12.3 课时2 角的平分线的判定 初中数学人教版八年级上册课件

12.3角的平分线的性质第2课时角的平分线的判定1.理解角平分线判定定理.2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.学习目标复习导入ODPP到OA的距离P到OB的距离角平分线上的点几何语言描述：∵

OC平分∠AOB，点P在OC上且PD⊥OA，PE⊥OB.∴

PD=PE.ACB角的平分线上的点到角的两边的距离相等.叙述角平分线的性质定理不必再证全等E探究新知思考：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）DCS解：作夹角的角平分线OC设要截取的长度为xm.

x＝0.0250.025

m=2.5

cm所以，则集贸市场应建在点D处.O回顾题目，你是如何发现点D在角的平分线上的呢？注意：（1:20000）图中1cm表示实际距离200m的意思.猜想：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．证明：几何命题证明要经过哪些步骤

？题设：结论：第一步：第二步：根据已知和求证，画出图形，并用符号语言书写已知求证.第三步：分析找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.在角的内部，有一个点到角两边的距离相等这个点在角的平分线上POABDE已知：∠AOB的内部有一点P，PD⊥OA，

PE⊥OB，

垂足分别为D,E，且PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.求证：点P在∠AOB的角平分线上.已知：∠AOB的内部有一点P，PD⊥OA，

PE⊥OB，垂足分别为D,E，

且PD=PE.猜想：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．POABDE证明：作射线OP，∴点P在∠AOB

的平分线上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，

OP=OP（公共边），PD=PE（已知），∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）几何语言：∵PD⊥OA

，PE⊥OB

PD=PE角平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。AOBPEDC21两个条件缺一不可∴OP平分∠AOB（或∠1=∠2）归纳总结典例分析例1.如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P，求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.ABCPMNFDE证明：过点P作

PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为点D，E，F.∵BM

平分∠ABC，PD⊥AB

，PE⊥BC∴PD=PE

(角平分线上的点到角的两边的距离相等)同理PE=PF∴PD＝PE=PF

即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.思考：点P在∠A的平分线上吗？例2.如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D，求证：AD平分∠BAC.证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.

∴DE＝DF(全等三角形对应边相等)

∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴AD平分∠BAC.(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上)在△BDE和△CDF中，

∠BDE＝∠CDF∠DEB＝∠DFCBE＝CF∴△BDE≌△CDF(AAS)，节省一组三角形全等的证明归纳总结∵OP是∠AOB的平分线PD⊥OA

，PE⊥OB∴PD=

PE

角平分线的性质定理角的平分线上的点到角两边的距离相等.

角平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。∵PD⊥OA

，PE⊥OB

PD=PE∴OP平分∠AOBPAOBCDE当堂检测1.

如图，若∠ABC

的平分线与△ABC

的外角∠ACD

的平分线相交于点

P，若∠BAC

=

62°，∠PAC

等于_______°.59BACDP2.

如图，AD

=

BD，∠CAD

+

∠CBD

=

180°，求证：CD

平分∠ACB.证明：∵

过点

D

作

DE⊥CA

交

CA的延长线于点

E，作DF⊥CB于点

F，如图所示：∴∠AED

=

∠BFD

=90°.∵∠CAD

+∠CBD

=

180°，∠CAD

+∠EAD

=

180°，∴∠CBD

=∠EAD.在△AED

与△BFD

中，

∠AED

=

∠BFD，∠EAD

=∠FBD，

AD

=

BD，∴△AED≌△BFD

(AAS).∴