奥数教程知识资料能力测试知识资料第七版知识资料九年级

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂Word-可编辑总主编单墫熊斌奥数教程能力测试-配《奥数教程》第七版.余红兵葛军编国家集训队教练执笔联合编写在香港出版繁体字版和网络版第十届全国教诲图书展优秀畅销图书中国教辅品牌TOP榜最具影响力50强华东师范大会出版社总主编单墫熊斌奥数教程能力测试・配《奥数教程》第七版・图书在版编目(CIP)数据奥数教程(第七版)能力测试.九年级/余红兵,葛军编.一上海:华东师范大学出版社,2023年年ISBN978-7-5675-7579-0I.(1)奥…II.(1)余…(2)甚…III.(1)中学数学课-初中一习题集IV.(1)G634.605中国版本图书馆CIP数据核字(2023年年)第088348号奥数教程(第七版)能力测试九年级总主编单博熊斌编写余红兵葛军总策划倪明项目编辑孔令志审读编辑石战装帧设计高山出版发行华东师范大学出版社社上海市中山北路3663号邮编200062网址电话021-6行政传真021-5客服电话021-7门市(邮购)电话021-7网店印刷者启东市人民印刷有限公司开本787×1092字数191千字版2023年年年6月第3版印2023年年年12月第15次书号ISBN978-7-5675-7579-0/G-11020定价22.00元出版人王焰(如发现本版图书有印订质量问题,请寄回本社客服中央调换或电话021-7联系)目录测试1一元二次方程(1)测试2可化为一元二次方程的方程(3)测试3一元二次方程的判别式(5)测试4根与系数的关系及其应用(7)测试5二元二次方程组(9)测试6一元二次方程的整数根(11)测试7彻低平方数(13)测试8二次函数(15)测试9一元二次不等式(17)测试10一元二次方程根的分布(19)测试11二次函数的最大值与最小值(21)测试12容易分式函数的最值(23)测试13锐角三角函数(25)测试14解直角三角形(27)测试15旋转(29)测试16圆的基本性质(32)测试17直线与圆(34)测试18两圆的位置关系(36)测试19圆幂定理(38)测试20四点共圆(41)测试21几何定值问题(43)测试22三角形的“五心”(45)测试23几何不等式(47)测试24不定方程(49)测试25反证法(51)测试26极端原理(53)测试27染色问题(55)测试28概率(57)参考答案与提醒(59)测试1一元二次方程一、填空题(每题6分,共60分)1若9x2−6x+2设a、b为实数,已知b−a3若实数m、n是方程x2+11x4倘若实数a是一元二次方程x2−3x+mx的一个根,那么a的值等于5设a=7−1,则6已知实数m是方程x2−16x+17.设a、b、c、d均是实数.若方程x2+ax+b=013设a、b、c为正实数,若方程x2+2ax+b29设a为整数,已知关于x的方程a−1x2+210设a、b为实数,已知x2−x−2二、解答题(每题20分,共60分)11设方程103x2−104×102x−1=0的较大根为a,方程x2+101x−102=0的较小根为13设a、b、c都是整数,ac≠0,且方程ax2+bx+c=0有一个正根错题数已纠正教师签字确认可化为一元二次方程的方程一、填空题(每题6分,共60分)1已知a+b=82方程2x−3已知方程x2−4方程1x−5方程x2+(5)设a为实数,已知关于x的方程3x−7!若x+yx+y−18方程x2+9设m为整数,若m4−3m2+910已知2x−3xy−二、解答题(每题20分,共60分)11求方程x2−2x−1−4=03的根,求此三角形的周长.13设a是实数,且a≥−x错题数已纠正教师签字确认测试3一元二次方程的判别式一、填空题(每题6分,共60分)1设m为实数,关于x的方程x2−mx+m−2=0的根的情况有下列四种12设k为非负整数,已知关于x的方程kx2−6x+3=3若实数a、b满意b2+a−(4)设k为整数,若方程2xkx−4−5设m、n为实数,且n>0,若关于x的方程x2−6设m为实数,且m≠−2.已知方程m+2x7设m是实数,已知关于x的方程x2−2x−mx的实根共有______个.8设a是实数,x0是关于x的方程x2−2−a9设m为实数,若关于x的方程x−2x2−410设b为实数,已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,y1、y2二、解答题(每题20分,共60分)11(1)设p、q是实数,已知方程x2+2p(2)判断上述命题的逆命题是否准确,若准确,请加以证实;若不准确,请举一反例.12已知方程甲:x2+p1x+q1=0,方程Z:13已知a<0,b≤0,c>0错题数已纠正教师签字确认根与系数的关系及其应用一、填空题(每题6分,共60分)1以一元二次方程x2+2已知α、β是方程x2+2x3设p为实数,已知关于x的方程x2+2px−3p−2=0的两个不相等的实数根4设a为实数,若一元二次方程x2−ax−45设a、b、c、d均为实数,若方程xx的根分离是______6设a、b为实数,ab≠1,且7已知a、b、c是实常数,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=013设p为实数,已知关于x的一元二次方程x2+2px−p2−1=0的两个实数根为9设a、b、c为实数,已知关于x的一元二次方程ax2+b10设a为整数,x1、x2是方程4ax2−4a二、解答题(每题20分,共60分)11设a1、a2、a3均为实数,已知方程x2+a1x+a2a3=0与方程x2+a2x+a1a3=0有且惟独一个公共根,求证:这两个方程的另两个根(公共根除外)是方程x2+a3x+a113设a、b、c为实数,满意a+b+c=0错题数已纠正教师签字确认测试5二元二次方程组一、填空题(每题6分,共60分)1当实数a=时,方程组y2−2对于随意实数a、b、c、d,定义有序实数对a,b与ca倘若对于随意实数u、vu那么x,y3方程组x2−4若x2+xy+y=14,y5方程组x+y16一个正整数,若分离加上100与191,则可得到两个延续整数的彻低立方,则这个正整数为.7方程组x298方程组yx+9已知正整数a、b、c满意a+b2−已知实数a、b、c满意a则a二、解答题(每题20分,共60分)11设a、b为实数,且a≥0.已知方程组x2+12已知x、y均为实数,满意xy+x+13已知实数a、b满意a2+ab+b2=错题数已纠正教师签字确认测试6一元二次方程的整数根一、填空题(每题6分,共60分)1设a为实数,若方程x2−4x+a2设a为实数,若方程x2+ax+233设a为整数,若方程x2−a+10x14设a为实数,若方程x2+ax+a=05设k是整数,若方程x2+kx−k+1=0(3)设a为正整数,关于x的方程2x−a1−x7设p、q为实数,若1≤p≤20(8)方程3x2+xy+y2=39设a为正实数,若关于x的二次方程a2x2+ax设a、b、c均为实数,若两个二次方程ax2+b二、解答题(每题20分,共60分)11设a、b为两个不同的整数,若方程x2+ax+b=0与x13求正整数k,使得关于x的方程x2−错题数已纠正教师签字确认测试7彻低平方数解答题(每题15分,共120分)1设n是正整数,若n2+9n−3是2设n是大于1920的整数,若n−19202020−n是彻低3求所有四位数m,满意m<2020,且存在正整数n,使得m−n为质数,m4设正整数a、b、c的最大公因数为1,且aba−b55能否找到四个正整数,使得其中每两个数的积与2023年年的和都是彻低平方数?16我们知道4=22,8=23,97求出所有这样的正整数,它等于它的正因数的个数的平方.8(1)设a为实数,已知1,1+a,1(2)设a为非零实数,k为正整数,是否存在一列数1+k(3)设a为非零实数,若将一列数1,1+a,1+2a,错题数已纠正教师签字确认二次函数一、填空挑选题(每题6分,共60分)1已知二次函数y=2x2−3x−6,若自变量x分离取两个不同的值x1、x2时,所对应的函数值y2设a、b为实数,已知A是抛物线y=ax−12+b与y轴的交点,B是抛物线的顶点,过A3设m是实数,已知一次函数y=m+1(A)m>−1(第4题)(C)m>1(D)4设a、b、c为实数,若二次函数y=a5设a、c为不相等的实数,若抛物线y6若二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴惟独一个公共点,且过点Am,(A)8(B)12(C)16(D)247设a、b、c为实数,如图,直线(第7题)y的图象的对称轴,则有().(A)a+b+c(C)b=2a8已知函数y=x2+1−x,点Px,y(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限9设a、b、c为实数,若fx=ax2+b10方程2x−x2=2(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个二、解答题(每题20分,共60分)11设b、c为实数,如图,一次函数y=−2x+3的图象与x、y轴分离相交于A、C两点,二次函数y=x(第11题)12设p、q为非零实数,已知二次函数fx=x2+px+(1)求qp2(2)若f1=28,解方程13设a、b为实数且ab≠0,若函数f1x=x2+2ax+4b与f2x=x2错题数已纠正教师签字确认一元二次不等式一、填空题(每题10分,共60分)1设k为实数,且对于随意实数x,不等式kx2−kx−2设a、b为实数,若不等式x2+ax+b<03设a为实数,若不等式x2+ax+4设a为整数,若函数y=x2+a−1x+2a2−25函数y=26不等式x2−x−7不等式组x2+8设k为实数,方程x2−2kx+k+6=9设a为正整数,b、c为实数,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A−1,10设m为实数,y=x2+mx−6,若当1≤m二、解答题(每题20分,共60分)11设m为实数,若对于满意1<x<2的随意实数x,不等式x2+mx−6m2<0恒成立,求m的取值范围.12设实数a、b、c设实数a≥1,若关于x的方程ax2+2错题数已纠正教师签字确认一元二次方程根的分布解答题(每题20分,共120分)1设k为实数,已知方程x2−2设m为实数,若二次函数y=x2−m−3x−m的图象与x3设m、n为正整数,且m≠2.若对一切实数t,二次函数y=x2+3−mtx−3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于2t55试求关于x的方程λx2−1+x−a=0(3)设a、k均为非零实数,ba(1)有两个不同的实根,求证:方程a(2)也有两个不同的实根,其中有一个并且也惟独一个根在(1)的两个根之间.错题数已纠正教师签字确认测试11二次函数的最大值与最小值一、填空题(每题6分,共60分)1设a为实数,若函数y=x2−ax+2的图象关于直线2设m、n均为整数,若第一象限点n,m位于抛物线y=193设a为实数,且0<a<2.已知关于x的函数y=x2+4设y≤1,且2x+y=5设x、y、z是非负实数,且满意条件x+y+z6已知y=x−1+4−x(7设实数a、b、c满意a2+8设a为实数,若关于正整数n的二次函数y=n2+an当且仅当n=5时,(第10题)9设b为实数,若直线y=b与函数y=∣x210如图,边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=1.要使矩形二、解答题(每题20分,共60分)11设m为实数,已知二次函数y=−(1)求证:对随意实数m,函数的图象与x轴都有两个交点;(2)设此函数图象与x轴的两个交点为A、B,求出m的值,使线段AB的长度最短.12若实数a、b、c使得二次函数fx=ax2+b13设a、b为实数,求a错题数已纠正教师签字确认测试12容易分式函数的最值解答题(每题20分,共120分)15已知△ABC2已知实数a、b满意等式a−22+3求出函数y=x2−2x−32x2+2x5求函数y=x−1x26已知实数x、y满意x−429错题数已纠正教师签字确认测试13锐角三角函数一、填空题(每题6分,共60分)16在△ABC中,设a、b、c分离5:12,则cos2sin453已知三角形ABC的两个锐角A、B满意sinA−32+cosB−(4)在直角三角形ABC中,∠C=90∘,且tan5.已知菱形的一边和等腰直角三角形的直角边相等,菱形的一个角为60∘6已知直角三角形两锐角的角平分线相交所成的角为钝角α,则sin297设m为实数,若sinα、cosα是关于x的方程3x2(3)在△ABC中,∠C=90∘,∠A=60∘,AC=1,点D在BC上,点9在等腰三角形ABC中,已知AB=AC10在四边形ABCD中,已知∠B=∠二、解答题(每题20分,共60分)11如图,梯形ABCD中,AD//BC,BC=3AD,CE⊥A12如图,三角形ABC中,∠B=30∘,P为AB的中点,PQ解设α为锐角,已知sinα=a,求sinα2错题数已纠正教师签字确认测试14解直角三角形一、填空题(每题6分,共60分)1合△ABC中,∠C=902△ABC中,∠C=90∘,D是边32△ABC中,AB=6−2,BC=2,24△ABC中,∠B=305现一平面内有A、B、C三点,A、B两点相距5 cm,点C到直线AB的距离为2 c(6)如图,梯形纸片ABCD中,AD//BC,DC⊥BC.将其沿对角线BD折叠,点A恰好落在7如图,在▫ABCD中,M、N分离是边BC、DC的中点,A(第6题)(第7题)(第8题)8如图所示,在△ABC中,AB=AC,BA⊥AP,AP9.△ABC中,∠A=45∘,D是边AB上一点,B10如图,在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD.已知AD=3,AO=8,OC(第10题)二、解答题(每题20分,共60分)11小宇学生在布置年级文化园地时,想从一块长为20 cm,宽为8 cm12如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,BE⊥AC于E,交AD13Rt△ABC中,∠ACB=90∘,CD⊥AB于D求证:AEB错题数已纠正教师签字确认测试15旋转一、填空题(每题6分,共60分)1如图,等腰直角三角形ABC的斜边AB上的两点M、N满意∠MCN=45∘.设MN=x,BN=n,AM=m,将AM(第1题)(第2题)2把一副三角板按如图(1)放置,其中∠ACB=∠DEC=90∘,∠A=45∘,∠D=30∘,斜边AB=6,DC=7,把三角形3设P为正方形ABCD内部一点,且PA=a4如图,直线l1//l2//l3//l(第4题)(第6题)5已知点E、F分离在正方形ABCD的边BC、CD6如图,将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60∘至AB′C′D′的位置,则这两个正方形重叠部分的面积是______转7设O是等边三角形ABC内一点.已知∠(第8题)8如图,设F为正方形ABCD的边AD上一点,CE⊥CF交AB的延伸线于E.若正方形AB9在矩形ABCD中,AB=CD=2,BC=AD=8,点O距AB、(第10题)10如图,用等腰直角三角板画∠AOB=45∘,并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M按逆时针方向旋转22∘,则三角板的斜边与射线二、解答题(每题20分,共60分)11在正方形ABCD内有一点P,使∠PAD=∠PD如图,正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形,P是EF与GH的交点.若矩形PFCH13如图,等腰梯形ABCD中,AD//(1)求证:△MD(2)将△MDC绕点M旋转,当MD即MD′与AB交于一点E,MC(即MC′)同时与AD交于一点F时,点E错题数已纠正教师签字确认测试16圆的基本性质一、填空挑选题(每题6分,共60分)1如图,△ABC内接于⊙O.若∠AB2如图所示,AB是半圆的直径,O是圆心,半径CO垂直于AB.已知AB=2,∠图1题(第2题)(第3题)3如图,AB为半圆O的直径,C为半圆上一点,且∠COA=60∘.设扇形AOC、△C4在直径为4 cm的⊙O中,长为23 5在锐角三角形ABC中,∠A=50∘6如图所示,AB是半圆的直径,CD是半圆中平行于AB的一条弦.已知弧BD是60∘,(第6题)(第7题)7如图,在⊙O中,CD=DA=AB,给出下列三个结论:(1)DC=AB;(2)A(A)0(B)1(C)2(D)38设AB是圆的直径,圆上一点C满意AC=69一个圆的半径为r,圆心为O.AB及A′B′是圆中两条弦,O到AB及A′B′的距离分离为x及y.已知r:x:y=3:2:1,则(第10题)的距离等于AB,二、解答题(每小题20分,共60分)11证实:以等腰三角形的一腰为直径的圆,必平分底边.如图,设AB是圆O的直径,在直径过点B的延伸线上取一点C,作割线CDE,交圆周于点D、E.若CD13如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120∘,AB=3,E为边BC延伸线上一点,AE与CD交于点F错题数已纠正教师签字确认直线与圆一、填空题(每题6分,共60分)1如图,设P是圆O外一点,PO与圆O交于B点,PA是圆O的切线.已知P(第1题)(第2题)2如图,设三条劣弧AB、BC和CD的长都相等,且∠E3设P是圆O的直径AB延伸线上一点,PC与圆O相切于点C,∠APC的平分线交AC于点4设P是圆O外一点,AB是圆的一弦,OP⊥AB,又PA与圆相切.已知A5设P是圆O外一点,PA及PB是圆O的两条切线A、B为切点,OP与圆O交于Q点.已知6自P点向圆O引切线PA、PB(A、B为切点),延伸半径(第7题)使BC=OB.已知∠AP7如图,已知⊙O的半径为5,直线l与⊙O相交,点O到直线l的距离为2,则⊙O上到直线3向来角三角形的斜边长为c,内切圆半径是r,则内切圆面积与三角形面积之比是______.9如图,已知矩形ABCD的边AB=4(第9题)(第10题)10如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点二、解答题(每题20分,共60分)11如图,A、B是圆O上两点,过A作圆的切线,BC垂直于该切线,点C为垂足,设圆的半径长为2,AB10如图,PA、PB与⊙O分离切于A、B两点,PC是随意一条割线,且交⊙O于点E、C,交13如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E,且AC⊥BD,AB=AC=BD.过点D作DF⊥(1)求证:∠BA(2)倘若MN=MD,求证:错题数已纠正教师签字确认两圆的位置关系一、填空题(每题6分,共60分)1圆O1与圆O2相交于A、B两点,已知圆O1和圆O2的半径分离是5和(第2题)2如图,两同心圆的半径之比是1:3,倘若AC是大圆的一条直径,BC是大圆的一条与小圆相切的弦,且3已知两圆交于M和K,引两圆的公切线,切点为A、B,则∠4设圆O与圆O′相离,两圆的一条内公切线与两条外公切线的交点是P、Q.已知一条外公切线的长度是1,则(第5题).5如图,三个圆中的每一个都外切于其他两个,并且三角形的每一边与其中的两个圆相切.已知每个圆的半径都是1,则三角形的周长是.-已知⊙O1、⊙O2相交于点A、B,公共弦与连心线O1O2交于点G.若AB7如图,单位正三角形中,将其内切圆及三个角切圆(与角两边及三(第7题)角形内切圆都相切的圆)的内部挖去,则三角形剩下部分的面积为.8如图,圆K的直径是AB,圆L与圆K相切并与直径AB相切于圆K的圆心,圆M与圆K、圆L和AB都相切,则圆K的面积与圆(第8题)(第9题)9如图所示,一个半径为2的圆过一个半径为2的圆的圆心,则图中阴影部分的面积为.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心、AB的长为半径作圆,在线段AB的延伸线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心、DA的长为半径作圆与⊙A分离相交于F、G两点,连结FG交二、解答题(每题20分,共60分)11已知圆O1和圆O2相切,切点为P,过P作向来线分离交圆O1、、圆O2于点A、有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,这6个点可以决定的不同直线最少有多少条?13以A、B、C为圆心的三个圆,半径均为r,这里1<r<2,每两个圆的圆心距都是2.若B′是圆A和圆C的交点且在圆B外,C′是圆A和圆B错题数已纠正教师签字确认圆幂定理一、填空挑选题(每题6分,共60分)1如图,圆O是边长为1的正方形的内切圆,M、N分离是圆与A(第1题)CD边的切点,连AN交圆于E点,则A2一圆周上有三点A、B、C,过A的切线与BC的延伸线交于P点.已知PC3一圆周上有三点A、B、C,∠A的内角平分线交BC边于D,交圆于E.已知【如图,AB是圆中一弦,C是圆上(不同于A、B)的点,过B点的切线与AC的延伸线交于P点,Q是AC的中点,BQ与AC交于D.已知5如图,已知AD是⊙O的直径,AD′⊥BC,AB、(A)AE⋅BE(C)AE⋅AB(第4题)(第5题)(第6题)6如图,A、B、C、D是半径为r的圆上四点,AB=12,CD=6,AB和7已知直角梯形ABCD的四条边长分离为AB=2,BC=CD=10,AD=6,过B、D两点作圆,与BA[3]如图,AB与圆O相切于A,D是圆内一点,DB与圆相交于C.已知B(第8题)9如图,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分离与直线l(第9题)(第10题)10设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延伸线交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点二、解答题(每题20分,共60分)11如图,圆中三弦AB、CD、EA求证:△PM如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP13设△ABC的内切圆⊙O与边CA上的中线BM交于点G、H,并且点G在点B和点H之间.已知BG=HM,A错题数已纠正教师签字确认测试20四点共圆解答题(每题20分,共120分)1在△ABC中,AB<AC,D、M为BC上的点,AD平分∠BAC,B2如图,四边形ABCD中,AB=BC,CD=DA,其内切圆分离切边AB、BC、AD于K、3如图,给定△ABC,过顶点A、B的圆分离交边AC、CB于点P、Q.在边AB上取点R和【&4△ABC中,∠A为锐角,作∠A的内角平分线AE、AC边上的高BH5设A、B、C是圆O上三点,弦BC的中垂线交AB于D点,自点A、C作圆的两切线相交于点5如图,设AB、CD是圆O的两条直径.过B作PB垂直于AB,并与CD延伸线相交于点P,过P作直线PE与圆O分离交于E、F两点,连结AE、AF错题数已纠正教师签字确认测试21几何定值问题解答题(第1∼3题每题20分,第412给定一个圆及其内部一点M,求证:交于M且互相垂直的圆的两弦长度的平方和为定值.2在圆弧AB上任取一点M,由弦MB的中点K向弦MA作垂线KP(点P是垂足),求证:这样所作的垂线都通过一个定点(与点3.设AB是圆O的一定弦,C是AB上一个固定点,过C随意作弦XY,M、N分离是AB及XY的中点.求证:∠MNX为定角.4等边三角形ABC内接于圆,在不含C点的弧AB上取点M不同于A、B,直线CA与BM5两圆相交于A、B两点,过A的向来线与两圆分离交于P、Q,求证:错题数已纠正教师签字确认测试22三角形的“五心”解答题(每题20分,共120分)16如图,已知点I是锐角△ABC的内心,A1、B1、C1分离是点I关于边BC、CA2如图,已知△ABC的垂心为H,外接圆为⊙O,M为AB的中点.连结MH并延伸交⊙O3设H是△ABC内一点,而AH与BC,BH与CA,CH与AB各交于D、E、F点.求证:若HA⋅HD=HB⋅HE=HC⋅H5如图,已知O为△ABC的外心,AB=AC,D为△OBC的外接圆上一点,过点A作直线OD6如图,已知AC、BD是⊙O的内接四边形ABCD的对角线,且BD垂直平分半径OC,在AC上取一点P使CP=OC,连结BP并延伸交AD于点E、交⊙O错题数已纠正教师签字确认测试23几何不等式解答题(第1∼315证实:位于直角三角形内(或它的边上)的随意一点到斜边的两个端点中的任一点的距离不超过斜边的长.2在△ABC中,∠C的平分线交AB边于D3在锐角三角形ABC中,最长的高AH等于中线BM,求证:∠5设四边形ABCD的对角线AC与BD相交于OO点在四边形内部,且AC错题数已纠正教师签字确认不定方程一、填空题(每题6分,共60分)19在平面直角坐标系xOy中,横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点.设k为整数,若反比例函数y=6x与函数y=2设整数x、y满意xy=20−3设5−11的整数部分为x,小数部分为y,则4某人在一次打靶中打了多于11发子弹,共得100环,且每发都命中8、9或10环,则他打中8环的次数为___次.5已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,则它的外接圆的面积为________.6记[x]为表示不超过x的最大整数,{x}=x−[x].设a则[7满意y−2x2+y3方程x[x]−9已知实数x满意x3+1x3=10关于a、b、c、d二、解答题(每题20分,共60分)11求所有的正整数n,使得n整除n.12(1)若p、q、p+q(2)若p、q、r、p(3)设x、y、z为整数,且x<y<z,求使13如图,设△ABC的三边长BC=a,AC=b,AB=c,若a、b、c都是整数,且a、b不定方程错题数已纠正教师签字确认.测试25反证法解答题(每题20分,共120分)1证实:3+22倘若整系数二次方程ax2+bx+3设设p1、p2、q1、q2x中至少有一个方程有实数根.4设a1、a2、a3、a45设整数a、b、c、d满意ad−bc6设a、b是两个不相等的正整数,p为质数,满意b2+a=(1)求证:a>b(2)求p的值;(3)求a、b错题数已纠正教师签字确认测试26极端原理解答题(每题20分,共120分)1证实:若一个三角形的三边长度都小于1,则其面积小于342.平面上有n个点n≥4,若其中随意三点都是一个直角三角形的顶点,求证:n33证实:在随意2023年年个互不相同的实数中,总存在两个数x、y20194平面上有100个不共线的点,已知其中随意三点构成的三角形的面积不超过1.求证:可找到一个面积不超过4的三角形,盖住所有这些点.5如图1,三个圆两两相交成七个部分,将数字1、2、2、4、4、8、8分离填入这七个部分,使得每个圆内部四个数字之积均相等(此值记为P).如图2的填法图1图26在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a、b、c、d、e错题数已纠正教师签字确认测试27染色问题解答题(每题20分,共120分)16某班有49名学生,坐成七行七列,每个座位的前后左右均称为它的邻座,要使全班每个同学都离开自己的位子坐到邻座上去,问:这种计划能否实现?2在一个m行、n列m≥n的方格表中,有mn个边长为1的小方格.每个小方格用红、黄、蓝三种色彩中的一种色彩染色.已知方格表的每一行有6个红色的小方格,每一列有8个黄色的小方格,囫囵方格表共有15个蓝色的小方格.倘若n是两位的质数,求32023年年个质点匀称分布在半径为R的圆周上,依次记为P1,P2,P3,⋯,P2007.小明用红色按如下规矩去涂这些点:设某次涂第i个质点,则下次就涂第i个质点后面的第i个质点.按此规矩,小明能否将所有的质点均涂成红色?若能,请给出一种涂点计划;若不能,请说明理由.4将正三角形划分成5将8×8方格表中随意8个不相交的2×2小正方形涂上色彩.求证:方格表中至少有一个6如图所示的(由四个相同的小方格组成)三种图形依次称为T字形,L形和田字形.证实:(1)用15个T字形和1个田字形不能拼成8×8(2)用15个L形和1个田字形不能拼成8×8T字形L形田字形错题数已纠正教师签字确认概率一、填空挑选题(每题6分,共60分)1如图所示的两个圆盘中,指针落在每一个数所在的区域上的机会(第1题)均等,则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是().(A)125(B)(C)625(D)2随机抛掷两枚质地匀称的正方体骰子(正方体骰子的六个面上的点数分离为1、2、3(A)536(B)13(C)593在一组数据23、27、20、16、10中插入一个数据4一枚质地匀称的正方体骰子的六个面上的数字分离是1、2、2、3、3、4[5]有两张卡片,一张两面都是红色,另一张一面是红的另一面是蓝的.两张卡片被挑选的概率相同都是12.现挑选一张放在桌子上,若该卡片上面一面是红的,则背面也是红色的概率是(6)一次掷两枚质地匀称的正方体骰子(正方体的六个面上的点数分离为1、27.一组互不相等的数据,它的中位数为80,小于中位数的数的平均数为70,大于中位数的数的平均数为96.设这组数据的平均数为x,则x的取值范围为8从分离写有数字1、2(第9题)9如图,电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡,闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可以使小灯泡发光,那么随机闭合其中两个开关,能使小灯泡发光的概率为______.在装有2个黄球和3个红球的袋子中摸球,搅匀后先摸出1个,不放回去,再摸出1个.则两次摸球摸到一红一黄的概率为.二、解答题(每题20分,共60分)11某销售公司有15名营销人员,销售部为了(给每位营销人员)制定某种商品的月销售定额,统计了这15人某月中各自销售这种商品的数量(单位:件):60、70、70(1)求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数;(2)请你考虑到销售公司和营销人员两方面的利益,制定一个较为合理的月销售定额.12由四名学生每人各随机投掷一枚一元硬币,求恰好有两个硬币面值朝上的概率.13红、黑、白三种色彩的球各10个.把它们所有放入甲、乙两个袋子中,要求每个袋子里三种色彩的球都有,且甲、乙两个袋子中三种色彩的球数之积相等,求共有多少种放法.NEXE错题数已纠正教师签字确认参考答案与提醒1.2提醒:由9x29则有3x−2+x32.3提醒:由题设知b−a=18,又由2a2+a=14得3.9提醒:由已知条件得mn则m所以m==4.0或3提醒:由已知条件得a将两式相加,得a即有a5.24提醒:将a=7−1转化为a+13==6.18提醒:由题设知m2−16m+1m====7.d提醒:由题设得α则上述两式相减得α又a≠cα8.直角三角形提醒:设题中两方程的公共根为x0x两式相减得2即c当c=a时,b=0,这与a、b、c均为正数不符,故第一个方程得b即b故此三角形为直角三角形.9.5提醒:当a=1时,x当a≠1时,ax则当整数a满意a−1=±1,a故符合条件的整数a有5个.10.15提醒:由x2−x−2=0得x+1x−2=02的根,所以有2解得a11.第一个方程可分解为103所以两个根为1和−11032,得x所以两个根为-102和1,得b=−102.故12.一个式子中有三个元,且均为二次,考虑配方为若干数的非负数之和,其和却为非正数,从而求得结果.由a、b、c为整数且a即4配方得4即2于是2解得a从而a令所求方程为x2+9解得A故所求的一元二次方程为x13.因c≠0,所以根t≠0.由a所以x=1t是方程取t′=1t(注重t测试2可化为一元二次方程的方程1.28或36提醒:由题意得ab=a2.x提醒:题中方程可以变形为2即2得x经检验x=13.-25提醒:原方程变形为x2−x因为x≥0,所以有x=5,解得故原方程的所有实数根之积为-25.4.2提醒:显然x≠1且xx则x又x1,2≠1、5.60提醒:原方程可变形为x令y=x2+3x−7,当y≠0由y1=3得x由y2=−1得x2+3x−6因此,原方程有四个实根,它们的积为2×−6.x提醒:由已知条件知3−a=1,得a=2即x解得x=2或x经检验x=1或x=2都是此方程的根,故所求的另一根为7.4提醒:令x+y=u,则u得u=2所以x+y8.4提醒:(1)9−x=0且x2+(2)x2+x−1=1,解得(3)x2+x−1=−1且故方程有4个根.9.4提醒:m==这是两个大于零的数,且m4−3mm或者m2−3m+3=1,解得经检验,m4−所以共有4个.10.16提醒:因为x>0,所以由原方程知y2令xy=t,则2即2解得t1=2,t2将x=4x11.当2x−1≥0x即x则在x≥12条件下方程的根为当2x−1<0x利用求根公式有x因为−1+6>12,所以在x因此,方程x2−2x−1−4=0的根为x12.看见题中等式发现可以把3x2−4x看作一整体,转化问题为解一元二次方程,求得x3所以3x2−4x−解得x1=若a≠b,由aa若a=b,由a+b>2所以三角形周长为163或20313.将原方程收拾成关于a的二次方程,得出a由求根公式可求得a即a=x2−4x分离解上述两个关于x的二次方程得x测试3一元二次方程的判别式1.(4)提醒:因为此方程的判别式Δ=所以此方程有两个互不相等的实数根,应填(4).2.0、1提醒:由已知条件知当k≠0时,Δ=62−当k=0时,方程的根为x所以k≤3又因为k≥0,则0≤k≤3,而k3.a提醒:将原式看作关于b的一元二次方程,则由b为实数,得其判别式Δ解得a4.2提醒:原方程变形为2则有Δ得k从而知整数k的最小值为2.5.4提醒:由已知条件知Δ=m得m又n>0m即m得m当mn=4,即m=4n时,方程变形为x2−当mn=1,即x即x+12n2=故mn=6.m=0或提醒:由题意知Δ=−4m2−7.2提醒:由已知条件得Δ=−22−4x的判别式2m2提醒:方程的判别式Δ≥0,即−a2−2a−1≥0,即−a+12≥0x9.3提醒:由题意知x=2是方程的一个根,设方程的另外两个根为xx得x1+x且x1x2=m>0,于是16解之得310.x提醒:由已知条件知方程4x2Δ得b=0或b当b=0时,方程y2+2y+4=0的判别式2y解得y1=1或于是y1=1,y2x即x11.(1)由已知条件知方程x2+2px−p令p+q=s,则p得p从而0所以s故p(2)所说的逆命题是:已知p、q为实数,若p+q<1这一命题是不准确的.可以取p=−1,q=12,则p12.方程甲的判别式Δ1=p12−若方程甲、乙都无实数根,则Δ所以Δ即p又p则有p即p这是不可能的.因此,方程甲、乙中至少有一个判别式非负,也就是方程甲、乙中至少有一个有实数根.13.解法一:由题设知−b+a有实根x=−1,于是有因为b2−4ac=b又b≤0,则2−b≥2当b=0时,a解法二:由题意知b≥2ac,且将等式4因为a<0,c>0,得ab又b≤0,则2−b≥2b当b=0得a故b2−4ac测试4根与系数的关系及其应用1.x提醒:由根与系数关系知题中方程的根为x1和x2x则以−2、x即x2.-2提醒:由α是方程x2+2x−1α又由韦达定理得α+βα=3.−提醒:由一元二次方程的根与系数的关系可得x所以xx=又由x12+x134得p4p+3p+代入检验可知p1=0,p2=−34因此,实数p的所有可能的值之和为p4.-4提醒:由方程的判别式Δ=−a2−4×−4a≥0,得x又x1+x2=4a2−3,得4因为a≥0或a≤−16,所以a=5.a提醒:由x−ax−b−c又由x−cx于是有x即x解得x6.-40提醒:由2b2+4b+1又ab≠1,即a≠1b,所以aa所以a==7.c提醒:ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程,则a≠0.由韦达定理得x1+x1于是按照方程根与系数的关系,以1x1x即c2x8.1提醒:由根与系数的关系得x又x1+x2≤x1x2则必须p9.6提醒:设甲将a看成了a′,则由条件及韦达定理知−ba′=6及ca′=8因为原方程无实根,故按照乙求解的结果可知,乙必然看错了a或c的符号(因ax2−bx+c=0也无实根).因此,总有210.−提醒:显然a≠0.由方程有两个实根得判别式Δ=16a2x=故a+1是4的因数,即a+1=±1,±211.设方程x2+a1x+a2a3=0的根为αα得a因为两个方程惟独一个公共根,所以a1≠a2,从而aa推得β=a2,γ=β故β、γ为方程x12.由韦达定理,得x1+即y解得y1=−x把y1、y2的值分离代入x1⋅y1−x2⋅y2x因为x1+x2=2于是有2a⋅4a2−因为a、ba分离解得a=1,b=1−5022或经检验惟独a=502,b=502所以b的最小值为2512−13.不妨设a是a、b、c中最大的数,则由abcb所以b、cx的两个根.因b、c为实数,故上述方程的判别式a因a>0,所以aa测试5二元二次方程组1.2提醒:因为原方程组惟独一组实数解,则关于x的一元二次方程x必有两个相等的实数根.方程(1)化为x(2)则判别式2解得a=2.从而解得方程(2)的根为x=1,所以故满意要求的方程组的解为x2.1提醒:依定义的运算法则,有ux+vy=u,wx+因为实数u、v取值的随意性,得x−1=0x说明:可以对u、v取两组异常值,如u=0,v=1;u3.x=1,y=−2或x=提醒:由2x2−5xy(1)x2−2x解方程组(1)得x解方程组(2)得x所以原方程组有四组解.4.-7或6提醒:由已知条件得x即x得x+y=−7经检验知方程有实数解.5.x提醒:原方程组可化为x(1)(2)由(1),令x+9x=5+t,y+所以x+9x=得原方程组的解为x=3说明:当x+y=a且题中含有xy6.25提醒:设题中正整数为a,两个立方数为x3、a得3x2+3x+1=91故a=57.x=−67提醒:由题设知1得1若3+x=0,则x=−9解得x=−67,从而故原方程组的解为x=−67,y=157或提醒:第一个方程可化为x结合x+y=10,得xy=解方程组x+y=10不难检验这均是原方程组的解.9.2023年年提醒:由已知a+b2−2c−2b由a为正整数及6a2+a≤66若a=1,则b若a=2,则b若a=3,则b−82=9,于是可解得(i)若b=11,则c=61,从而可得(ii)若b=5,则c=13,从而可得综上知abc的最大值为2023年10.332提醒:因为a=所以a同理可得bb2c结合aa21所以49a结合abc=−1,a+b+实际上,满意条件的a、b、c可以分离为11.由x+y=b得x又x2+y2=a,则有xt的两个实数根,从而方程根的判别式Δ得2a≥当取a=1,b=1.5时,因1.512.令x+y=a,xa对于a=11,b=6,即x+y=11,xy=6,则对于a=6,b=11,即x+y=6,xy=11,得由x+yx=13.由aa得出a所以0及0得−测试6一元二次方程的整数根1.3或4提醒:两根之和是4,由此可见这两个正整数根只能是2、2或1、3.所以两根之积2.2提醒:两根之积是23,因23是质数,则这两个整数根只能是1、23或−1、−23.故a3.20提醒:方程可变形为x−ax−10=1.若x是整数根,则必须x−a=1,x−4.0或4提醒:设两整数根为x1、x2,则由韦达定理有x可分解为x1+1x2+1=1.因为x1+1,x2+15.-5提醒:设方程x2+kx−k+1=0a消去k有ab−a惟独a−1=1,b故k6.2提醒:由2x−a1−x−a+4=0得2x+4=a1−x+1.因为x、a均为整数,所以1−x不可能是无理数,从而也必为整数.令1−x=mm≥0,7.x提醒:设x1、x因为x1、x2均为奇数,所以x1+又1≤p1故q由Δ=p2−16q≥0,解得p当p=8时,x当p=16时,x1与故原方程的根为x1=8.2提醒:由题设知3x2−3x+3而左边≤0,矛盾.所以x≤1.由x为非负整数得x=0或1.当x=1时,由y为非负整数,推得y=09.1或12或提醒:若方程有两个整数根,由韦达定理可见−1a是整数,设1a=n(nn得n≤3,可验证当a=1、110.−提醒:所给的两个方程是所谓的“互倒方程”,设第一个方程的两个根是x1、x2,则1x1、1x2是后一个方程的两个根.若这四个根都是整数,必须x11.设第一个方程的两根为x1、x2,后一个方程的两根为x1、x两式相减得a−bx1−1=0.因a≠b,故x1=112.设两整数根是x1、x2,则x1xx因x1−1x2−1及a−1b−1都是非负整数,所以必须x1−13.设方程的两个根为x1、x2,且x1由x1+x2=34知x2=34−x1,则x2也是整数.由k注重到x于是17∣x1+1x2+1若17∣x1+1,则由x1+1≤x当x1+1=17时,x1当x1+1=34时,x1=33,x若17∣x2+1所以,满意条件的正整数k=1测试7彻低平方数1.设n2+9n−32于是2因为2n+9−2m所以2n+9−2m=1,2n+2.由题设知1920<n令n−1920n因此,1+k2一定是100的因数,且经验证,k=1于是n=1970、2000、3.由题设条件知m−n=p(m设mn=nn+p=x22于是2注重到p为质数,所以2把两式相加得n进而m结合1000≤m64于是,质数p只能是67、71、73、79或83.从而,满意条件的m4.设a,b=d,则a=d因为a,b,c=1于是题中等式化为d(1)由此可见a1整除cb1,因a1,b1=1,故a1∣c.同样得b1∣c.再由a1,b1=1推出a1∣c.设c=a1b1k,其中k是一个正整数.一方面,显然因此,d=a1−b15.答案是一定的.提醒:考虑整数被4除得的余数.易知,彻低平方数被4除得的余数是0或1(因为2n2=4n2,现假设有符合要求的四个正整数.因为2023年年被4除余2,故四个整数中随意两个之积被4除余2或3.因此,四个数中至多有一个偶数,则至少有三个奇数.但奇数被4除惟独两个可能的余数,即1或3.因此,(至少)三个奇数中必有两个被4除得相同的余数,这两数的积被4除得的余数将是1,而不是2或3,矛盾.因此没有符合要求的四个正整数.6.考虑算式2天然地,若n、n+1是幂数,则4nn因此,利用上述结果,可以产生无穷多对延续的幂数.如:8和9,4×8×9和4×8×9即8和9,288和289,332928和3329297.设n=m2有若m=1,则n=1若m>1,则n的异于m的因数可分成对,每对因数之积等于n.设这样的对数k,则m=2k+1是奇数,且n=2k+12有n的因数.但延续奇数2k−1与2k+1互质,所以必有2n所以,满意要求的正整数惟独1和9.8.(1)由题设可得12=1+a11由12=1+a1+2a由1+a2=1⋅由1+2a2=1⋅1+a所以满意题设要求的实数a=0,a=−(2)不存在.由题设1+k−1a,1+ka,1+k+1a(整数故不存在这样的数列.(3)倘若删去的是1,或者是1+3a,则由(2)知1+a,1+2a,1+3a,或数列1,1+倘若删去的是1+a,得到的一列数为11可得a=−倘若删去的是1+2a,得到的一列数为1解得a=1所以符合题设要求的a的值为1或−14测试8二次函数1.-6提醒:解法一:因为当自变量x分离取两个不同的值x1、x2时,所对应的函数值y相等,按照二次函数图象的对称性知,x1+解法二:因为当自变量x分离取两个不同的值x1、x2时,所对应的函数值y相等,故按照二次函数图象的对称性知,x取x1+2.−提醒:由已知条件知A0,a得a3.C提醒:一次函数y=m+1x+m−1的图象经过一、二、三象限,说明其图象与y轴的交点位于y轴的正半轴,且y随x4.四提醒:由图知a>0,对称轴x=−b2a<0,即b>0,则a+b>0.又x1x2提醒:显然a<0(因a>0时,抛物线开口向上,必然经过第二象限).又抛物线与y轴的交点是0,c.因抛物线不过第二象限,故c4故顶点在第一象限.6.C提醒:依题意,有n=m2+bm因为抛物线y=x2+bx+c与xc因此n=m7.D提醒:由函数的图象可知:当x=1时有a+b+ca即a+c>b,即b<a+c,故B错误.函数的对称轴为x=−b2a=1,则b=-2a可得b<0.所以8.B提醒:由y=x2+1−x得y>0且−x>0,所以有9.4提醒:因为f所以由f得a而x为随意实数,因此有2a=8,a+10.A(第10题)提醒:分离画出函数y=2x−x2和y=2xx>0图象(如图所示),因为函数又解:令2x−x2=02的正数解x的值的范围应是0<x2因此,原方程无正数解.11.一次函数与x轴、y轴交点A的坐标为32,0,C点的坐标为0,3,由二次函数的图象过点C得y得一元二次方程x2+又AC:CB=1:2,则过B点作x轴的垂线垂足为1得b=1所以二次函数的表达式为y=x2+x+12.(1)设fx=0的两根为x1、xf于是,f2x=0的两根为x12、x22q(2)由(1)得f又f1=1解得x1=−3或于是,fx=x13.基本思路由f1x与f2x有相同的最小值得−2b=3a2;由f3x与f4x解答如下:ff由4b−−(1)ff由4a+2(2)由(2)一(1),得2a+a(3)或b(4)若a+b2=若b−a=23,按照(2)、(4),2b故u+v1.−4<k≤0提醒:由题意得k<0,k22.−提醒:由题意知x2+ax+b=0的两个根为-4和1,则由韦达定理知3.±提醒:由题意可知x2+ax+14.8提醒:由题意可知存在一个实数x,使得x则必须Δ即7解得3但a为整数,得a≤8故整数a的最大值为a=85.{提醒:由题设知x≠0,且2−xx≥0,所以有x≠06.−提醒:当x≥1x解得x>4因x当x<1x解得x<−3因故原不等式的解为x<−3或7.−提醒:由x2+2x−35>0得由x−2<10得于是原不等式组的解就是x的公共部分,即−8<x<−7提醒:由方程有实根,得其判别式Δ≥0−解得k≥3或k由韦达定理得a+ba=因此问题转化为在k≥3或k≤−2作出这一函数的图象,可见最小值应在k=3或k=−2时取得.进一步比较y在k=−2及k=39.-4提醒:由已知有a−b+c因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点,所以Δ=b−收拾得9a−1a−1>0,解得又因为a是正整数,所以惟独a>1,从而a于是b+c=−3a+2≤−4,则当a=210.−提醒:由x2+−当1≤m≤3时,则−12m2+24+m所以,当1≤m≤3时,y<0恒成立,即x−11.原不等式即为x(1)当m>0时,(1)的解为−3m<x<2m,由问题中的条件有2m当m<0时,(1)的解为2m<x<当m=0故m≥1或m12.当a=b=−32,c=32下面证实:不等式a+b≥4c对满意由已知条件知,a、b、c都不等于0,且a所以a≤b由一元二次方程根与系数的关系,知a、b是一元二次方程x2+1c2x+1因此a13.由题意知方程的另一根不是整数.设方程有一个整数根x,将方程改写成关于a的一次方程x2+4x+4a=2x由a≥1得2x+7x因为x为整数,且x≠−2,则x=−3经检验当a=1时,原方程为x所以a的值为74测试10一元二次方程根的分布1.方程x2−Δ所以方程有两实根α、β,且α由根与系数的关系得α为了考虑α−1与βα==当k=0时,原方程化为x2−3x当k≠0时,由α−1β−1=−k2<0知α−所以原方程必有一个大于1,另一根小于或等于1.2.按照题设,问题可转化为求当方程x2−m−3x因为此方程根的判别式为Δ所以此方程必有两实根,即函数y=x2−m−运用方程根与系数的关系得方程的两根x1、x当m>0时,x1x当m≤0时,x1x2=−m≥0所以,满意要求的m为一切实数.3.因为一元二次方程x2+3−mtx−3mt=0的两根分离为mt由题设,mt+3≥2tm由题设知,m2−4≠0m得m>2,4mn−62≤0,4.因为方程根的判别式Δ=4a2−12设fx=3x2−2ax+由f0f1=a−12−a<0,解得a>2或a<1,所以,当当1≤a≤2时,函数图象的顶点横坐标x=a3在13与23之间,所以其对称轴x=a3在带形区域0<x<1内.又f0=a−1≥0,f1=2−a≥0,且至少有一个大于零.若f0>0,则当λ≠0时,λx2−1+x−aΔ对λ≠0显然,λ=0时,4所以上述条件等价于对一切实数λ,4λ2+4aλ+1≥0恒成立,即6.基本思路由方程(2)可设元u=x证实如下:设u=xu(3)这里d>0(可以算出d(2)成为u(4)它的判别式Δ所以方程(4)有两个不同的实数根u1、u因此u与u异号,这表明u1、因为u=x测试11二次函数的最大值与最小值1.1提醒:y=x−a22+2−a24,则由题意知a2=2.102提醒:由已知条件得m=19n2−98n,因m,n>0,故由n19n−98>0得n≥6,从而3.4提醒:令y=fx=x2+ax+3=x+a2y的图象及最大值、最小值性质可知,此函数的最小值为f−a因为f−1=4−a,f1=4+a,且a>4.21提醒:由y≤1,y=12令t=2x2+16x而0≤x≤1.所以在0≤x≤1时,t随x的增大而增大,从而知故2x25.130提醒:记u=5y则u=−x+140.因已知y,z≥0,故有10≤x≤20.由此易知,当x=6.6提醒:由题设知x−1≥0,且4−xy=于是当x=52时,y2取最大值,为3+2×32=6;因为x=1或4时,y2=3,所以当1≤x≤4时,7.9提醒:由已知条件得a≤又在a=0,b=38.−提醒:因为对于实数x,有y=x2+ax当x可以取正整数n时,当且仅当n=5使得y有最小值.于是必有对称轴x=−a2在x=4与−得−所以,a的取值范围是−11<9.0提醒:y=x2−4x+3=x−22−1,此函数的大致图象如图1所示,因此函数y=∣x2−4x+(第9题)10.当点P位于点B时(第10题)提醒:如图,设矩形PNDM的一边PN=x,则3≤x≤4Rt则PQBF=AQAF,即4S当x=3时有SR,κ=12.即当P为点B时,矩形11.(1)判别式m−12+16>(2)设A、B的坐标分离为x1,0及x2−的两个根,由韦达定理得到A==故当m=1时,线段A12.分离取x=0c记m则a=−ab从而a容易验证,f当0≤x≤1时,恒有故所求的最大值为17.13.由题意,a===≥当a+b−12=故所求最小值为-1.测试12容易分式函数的最值1.设△ABC的面积为S,所求的第三条高线的长为h,则三边长分离为2S5,2解得4<h所以h的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.2.令ba=s,则1因为1+s2≠0Δ即−当s=−3时,代入关于a的方程得2a−1当s=3时,得a所以当a=12,b=−32时,ba取得最小值−3;当3.去分母得2当y≠12时,这是一个关于x的二次方程,因x是实数,故其判别式2解得−4≤y≤1.且当x=−13时,y=因此y的最大值为1,最小值为-4.4.当x>0时,y1=≥当且仅当x=lmx,即所以当x=lm时,1y有最小值−l+m<0),从而y的最大值为5.因为x≠1y令ft=t+4tf=这说明,在区间12,1上,ft的值随f所以y说明:此题中ft随t的增大而减小,称ft在区间12,1y当y=0时,x=1,而x=1当y≠0Δ所以−又当x=−1时,y=−14;当x=3时,y=6.由方程组x−429+y22516因为x是实数,所以判别式Δ=40000−64175+当u=50时,可以解得x另一方面,由x−429+y225=1知x−429≤1,x≥1,所以u≥x2≥1测试13锐角三角函数1.52.23.正提醒:由已知条件得,sinA−32=0,cosB−12=04.45提醒:直角三角形ABC中,tanB=cotA2解得tanA=1或tanA=−12.因A为锐角,则tanA>0,所以只能有tanA5.3提醒:设菱形边长为a,菱形和等腰直角三角形的面积分离为S1、S所以S1:6.1(第6题)提醒:如图,2β=∠A,2γ=∠B,则α=180∘−β+提醒:由根与系数的关系知sinα⋅sin8.4提醒:如图,过点D作DF⊥AB于点F,则由AD=令BE=b,EFtan得a(1)(第8题)又∠CAB=60∘2(2)解(1)、(2)得a=39.24提醒:如图,作AD⊥BC,CE⊥AB.则易知D1(等于S△ABC),可求出(第9题)因此在Rt△AEsin10.2提醒:延伸AD、BC交于E,则∠AEB=30∘,且有AE=2AB=8,E11.过A作AF⊥BC交BC(第11题)因为AB=DC,AD//BC,所以BF=AD=13BC,且Rt△AB于是BF=12AB,故cos12.由已知条件可得BP=(第12题)在Rt△BQP中,由∠B=30∘得sin30∘=在Rt△ABD中,B所以QD=A得AQ=74AB13.如图,作一个直角三角形ABC,其中(第13题)a.因为sinα=a,故可设延伸CB至D,使DB=AB∠在Rt△ABC中,由勾股定理知D在Rt△ADC中,由勾股定理得sin测试14解直角三角形1.10提醒:由∠A+∠B=90∘及∠A−∠B=30∘知∠B=30∘,则2.15提醒:设CD=x,则AC=3x.在B所以3x−x=10,得x=(第3题)3.30提醒:如图,过A作AD⊥BC交于D点,则由12BC⋅AD=1得于是tanC=ADCD=1提醒:过A作AD⊥BC于点D,则在Rt△ABD中,sinB=ADAB=12,得所以由AB−AC=2−2,得A因此BC=所以三角形ABC的周长为35.8提醒:按照对称性,以∠CAB=90∘的点C有2个;以∠CBA=90∘的点C有2个;以6.5提醒:过A点作AE⊥BC,垂足为E.令BE=y,A′C=x,则由题设知AB=A′B=13,AD=A′D=7.于是7.2(第7题)如图,延伸AM交DC的延伸线于点F,易证△AMB≅△FMC,则过点N作NH⊥AF于点A故HN故AB=(第8题)8.2提醒:作等腰三角形底边上的高AD,如图所示,则BD=DC=12BC,在Rt△ABDB9.5(第9题)提醒: