安徽省六安市独山中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（解析版）

独山中学2024-2025学年度第一学期高二开学考试数学试卷一、单选题（每题5分计40分）1.已知复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根据复数除法运算法则计算即可.【详解】.故选：A.2.已知向量，，，若，则（）A.1 B.2 C.-2 D.-1【答案】D【解析】【分析】因为向量，所以，代入坐标运算即可．【详解】因为向量，，所以，因为，所以，可得，故选：D．3.如图，在中，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用平面向量的三角形法则和数乘向量，直接求解．【详解】在中，，∴故选：A．4.已知正三棱柱的体积为，且底面边长与高相等，则该正三棱柱一个侧面的对角线长为（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】设该正三棱柱的底面边长为a，由体积求出，即可求出侧面的对角线长.【详解】设该正三棱柱的底面边长为a，由题可知该正三棱柱的体积，所以，即该正三棱柱的底面边长为，高为，故一个侧面的对角线长为.故选：C5.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（

）A. B. C.8 D.10【答案】D【解析】【分析】根据斜二测画法的原则进行求解即可.【详解】由题设知：原四边形中且，所以原四边形为平行四边形，而，则原四边形中，故，综上，四边形的周长为.故选：D6.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正四棱柱的体对角线长等于其外接球直径求出球的半径，即可求得结果.【详解】设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为6，体积为24，所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上，所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即，所以球的半径为，球的表面积.故选:B.7.在中，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据余弦定理可计算出，再利用正弦定理即可得出.【详解】由题意可得，，，由余弦定理可得，即又可得；利用正弦定理可知，所以.故选：A8.如图，一同学利用所学习的解三角形知识想测量河对岸的塔高时，他选取了塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.，，，在点C处塔顶A的仰角为60°，则塔高为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】在中利用正弦定理求解的值，在中根据即可求解.【详解】解：由题可知，在中，，，故，由正弦定理可得：，又，解得，因为在中，所以.故选：A.二、多选题（每题6分，多选、选错不得分，部分对答部分分共18分）9.若复数z1、z2在复平面内的对应点分别在一、二象限，则z1+z2在复平面内的对应点可能在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】AB【解析】【分析】设出复数z1、z2对应点的坐标，求出z1+z2对应点的坐标即可分析得解.【详解】在复平面内，设复数z1、z2对应点的坐标分别为，则有且，于是得z1+z2对应点的坐标为，此时恒有，而有值不确定，即z1+z2在复平面内的对应点必在x轴上方，可能在第一象限，第二象限或者在y轴正半轴上，所以选项C，D不可能，A，B有可能.故选：AB10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为B.圆锥侧面积为C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为【答案】CD【解析】【分析】根据题意，结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，圆柱的侧面积为，所以A错误；对于B中，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误；对于C中，球的表面积为，所以C正确；对于D中，圆柱的体积，圆锥的体积，球的体积，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确.故选：CD.11.对于，有如下判断，其中正确的是（）A.若，则为等腰三角形B.若，则为等腰或直角三角形C.若，则D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】对于A，由正弦定理可得即可判断；对于B，由三角形中的角之间的关系，判断出该三角形的形状，进而判断真假；对于C，由余弦函数的单调性可判断；对于D，举反例判断.【详解】对于A：在中，若，由正弦定理得，则为等腰三角形，A正确；对于B，因为，在中，可得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确；对于C，在三角形中，，因为在上单调递减，所以，C正确；对于D，当为钝角，为锐角时，此时，，D错误；故选：ABC.三、填空题（每题5分计15分）12.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是个底角为的等腰梯形，已知直观图中，，，则该平面图形的面积为______．【答案】【解析】【分析】根据直观图与原平面图形的关系作出原平面图形，求出相应边长后计算面积．【详解】由直观图可得平面图形如下图所示：则，，在题设等腰梯形中，，因此，所以．故答案为：．13.若在一个边长为5的正三角形中，一个向量所对应的有向线段为（其中D在边上运动），则向量的模的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，当D为BC的中点时，此时向量长度最小，问题得以解决．【详解】根据题意，在正三角形中，有向线段的长度最小时，应与边垂直，有向线段的长度的最小值为正三角形的高，即向量的模的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及向量的模，属于基础题．14.已知△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若，，，则________．【答案】【解析】【分析】△ABC中根据余弦定理求出BC的长度，在△ABD和△ADC中，利用余弦定理建立等式关系求出AD即可.【详解】在△ABC中，AB=3，AC=1，，余弦定理可得，即.在△ADC中，设BD=m，则.余弦定理可得即…①.在△ABD中，余弦定理可得.即:…②，由①②求解得:故答案为：四、解答题（共77分）15.已知复数，，为虚数单位．（1）求（2）若，求的共轭复数；（3）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由复数的乘法运算，即可得到结果；（2）由复数的除法运算，即可得到结果；（3）由复数的几何意义，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】【小问2详解】，，，．【小问3详解】在复平面上对应的点在第四象限，，解得，故实数的取值范围为．16.已知，，与的夹角为45°.（1）求在方向上的投影向量；（2）求的值；（3）若向量与平行且方向相同，求实数.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据投影向量求解公式求出答案；（2）平方后求出，得到模长；（3）根据两向量平行得到方程，求出的两个解，检验是否方向相同，得到答案.【小问1详解】∵，，与的夹角为45°，∴，∴在方向上的投影向量为；【小问2详解】∵，∴；【小问3详解】∵与平行，∴∴，解得：或，当时，，此时方向相同当时，，此时方向相反，故舍去.∴17.已知在长方体中，，，，为棱的中点.（1）求三棱锥的表面积；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，分别求得各个面的面积，进而得到其表面积；（2）根据题意，利用棱柱和棱锥的体积公式，结合，即可求解.【小问1详解】解：在长方体中，由，，，为棱的中点，可得，可得，所以三棱锥的表面积为.【小问2详解】解：在长方体中，由，，，为棱的中点，可得，且所以.18.记的内角的对边分别为，已知．（1）试判断的形状；（2）若，求周长的最大值．【答案】（1）直角三角形（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得，化简可得结论；（2）由（1）可得，进而可得周长为，利用辅助角公式可求最大值.【小问1详解】由，和余弦定理得，即，所以．所以是直角三角形．【小问2详解】由（1）知是直角三角形，且，可得．所以周长为，所以当时，即等腰直角三角形，周长有最大值为．19.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.（1）求石凳的体积与原正四面体的体积之比；（2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先得到棱长为的正四面体的