一题多解之导数专题分享P23

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂Word-可编辑来自高中数学解题研究会高中数学解题研究会是高考类最大的数学群之一,群里名师云集,有全国各地教研员,优秀教师,高考命题专家和各大市的命题专家。希翼有研究高考、解题、命题、教学等兴趣的高中数学教师和大学生加盟。群内有教辅资料编写,每日一题,每周一专题分享,群题记录等解题教学研究活动,学术研究氛围浓厚。现将群内一部分专题分享给大家,请批评指正。本专题内容或是群友原创,或是群友搜集收拾的,请勿做商业应用,否则会追究责任.第二周一题多解之导数专题分享题目1:设函数fx=ex−x−2,若k为整数,且当x>0解法一:f′x=ex−设hx=gx=ex−x−2在[0,+∞)上单调递增,g1即ex0−x0−2=0⇔ex0=x0x0ex0+1ex0−1=x0解法二:x∵g′x=①k②k>1,当0<x<k当x>k−1时,∴gx≥gk−∴hk↙,hk供题人:【高中数学解题研究会河南郑州高峰】题目2:设函数fx=ex2x−1−ax+a,其中a<解法一:【导数、极限思想】当a≤0时,f′x=ex2x+且x→−∞时,当0<a<1时,令f′t且f0=f1=e12×1−1−欲使“存在唯一的整数x0使得fx0<0”f−1综上所述,所求实数a的取值范围是32e解法二:【分参、导数思想】由fx=ex2x此不等式可以看作是曲线gx=ex2x−1在过点1下方的部分在x轴上的投影只包含唯一整数.∵g′x=ex2x处取得极小值,且极小值为−2e如图所示结合图象可知,符合题意的唯一整数为0.设B−1,g−1,C0,g0,则a的取值范围为从直线AB供题人:【高中数学解题研究会湖北鹤峰柳金爱】题目3:将边长为a m正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=梯形的周长2梯形的面积分析:由题意,设出小正方形的边长,得出S关于a,x设剪成的小正三角形的边长为x,则S解法一:【我们可以利用导数求函数最小值】S=S当x∈0,a3时,S′x<0故当x=a3时,S的最小值是解法二:【利用函数的主意求最小值】令3a−x=故当1t=38a,x=a3解法三:【利用双换元法求最小值】令a+x=t则S故当t=2s=43a,即x=a3供题人:【高中数学解题研究会湖北鹤峰柳金爱】题目4:已知函数fx=（1）求fx（2）若m=1,且当x>0时,t−xf′x<x+1解法一:【分离常数法】(1)易知f′x=ex−m,则当m≤0时,f′x>0恒成立,fx在R上单调递增;当m>0时,由（2）当m=1时,fx=ex−x,则f′x=ex−1,由x>0g令hx=ex−x−2,则h′xh1=e−3<0, h(20=e2−4>0,所以存在x0∈1,2,使得hx0=0,所以当0<x<x0时,hx<0,当x>x0时,hx>0,因此gx在解法二:【先猜后证法】（1）同解法一的解法;（2）当m=1时,fx=ex−x,则f′x=ex−1,原不等式等价于t−xex−1<x+1.当只需证实x+1+x−2ehx=exx−2+3,则h′x=exx−1,因此hx供题人:【高中数学解题研究会辽宁朝阳闫国发】题目5:[(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高三模拟考试理科数学第21题]已知函数fx=（1）设a=1,研究f（2）若对随意x∈0,1,f解:(I)a=1,fx=f设gx=2lnx+因为x>0,g′x≤0,所以gxx所以fx的增区间为0,1,减区间为(II)解法一:【分类研究】由已知a≠0,因为x∈0,1（1）当a<0时,f（2）当a>0时,x∈0,1,由f设hx=lnx+2设mx=x2+2−4ax若a∈(0,1]又h1=0,所以若a∈1,+∞,Δ>0,对随意x∈x0,1,mx<0所以x∈x综上,实数a的取值范围是(0,(II)解法二:【分离参数+洛必达法则】对随意x∈0,1,f因为1+x1−xln因此1+xa1−x由洛必达法则可求得limx→从而limx→由(1)知,1+x1−xln所以,对随意x∈0,1,−2a>1又a>0,所以0供题人:【高中数学解题研究会辽宁大连陈义】题目6:[2023年年年高考全国新课标II卷文数第21题]已知函数fx=x3−3x2+ax+2(I)求a;(II)证实:当k<1时,曲线y=fx与直线解法一:【官方公布答案】(I)f′x曲线y=fx在点0,2由题设得−2a=−2(II)由(I)知,fx=设gx=由题设知1−k当x≤0时,g′x=3x2−6x+1−k>0,当x>0时,令hx=x3h′x=3x2−6x=g所以gx=0在综上,gx=0在R有唯一实根,即曲线y=fx解法二:(I)a=1((II)由(I)知,a=1,故记gx=∴∴(1)当Δ≤0即k有g′x=3x2−6x+又g−1所以gx=0在（2）当Δ>0即−2<由−2<k<1易知gx在gx在区间−∞,x1和x由g′x可得1−k所以g===由1<x2<2又由gx的图象易得gx=0在综上,当k<1时,gx=0在R有唯一实根,即曲线y=f(I)a=1((II)令fx−k令gx=x2来自高中数学解题研究会定性画出gx当k<1时,曲线y=fx与直线解法四:【只适用于挑选题和解答题】(I)a=1((II)易知直线y=kx−2过点0,−2可求得函数fx略),数形结合,就可知当k<1时,曲线y=fx与直线供题人:【高中数学解题研究会辽宁大连陈义】题目7:(天津卷理科第14题)已知函数fx=x2+3x,x∈解法一:fx−ax−1=0⇔x2+3x图1图2当y=−ax−1与yfx−ax−1当直线y=ax−1与函数y=x2+3x相切时(如图2),同理可得综上可知,0<a<1或解法二:显然a>0fx−ax−1=0⇔a图3因为t+4t∈−∞设φt=方程fx−等价于函数φt=t+4t4个互异的交点。故0<a<1或题目8:把一个周长为12 c解法一:设圆柱高为x,底面半径为r,则r=6VV当x=2时,V最大.此时底面周长为6−x=4解法二:V当6−x=2x即x=2时取最大值.此时底面周长为题目9:(2023年年.辽宁)设fx=lnx(1)当x>1时,f(2)当1<x<3时,(1)证实主意一记gx=则当x>1时,又g1=0,所以有gx<0主意二当x>1时,2x<x+令hx=lnx−x故hx<0,即由①②得,当x>1时,f(2)证实主意一:记kx=由(1)得k<令Gx=x+2xG因此Gx在1,又由G1<0,得Gx<0因此kx在1,又k1=0,所以于是当1<x<3主意二:记hx=则当1<x由(1)得h<<<=因此hx在1,又h1=0,所以hx<0供题人:【高中数学解题研究会山西吕梁李有贵】题目10:已知函数fx=sin2x+acos2x为___.解法一:【导数的应用】f′x=2f′−π8=2解法二:【定义法】由题意知f−π8−x=f−π8+x对恒为0,所以a=−解法三:【异常值法】只需在x=−π8两边取供题人:【高中数学解题研究会浙江萧山黄贤录】题目11:设函数fx的导函数为f′x,对随意x∈R则AC.3fln2<2f解法一:设gx=fxex即gx在R上是减函数,∴gln2>g即fln22>fln解法二:设fx=ex+1,则对随意x3∴3fln2>2点评:本题通过导数运算法则的逆用,构造函数解决与导数有关的不等式.延伸拓展:常见的含有ex（1）若fx+f′x>（2）若fx−f′x>题目12:已知函数fx=xlnxx(I)当曲线y=fx在点1,f1处的切线与直线l垂直时,求原点O(II)若对于随意的x∈[1,+∞(III)求证:ln42解:(I)f′x=x+1直线l的方程为2x+y−2=0,原点O(II)解法一:fx=xlnxx设gx=lnx−mg①若m≤0,存在x使g′x>0②若m>0,方程−mx2+当△≤0,即m≥12∴gx在1∴gx当0<m<12时,方程−m则x1=当x∈1,x2,综上所述,m的取值范围是m≥1【点评】解法一通过构造“差函数”,对参数m分类研究求解函数最值解法二:对于随意的x∈[即随意的x∈[1,+∞①当x=1时,原不等式即0≤0,显然成立,所以②当x>1时,原不等式即m≥xlnxg再令hx=h′x=xk′x=−在1,+∞恒成立,从而kx在1,+所以h′x<0在1,+∞恒成立,从而hx<h1=0,所以g′x<0在1而limx→1xlnxx2综合①②,m的取值范围是m≥1【点评】解法二通过“分离参数”,从而求解gx解法三:首先证实lnx≤x−1xg′x=1x−1=1−xx≤0从而gx≤g1=0在[且lnx≥0x≥1,故而随意的x只要m≥xx+1x因为hx=1−1x+1x≥1,显然故而m的取值范围是m≥1【点评】解法三通过利用“对数经典不等式”,从而使问题的解决得以简化.(III)由(II)知,当x>1时,m=12不妨令x=2所以2k+114ln1ln【点评】第三问利用第二问结论并异常赋值,从而证实不等式.供题人:【高中数学解题研究会陕西西安席成】题目13:若过点Pa,a与曲线fx=xA.−∞,eB.e,+∞C.【解1】求导易得函数y=xlnx的图像,点Pa,a在直线y=x上,由图（1）知,当a<0时,存在一条切线,排除A;当0<a<图(1)图(2)【解2】设切点为Qt,tlnty−tlnt=1+lntx收拾得alnt=t.显然a≠0,所以1则问题转化为直线y=1a与函数gt图象有两个不同交点.由可得gt在0,e上递增,e,+∞上递减,故在x如图(2),结合gt的图象,可得0<【解3】∵kPQ=tlnt−at−a,k=f′t=1+lnt,可得ht在0,1上递减,1,e上递减,e,如图(3),因为存在两个解,所以要求直线y=a与函数h显然a∈e启发:由图(3)还可以得知a∈−∞,0∪图(4)【解4】同上得alnt=t.显然a≠0,所以lnt=ta点Mx0,y0,如图(4),则k=解得x0=e,即切点为Me,1,此时直线y要使存在两个交点,需0<1启发:同理,我们还可以试着去研究直线y=t与曲线y=题目14:设函数fx=ax+cosx,x∈解法一(分离变量,二阶导数,洛必达法则求端点值):fx≤设g设h所以,当x∈0,π4时,h′x≥0⇒因为h所以存在x0∈π4,π2使得g′x0=0,所以因为gπ=2π,limx→0gx=f解法二(含参函数):设gx=sinx又g所以当−1<a≤2π时,当a≤−1时,gx的最小值为综上,a的取值范围为−解法三(数形结合):f由右图知:a的取值范围为−若严谨作答则补充证实即可.变式:题设条件更改为:fx≥1+sinx,求a供题人:【高中数学解题研究会重庆沙区陈艮】题目15:若存在实数a使得x+a≤lnx+1在A.3B.4C.5D.6解法一:因为x+a≤lnx+所以−设fx=lnx+1设gx=−lnx−所以存在实数a只需lnm+1−m≥设hm=lnm−m+3, 而h4=ln4−1解法二:数形结合如图,当y=x+t恰好过点C所以lnm+1m−2≥1,所以供题人:【高中数学解题研究会山西临汾姚澎波】题目16:已知函数fx=ax2+bx−c数.（1）若a>0,研究函数f（2）若a>0,且函数fx有两个不相等的零点x1,x2解:(1)因为f′x=2ax+b−1x,因为a>0,所以fx在0,1（2）解法一:构造F所以F′x=1x+12−x有Fx<F1=0。即f不妨设x1>x2所以f2−又因为a>0,所以fx在0,1所以2−x2<x1说明:此主意也可以构造Fx=f1解法二:依题可知ax1ax1+x所以ax1注重到f下面证实lnx1(主意一)因为x1>x2,所以需证实即证实ln构造函数g则当x>1时,g′x=x−12xg所以lnx1(主意二)设lnx1−ln设gx=lnx−kx ,g′x=1再设G所以G′x=2k1k2−x所以Gx>G0故g因为0<x2<1k所以x1>2k−x综上lnx1所以f又因为