

设正五边形的中心为。，连接。4,OB,过点。作O尸，口，垂足为尸，根据正五边形的

性质可得ZAO3=72。，AC®的面积然后利用等腰三角形的三线合一性质可得:

ZAOF=36°,AB=2AF,从而设=再在中，利用锐角三角函数的定义求

出AF的长，从而求出的长，最后列出关于云的方程，进行计算即可解答.

【详解】解：如图：设正五边形的中心为O,连接。4,0B,过点。作C不，垂足为尸，

360°I48

ZAOB==72°,AOB的面积=二正五边形的面积=ym2,

-I-

OA=OB,OFYAB,

ZAOF=-ZAOB=36。，AB=2AF,

2

设OF=xm,

在RtAOAF中，AF=OF-tan36°«0.7x(m),

..AB=2AF=lAx(m)f

-ABOF=—

25

%—竺,

25

解得：x«3.71,

/.AB=lAx®5.2(m),

•••该正五边形的边长大约是5.2m,

故选：A.

9.〃z(x+2)(x-2)

【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，首先提取公因式〃?，进而利

用平方差公式分解因式即可，正确应用平方差公式是解题关键.

【详解】解:mr2-4m=m^x2-4),

=m(x+2)(x-2),

故答案为:m(x+2)(x-2).

10.x>—3

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负

数.据此即可解答.

【详解】解：：百口在实数范围内有意义，

3+^>0,解得：x>-3,

故答案为：x>-3.

11.3

【分析】本题考查了分式的加减法.根据同分母的分式的加减法运算法则进行计算.

【详解】解：3+4

X-lY—X

原式=上3尤'_一3、

X—1X—1

3x-3

x—1

,3(1)

x-1

=3

故答案为：3.

12.300

【分析】本题考查了频数(率)分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几

个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为

频数分布表.也考查了样本估计总体.用800乘样本中每周课外阅读时间不超过2小时的学

生所占的百分比即可.

【详解】解：800X—=300(人)，

估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生大约有300人.

故答案为：300.

13.100。/100度

【分析】本题考查了同弧上的圆周角的性质、三角形内角和等相关知识点，解题的关键是将

已知角度与待求角度集中在同一个三角形内.

利用同弧上的圆周角相等得到/ACD=NA5D=50。，然后利用三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：；ZABr>=50。，AD=AD

：.ZACD=ZABD=50°,

:ZCAD=30°,

：.ZADC=180°-ADAC-ZACD=180°-30°-50°=100°.

故答案为：100°.

14.(4,0)

【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征,

解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.根据点C(nvz)和。(2-相,〃)在二次

函数>=办2+/+C(。k0)的图象上，可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数

y=a/+法+c(“h0)的图象与无轴交于A(-2,0),8两点和二次函数的性质，即可得到点8的

横坐标，从而可以写出点8的坐标.

【详解】解：点和D(2-m,w)在二次函数y=加+6x+c(qw0)的图象上，

该函数图象的对称轴为直线x=U—2=1,

二次函数y=ax?+bx+c(a*0)的图象与x轴交于A(-2,0),3两点，

•••点5的横坐标为：lx2-(-2)=4,

点8的坐标为(4,0),

故答案为：(4,0).

15.②④

【分析】本题考查了折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描

出各点，然后把各点用线段依次连接起来.以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化.

【详解】解：①由图象可知，当A车速度超过4。千米时，燃油效率大于5km/L,所以当速

度超过40千米时，消耗1升汽油，A车行驶距离大于5千米，故此项错误；

②2车以40千米/小时的速度行驶1小时，路程为40千米，40km+10km/L=4L,最多消耗

4升汽油，此项正确；

③对于A车而言，行驶速度在0-80km/h时，越快越省油，故此项错误；

④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车燃油效率

更高，所以更省油，故此项正确.

故②④合理，

故答案为：②④.

16.③④

【分析】本题主要考查三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，

采用分类讨论和数形结合的方法是解题的关键.

当。=60。,3D，BC时，取得最大值，根据已知数据，结合勾股定理，求得AD的长，即

可求解；如图，若々=60。,刈4友”丫。3。，根据相似三角形的性质求得CD=6,

GE=DF=^,CF=-,即可求解；有3种情况，分别画出图形，得出

22

的重心，即可求解；如图，根据相似三角形的性质得出CD=1BC2,在心ABC中，

BC2=16-X2,根据二次函数的性质，即可求出最终结果.

【详解】当。=60。，如图，AD取得最大值，AB=4,

EA

/9c

AC=BE=2,BC=AE=273,BD=^BC=6,

DE—8,

AD=2Mw26,故②错误.

如图，若a=60o,VA3CsVCB。,

A

\!JZBCD=60°,ZCDB=90°,AB=4,AC=2,BC=2瓜OE=^3,CE=\,

Dr

:.CD=s/3,GE=DF=^~,CF=|,

；.EF=DG=-,0G=—，

22

：.OD=^2芯,故①错误.

有3种情况，如图1,BC和。。都是中线，点E是△ABD的重心；

AAA

一「二

D

DD

图1图2图3

如图2,四边形ABDC是平行四边形,歹是AD中点，点E是的△AB。重心;

如图3,点尸不是AD中点,所以点E不是Z\ABD的重心;

如图，LABCsABCD,

A

上。

—,

——•瓦•AB

D

BPCD=-BC2,

4

在H.ABC中，BC2=16-X,2,

/.CD=-(16-X2)=--X2+^4,

4、)4

11

/.AC+CD=x—x9+4=--—(%—2)92+5,

44

当x=2时，AC+CD最大为5,故④正确.

故答案为：③④.

17.3

【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值和实数的混合运算，熟练掌握运算法则和特殊角

三角函数值是解答本题的关键.先求出特殊角的三角函数值、募的运算并对绝对值、二次根

式化简，再进行计算即可.

【详解】(兀一3)°-4sin60°+卜2|+尼

=l-4x—+2+2>/3

2

=3.

18.1

【分析】本题考查的是分数的混合运算.

将—-7化简为再整体代入，求值.

yx-l)x-12

L刀,的由T1+1.2X(x+l)(x-l)X2+X

【详解】解：原式=----—7---------------------—

x-1x-1x-l22

,x2+x-2=0,

x?+x=2，

，原式=1.

19.x<l

【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键.

先解每一个一元一次不等式，再取解集的公共部分即可.

冗+1①

【详解】解：原不等式组为*(三

8-2尤>2+x^)

解不等式①，得x<l；

解不等式②，得x<2,

原不等式组的解集为x<L

20.(l)y=1x-l

【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此

题的关键.

（1）用待定系数法即可得到一次函数的解析式;

（2）根据点（-2,-2）结合图象即可求得.

【详解】（1）解：•••一次函数y=Ax+6（左中0）的图象经过（4,1）,（0,-1）,

.[4k+b=l

[0x^+Z?=-l'

k=-

：.<2,

b=-l

一次函数解析式为y=

（2）解：把x=-2代入y=gx-l,求得y=-2,

，函数y=与一次函数y=g尤T的交点为（-2,-2）,

把点（一2,-2）代入y=mx（m丰0）,求得m=l,

当两直线平行时，加=g,

如图，

•.•当尤>-2时，对于尤的每一个值，函数丫=〃既（〃7学0）的值大于一次函数〉=；天-1的值,

<m<1.

2

21.（1）见解析

（2）AC=A/7

【分析】(1)先证明四边形AB。石是平行四边形，再根据产=90。，即可由矩形的判定

定理得出结论.

(2)解Rt_BDC,求得5。=也，再由矩形的性质得AE=50=石,/E=90,然后在RtAAEC,

由勾股定理求解即可.

【详解】(1)证明：四边形ABC。是平行四边形，

:.AB//CD,AB=CD.

DE=CD,

.•.AB=DE,且A3CE.

二•四边形ABDE是平行四边形，

■:BDLCD,

:.ZBDF=90。,

四边形ABDE是矩形；

(2)解：连接AC,

DE=CD,CD=1,

:.DE=CD=1

..CE=2

QBD±CD,

ZBDC=90,

ZBCD=60.

在Rt3QC中，ZBDC=90,

CD=1,tan/BCD=y[3.

BD=

四边形AB。石是矩形

AE=BD=6,/E=90,

在RtAAEC中,

：.AC=-JAE2+CE2="

【点睛】本师生考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角

形，熟练掌握平行四边形的判定与性质与矩形的判定与性质是解题的关键.

22.(1)C2,C3

3113

xp<--^-<xp<-

⑶-6Vf46

【分析】(1)点C?关于直线。3的对称点是点A,点C3关于直线Q4的对称点是线段A2的

中点，故C2,C3是线段A3的关联点；

(2)由题意得O尸=OP,则以。为圆心，。尸为半径的圆要与。有公共点即P,PP的

中垂线OQ与：D有交点即点。贝山。尸一2区142+。尸，即1WOPW3,①当点P在第一象

限时，当OP=1时，D,。内切于x轴正半轴，切点为点P,则。G=%尸=［；当

22

1313

。尸=3时，D,。内切于x轴负半轴，切点为点P,则。G=Xp=wOP=］,因此］〈彳陵］，

当点尸在第三象限时，同理可求-日4与4-；；

(3)当。P,。。与eT相切时，NPOP最大,能让点P，落在x轴上，当点P'落在x轴负半

轴时，设NPOT=NQOT=a,则NP0Q=2a,可得3e=90。，则a=30°,

此时r=6,当点P，落在x轴正半轴时，可求r=-6,因此f的取值范围是-6W”6.

【详解】(1)解：如图，作直线。4,0B,

由图可知：点C?关于直线0B的对称点是点A,点g关于直线。4的对称点是线段A3上的

点、C',

所以线段AB的关联点是C2、G，

故答案为：C3；

（2）解：由题意得OP=OP,则以。为圆心，。尸为半径的圆要与。有公共点即P,PP'

的中垂线。。与。有交点即点Q,

.,.满足风-&）|wOD<RD+RQ,

：.\OP-2\<1<2+OP,

解得：1WOPW3,

①当点尸在第一象限时，

当OP=1时，D,。内切于x轴正半轴，切点为点P,如图：

过点P作x轴的垂线，垂足为点G,设P,,鬲），

贝！IOG=m,PG=5n,

/.tanZOPG=—=—,

PG3

ZOPG=30°,

OG^x^-OP^--

P22

当O尸=3时,D,。内切于x轴负半轴，切点为点P,如图:

31

②当点P在第三象限时，同理可求

3113

综上所述,若尸为D的关联点，点P的横坐标Xp的取值范围为：一：4%<一］或:<勺<］；

(3)解：由题意得/POQ=/P'。。，

先定点。和eT,当点P向下运动，点P越靠近x轴，即乙POQ尽可能大，因此当。尸与eT

；0P与eT相切时，点T到。尸的距离最大，由OT不变，得到sin/TOP最大，则/TOP最

大，

NPOQ最大,

第一个满足的约束条件是0P与eT相切，

定点尸和eT,则当点。向下运动时，点P越靠近x轴，即NPOQ要尽可能大，同上可得

当。。与eT相切时，NPOQ最大,

.••第二个满足的约束条件是。。与eT相切，

...当。尸，。。与eT相切时，NPOP最大,

当点P落在无轴负半轴时，如图：

y

•：ZTQO=Z.TPO=90°,TQ=TP,OT=OT,

：.RtAOPr^RtAOQT,

^ZPOT=ZQOT=a,贝!JNP'OQ=2a,

3a=90°,

解得：a=30°,

OT=t=2TP=6,

•*.Z=—6,

.1的取值范围为-64t46.

【点睛】本题考查了新定义，轴对称图形的性质，直线与圆的位置关系，30。角的直角三角

形的性质，圆与圆的位置关系，解题的关键是将问题进行转化为直线与圆的位置关系，圆与

圆的位置，难点在于“控制变量”，找出临界状态.

23.7

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的

关键.

设每张桌面的宽为尤尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，根据题意列出方程,

解方程即可求解.

【详解】解：设每张桌面的宽为X尺，

根据图形可得：小桌的长为2尤尺，中桌的长为3元尺，长桌的长为4x尺,

故可得2x4尤2+2x3尤之+3x2尤2=61.25,

,77

解得：，2=-Z（舍去），

A4x=7,

答：长桌的长为7尺.

24.⑴见解析

⑵10-2百

【分析】（1）连接OC,根据等腰三角形的性质得到NC4O=NACO,求得NQAC=NACO,

根据平行线的性质得到OCLO尸，根据切线的判定定理得到结论；

（2）设OC=x,则C尸=2%，AO=OB=x,根据勾股定理得到处=加心+。产=后,

根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】（1）证明：连接OC,BC

OA=OC,

ZCAO=ZACO,

ZEAC=ZCAB,

ZDAC=ZACO,

OC\AD,

CDAD,

.\OC±DF,

0c是。的半径，

.••直线8为。的切线;

（2）解：tanF=-,

2

.oc-1

,,=一，

CF2

设OC=%,则C尸=2x,AO=OB=x,

.•.ob=Js+c尸=后,

OC\AD,

AEQsOFC,

,CFOF

"OF-AF)

.2xA/5.X

2尤+4>j5x+x

x=2非，

：.BF=OF-OB=10-245.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定

理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

25.(1)100；

(2)见解析;

(3)72°；

(4)4.76万户.

【分析】本题考查的是频数分布直方图与扇形图，利用样本估计总体，样本的含义，掌握基

础的统计知识是解本题的关键.

(1)由10到15吨这部分的数量除以其百分比即可；

(2)先求解15到20吨这部分的数量，再补充统计图即可；

(3)由360。乘以15吨〜20吨这部分的百分比即可；

(4)由总人数乘以25吨(含)以下这部分的百分比即可.

【详解】⑴解:10-10%=100,

此次抽样调查的样本容量是100；

(2)100-(10+38+24+8)=20(户)，

补全图形如图所示

（单位：吨）

(3)—X360°=72°,

100

答：“15吨-20吨”部分的圆心角度数为72。；

,10+20+38.__、、

(4)x7=4.76(万尸)

100

答：该地7万用户中约有4.76万户居民的用水全部享受基本价格.

26.10.3米

【详解】过点A作AMLEP于过点C作CNLEP于N,

则MN=025米.

VZEAM=45°,

：.AM=ME.

设米，

则CN=(x+6)米，EN=(x—0.25)米.

・.•NECN=30。,

x-0.25_6

tanZECN=—

CNx+63

解得法8.8,

贝lj8+1.5=10.3(米).

.••旗杆的高EF约为10.3米.

27.⑴y=.yfix1+8fx—G

(3)存在,Q卜白-3,0)或(0,-26-3)

【分析】(1)根据C(0,-OE=y/3OC,求出E(-3,0).再根据C是即的中点，求出

£>(3,-2遭)，用待定系数法求解即可；

(2)过P作x轴垂线交。E于尸，求出设直线DE解析式，由尸〃，-/一代，得

「石厂)一-

F",---n-v3,表示出尸尸，再根据S四边形=SVOCP+SVPCO表不出四边形面积，根据一次

、37

函数最值求解即可；

(3)分为①当点。在y轴上时，使/即。=75。，根据OE=bOC,求出NOEC=30。，过

点。作。归〃尤轴交y轴于点H,根据平行线性质得出NCZ)H=30。，再根据NEDQ=75。，

得出NH£>Q=45。，得出HQ=HD,根据。(3,-26),求出〃0=3,。。=2拓+3,即可求出

点Q的坐标；

②当点。在x轴上时，使/研>。'=75。，延长。。交x轴于点F,过点。作DELx轴交无

轴于点G,证明GF=GO=2JL求出ED,再根据NEDF=ZFQ'D,证明VFQ'D^VFDE,

根据相似三角形的性质求出产。，从而求出。。'，即可求出点。'的坐标，即可求解.

【详解】(1)解：-■|办-出，

/.C(0,-A/3),

,/OE=y/3OC,

：.£(-3,0).

：C是的中点,

3(3,-2后).

。在丁=依2一_1ax-6的图象上,

-2A/3-9(2—8Q-y/3，

得〃=-G，

y=-y/ix2+~~x-6■

(2)过尸作无轴垂线交DE于尸，

设直线。E:y=fcc-道，即0=34-若，

解得：k=,

3

故解析式为：y=_*f,

(l86(反「

由P-\J3ri2+—^―n-y/3,得F",一--n-v3

.•.「/=—岛2+3瓜,

2

Q四边形=-X73/I+-PFX3=--/7+5A/3M,

222

5下)5

n—___________—_

当四边形OCDP面积最大时，一。(3石］-3.

ZX|

12J

(3)解：①当点。在y轴上时，使/即。=75。,

OE=V3OC,

OPL

即tanNOCE=—=，3,

OC

ZOCE=60°,

・•・ZOEC=30°,

过点D作DH〃x轴交y轴于点H,

则NCDH=NOEC=30°,

•：ZEDQ=75°,

：.ZHDQ=75°-30°=45°,

ZHQD=45°,

：.HQ=HD,

根据（1）得D（3,-2g）,

•*.HQ=HD=3,OQ=OH+HQ=2括+3,

点。的坐标为（0,-2石-3）；

②当点0在x轴上时，使N£E>Q'=75。，

延长Q。交无轴于点F,过点。作。轴交无轴于点G,

则/EDG=180°-30°-90°=60°,

则NGDQ'=/ED。'一