2024年中考数学压轴题之二次函数篇确定二次函数的表达式

第二讲确定二次函数的表达式

目录

必备知识点..............................................................................1

考点一■顶点式求表达式...................................................................2

考点二两点式求表达式..................................................................4

考点三一般式求表达式...................................................................7

)知识导航

必备知识点

知识点1二次函数的解析式的常见形式

(1)一般式：y=ax?+bx+c(a,b,c是常数，a关0),该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线

与y轴的交点坐标是(0,c).

(2)顶点式：y=a(x-h)?+k(a,h,k是常数，a#0),其中(h,k)为顶点坐标，该形式的优势

是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为(h,k)。

(3)交点式：y=a(x-xi)(x-x2)(a,b,c是常数，aWO),该形式的优势是能直接根据解析式得到

抛物线与x轴的两个交点坐标(xi,0),(X2,0)。

知识点2二次函数与一元二次方程关系

(1)对于二次函数y=ax?+bx+c(a#0)来说，当y=0时，就得一元二次方程ax。+bx+c=0(a

#0).抛物线y=ax?+bx+c与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax?+bx+c=0的根；

2、二次函数y=ax?+bx+c(a#0)的图象与x轴的交点有三种情况(也即一元二次方ax2+bx+c

=0根的情况)

①抛物线y=ax2+bx+c(a#0)的图象与x轴有两个交点(xb0)(x210)

当A>0时，一元二次方程ax?+bx+c=0(a#0)有两个不相等的实数根xl,x2,

②抛物线y=ax2+bx+c(a#0)与x轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点

当=0时，方程ax?+bx+c=O有两个相等的实数根

③抛物线y=ax2+bx+c(a#0)与x轴没有交点

当A<0时，方程ax2+bx+c=0没有实数根。

知识点3待定系数法求二次函数的解析式

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从

而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程

组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴

有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

考点一顶点式求表达式

1.二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为()

A.y=X2+2X-3B.y=x2-2x-3C.y=-x2+2x-3D.y=-x2-2x+3

【解答】解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是(1,-4),与x轴的交点坐标是(-1,0),

设二次函数的解析式是y=a(x-l)2-4,

把(-1,0)代入得：0=。(-1-1)2-4,

解得：＜2=1,

所以y=(x-1)2-4=x2-2x-3,

故选：B.

2.一个二次函数图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,-4),则这个二次函数的解析式为()

A.y=-2(x+2)2+4B.y=1(x+2)2-4

C.y=-2(x-2)2+4D.y=2(x-2)2-4

【解答】解：设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,

则抛物线表达式为尸a(x-2)2+4,

将(0,-4)代入上式得，-4=a(0-2)2+4,解得。=-2,

故抛物线的表达式为y=-2(x-2)2+4.

故选：C.

3.如图，抛物线与直线交于点/(-4,-1)和点2(-2,3),抛物线顶点为/,直线与y轴交于

点C.

(1)求抛物线和直线的解析式；

(2)若y轴上存在点P使△PN8的面积为9,求点P的坐标.

【解答】解：(1)由抛物线的顶点/(-4,-1)

设二次函数为y=a(x+4)2-1,

将B(-2,3)代入得，3=。(-2+4)2-1,

解得a=\,

・•・二次函数为〉=(x+4)2-1(或>=/+8;<:+15),

设一次函数的解析式为y=kx+b,

将/(-4,-1)和2(-2,3)代入得［-4k+b=V

I-2k+b=3

解得卜=2,

lb=7

,一次函数的解析式为y=2x+7；

(2)由直线y=2x+7可知。(0,7),

设尸(0,〃),

.■.PC=\n-7|,

S^PAB=S^PAC-S^BPC=—(4-2)-7|=9,

2

*'•\n-7|=9,

n=-2或16,

・・.尸(0,-2)或尸(0,16).

考点二两点式求表达式

4.已知二次函数/=-，+6x+c的图象过点/(3,0)、C(-1,0).

(1)求此二次函数的解析式；

(2)如图，二次函数的图象与y轴交于点3,二次函数图象的对称轴与直线交于点尸，则P

点的坐标.

【解答】解：(1)把点/(3,0),C(-1,0)代入y=-/+6x+c中,

得-14+。=0,解得仆=2,

I-9+3b+c=0Ic=3

抛物线的解析式为j=-X2+2X+3；

(2)在y=-X2+2X+3中，当x=0时，y=3,

■-B(0.3),

设直线AB的解析式为y=foc+b,

./b=3

-l3k+b=0'

.fk=-l

"lb=3'

二直线48的解析式为y=-x+3,

当x=1时，y=2,

■-P(1,2).

5.如图，二次函数y=af+fer+c(aXO)的图象与x轴交于点A(-1,0)、2(3,0)两点，与y

轴交于点C(0,3),D为抛物线的顶点.

(1)求此二次函数的表达式；

(2)求△(?£漫的面积.

(3)在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点尸，使△PDC是等腰三角形？若存在，请直接写

出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

［解答］解：(1)设解析式为：y=a(x-xi)(x-%2)(a^O),即y=a(x+l)(x-3).

把点C(0,3)代入，得a(0+1)(0-3)=3.

a=-1.

故该抛物线解析式是＞=-(x+1)(x-3)或〉=-X2+2X+3.

(2)由了=-X2+2X+3=-(x-1)2+4知，顶点坐标。为(1,4).

-B(3,0),C(0,3),

.•.3。2=18,BD2=(3-1)2+(0-4)2=20,CD2=(0-1)2+(3-4)2=2,

.-.BD2=BC2+CD2.

・•.△BCD是直角三角形，且42c0=90。.

SECD=1.CD-BC=Ax72x372=3,即^CDB的面积是3.

22

(3)存在，由尸-f+2x+3得，。点坐标为(1,4),对称轴为x=l,

①若以CD为底边，则尸〃=PC,设P点坐标为(x,y),

根据勾股定理得：x2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2,即y=4-x,

又,•.尸点(x,y)在抛物线上,

.'-4-x=-/+2x+3,HPx2-3x+l=0,

解得4=老正，双=三区＜1(舍去),

_22

,r_3+V5_

2_

「•y=4-x=5.立,

2

即点P坐标为(老巽，生要)

22

②若以C£＞为一腰，因为点尸在对称轴右侧的抛物线上，

由抛物线对称性知，点P与点。关于直线x=l对称，此时点P坐标为(2,3),

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在直线NC上方的该抛物线上是否存在一点D使得的面积最大，若存在，求出点。

的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由.

将点C(0,-2)坐标代入解析式得：-2=a(0-4)(0-1),解得°=

2

y=-—-1)=--2,

222

故该抛物线的解析式为：尸-lx2+lx-2,

22

(2)如图,

设直线ZC表达式为：y=kx+b(WO),将/(4,0),C(0,-2)代入其表达式得:

(1

f0=4k+b,解得卜方，

，直线/C：y=—x-2,

2

设点。坐标为(x,-Xx+^-x-2),则点E坐标为(x,-2),

222

SADCA=SADCE+SADAE=—xDExx£+—xDEx(XN-XE)=—XDEx=AxDEx4=2DE,

2222

DE=(-J^x2+—x-2)-(A%-2)=--X2+2X,

2222

S^DCA=IDE=2x(--X2+2X)=-X2+4X=-(x-2)2+4,

2

.1.当x=2时，y=--x2+—x-2=-2+5-2=1,即点D坐标为(2,1),

22

此时的面积最大，最大值为4.

考点三一般式求表达式

7.如图，抛物线y=x2+bx+c经过点/(-1,0),点2(2,-3),与了轴交于点C,抛物线的顶点

为D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点P,使△P8C的面积是△8。面积的4倍，若存在，请直接写出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1).•.抛物线y=f+6x+c经过点4(-1,0),点B(2,-3),

.(l_b+c=0

14+2b+c=-3

解得b=-2,c=-3,

「•抛物线的解析式：y=^-2x-3；

(2)存在，理由如下：

,''y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

二。点坐标为(1,4),

令x=0,贝!］歹=/-21-3=-3,

••・C点坐标为(0,-3),

又点坐标为(2,-3),

••・5C〃x轴，

•e-S4BCD=-1-X2x1=1,

2

设抛物线上的点P坐标为(冽，加2.2加-3),

*e-S^PBC=—x2x|zw2--3-(-3)I=Im2-2m|,

2

当|加2-2加|=4x1时，

解得m=l±y/5,

当加=1+4亏时，加2-2加-3=1,

当冽=1-时，m2-2m-3=1,

综上，P点坐标为(1+而，1)或(1-V5,1).

8.已知：在直角坐标系中直线y=-x+4与x轴、y轴相交于点4、B,抛物线y=-/x2+bx+c经

过点A和点B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如果直线AB与抛物线的对称轴相交于点C,求0C的长;

(3)P是线段0A上一点，过点P作直线AB的平行线，与y轴相交于点。，把△OPQ沿直线

尸。翻折，点。的对应点是点。，如果点。在抛物线上，求点尸的坐标.

V

6-

5-

4

3-

2-

【解答】解：(1)直线y=-x+4与x轴、》轴相交于点/、B,

■-A(4,0)、8(0,4),

[-8+4b+c=0

代人抛物线得:

Ic=4

-'-b=1,c=4,

抛物线的解析式为：y=-Lx2+x+4.

(2)由y=-^x2+x+4=蒋

可得抛物线的对称轴为直线x=1,

当》=1时，7=-x+4=3,

••.C(1,3),

oc=VTo.

(3)如图，设点尸的坐标为(t,0),

.-AO=BO=4,AAOB=90°,

AOAB=AOBA=45°,

--PQ//AB,

AOPQ=AOQP=45°,

ADPO=ADQO=90°,又乙尸00=90°,

四边形DP。。为矩形，

：OP=OQ,

四边形DP。。为正方形，

：.DP=DQ=OP=t,