2024历年高考数学试题汇编：二项式定理

历年高考数学真题精编

17二项式定理

一、单选题

1.(2006・山东)已知［尤2-；］的展开式中第三项与第五项的系数之比为-之，其中f=一1，

则展开式中常数项是()

A.-45iB.45iC.-45D.45

4432

2.（2022•北京）若（2x-1）=a4x+a3x+a2x+axx+a0,贝|%%:=（）

A.40B.41C.-40D.-41

2

3.（2020•全国）(x+乙)(x+y)5的展开式中泞y3的系数为()

X

A.5B.10

C.15D.20

(1+1)(1+幻6展开式中一的系数为

4.（2017•全国）

A.15B.20

C.30D.35

5.（2017•全国）。+，(2%・1)5的展开式中工3尸的系数为

A.-80B.-40C.40D.80

在，2一的二项展开式中，第4项的二项式系数是(

6.（2020•山东））

A.56B.-56C.70D.-70

(/+x+y)5的展开式中，％5y2的系数为

7.（2015•全国）

A.10B.20

C.30D.60

8.（2013•全国）设m为正整数，(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+i展

开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则11!=

A.5B.6C.7D.8

9.（2015・湖北）已知（l+x）”的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项

式系数和为（）.

A.212B.211C.210D.29

10.（2015・湖南）己知［石-云）的展开式中含1的项的系数为30,则。等于（

A.73B.-如C.6D.-6

二、填空题

11.（2023•天津）在，三一）1的展开式中，/项的系数为.

12.（2007.四川）的展开式中的第5项为常数项，那么正整数〃的值是

13.（2022・全国）［-+的展开式中的系数为（用数字作答）.

14.（2022•浙江）已知多项式0+2）0-1）4=〃0+。1%+〃2工2+。3/+。4/+〃5/,贝U

15.（2020•全国）（d+2升的展开式中常数项是（用数字作答）.

X

16.（2021•天津）在（2d+：］的展开式中，工6的系数是.

17.（2020•天津）在1+蛾］的展开式中，d的系数是.

18.（2019•浙江）在二项式（0+x）9的展开式中，常数项是；系数为有理数的项的个

数是.

19.（2021.北京）在（丁一工）4的展开式中，常数项为.

X

20.（2014・全国）（x-y）（x+y）8的展开式中无2y7的系数为.（用数字填写答案）

参考答案:

1.D

【分析】由二项式展开项通项公式结合第三项与第五项的系数之比列式可解出〃=10,即可

求出常数项.

k5k

【详解】由二项式展开项通项公式可得第％+1项为1h=（：%2"心（_炉一=（-疗2r，

故第三项与第五项的系数之比为

㈠)2c33

——n---〃一50九一50=0,解得〃=10

(TV14—1)(〃—2)(〃—3)14

4x3x2xl

（〃wN*）,

由2"q=。”=8得故常数项为勾=（-i『c：0=45.

故选：D

2.B

【分析】利用赋值法可求佝+%+。4的值.

【详解】令％=1,则。4+。3+。2+4+。0=1,

令X——1f贝!]g—q+/一q+%=（—3）—81,

M1+81-

RA〃4++。0==41,

故选：B.

3.C

【分析】求得（X+a展开式的通项公式为（reN且"5）,即可求得“+[]

与展开式的乘积为C"6-y或C"~y+2形式，对r分别赋值为3,1即可求得的

系数，问题得解.

【详解】（x+疗展开式的通项公式为小（居"且厂45）

所以（尤+二]的各项与（x+»展开式的通项的乘积可表示为：

22

xTr+l=xc^-y=G产y和匕大=上6一了=c，-y+2

XX

在工4+1=。枭6-？，中，令厂=3,可得：尤心=以尤3y3,该项中W的系数为I。，

22

在匕7；M=C#jy+2中，令r=i,可得：^=C^y\该项中三丁的系数为5

XX

所以x3;/的系数为10+5=15

故选：C

【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及

分析能力，属于中档题.

4.C

【分析】化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中无2的系数.

【详解】因为（1+4（1+尤）6=（1+无）6+《X（l+X）6,则（1+4展开式中含/的项为

XX

C^2=15X2；4X（1+以展开式中含/的项为2xC%4=15/,故/的系数为15+15=30,

XX

故选：C.

5.C

【详解】（x+y）（2i-,丫=兀（2%-y）5+y（2%-y）s,

由（2x-y）5展开式的通项公式&]=G（2x）*（_y）"可得:

当r=3时，x（2x-y）5展开式中x3j3的系数为C^x22x（-1）3=-40；

当r=2时，y（2尤-才展开式中x3y3的系数为C；X23X（T）2=80,

贝1）丁〉3的系数为80—40=40.

故选C.

【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：

第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注

意二项式系数中〃和厂的隐含条件，即〃，厂均为非负整数，且佗厂，如常数项指

数为零、有理项指数为整数等）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.

（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.

6.A

【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果.

父x7x6

【详解】第4项的二项式系数为或=三—=56,

3x2

故选：A.

7.C

【详解】在(d+x+y)5的5个因式中，2个取因式中/剩余的3个因式中1个取X,其余因

式取y,故丁产的系数为c；C；C；=30,故选C.

考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.

【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题,

求多项展开式式某■项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该

项，再利用排列组知识求解.

8.B

【详解】试题分析：由题意可知=:向=b,13a=76,，131=7g篇,即

]3(2”。！7(2/«+1)1

ml-ml+!

9m+1

「.13=7——「，解得m=6.故B正确.

考点：1二项式系数；2组合数的运算.

9.D

【详解】因为(1+%)〃的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以(7：=(/,解得

〃=10,

所以二项式(1+无产中奇数项的二项式系数和为」：-=>.

考点：二项式系数，二项式系数和.

10.D

[详解]&]=，令r=l，

可得-5a=30解得〃=-6.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题.

11.60

【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式%=(-1)，26「隈。*98*,令

18-4左=2确定上的值，然后计算/项的系数即可.

【详解】展开式的通项公式小=建(2/广［一口=(一琰X26YXC：X/"

令18—4左=2可得，k=4,

则Y项的系数为(-I)，x26TxC：=4x15=60.

故答案为：60.

12.8

【分析】

根据二项式展开式的通项公式可得第5项为4M=(-D'C'z,结合题意即可求解.

【详解】由题意知，展开式的通项公式为

X

T=cxn-r(--y=(-iycx^2r,

r+lnXn

所以第5项为4=(-Dy/、

由第5项为常数项，得〃-8=0,解得〃=8.

故答案为：8.

13.-28

【分析】11-1,+旧8可化为"+')8-!"+丁)8,结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】因为y)8=(x+y)8-?(x+y)8,

所以“-(x+A'的展开式中含的项为CM、'_Zc^3/=-28x2/,

(l-£|(x+M的展开式中小的系数为一28

故答案为：-28

14.8-2

【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令1=0求出〃°,再令x=l

即可得出答案.

【详解】含炉的项为:%.C^.x.(-1)3+2.Ctx2.(-1)2=-4x2+12x2=8x2,故%=8；

令％=0,即2=%,

令光=1,艮fl。=%+4+/+。3+。4+。5，

%+%+/+。4+05=-2,

故答案为：8；—2.

15.240

【分析】写出］二项式展开通项，即可求得常数项.

【详解】p+jj

其二项式展开通项：

=£"2-2，(2)'.尤一，

=q(2)r-x12-3r

当12-3厂=。，解得，=4

卜+1J的展开式中常数项是：C：-24=C<16=15x16=240.

故答案为：240.

【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握

(。+》)"的展开通项公式考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

16.160

【分析】求出二项式的展开式通项，令X的指数为6即可求出.

【详解】,+1J的展开式的通项为J=C；(2x3p-QJ=2.产』，

令18—4厂=6,解得厂=3,

所以尤$的系数是23^=160.

故答案为：160.

17.10

【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令工的指数为2,即可求出.

【详解】因为卜+机;的展开式的通项公式为

4M=C05-(1)=C；-2r-xMr(r=0,l,2,3,4,5),令5—3r=2,解得r=l.

所以/的系数为C；x2=10.

故答案为：10.

【点睛