高考数学一轮复习题型讲解+训练：函数与方程（原卷版+解析）

2023高考一轮复习讲与练

12函数与方程

秣；t考照方向

1.（2023・新高考I卷T10）（多选题）已知函数/（x）=x3—x+1,则（）

A./GO有两个极值点B./（x）有三个零点

C.点（0,1）是曲线y=/（x）的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/（x）的切线

2.（2023•全国乙（文）T20）已知函数/（x）=以一!―（a+l）lnx.

（1）当〃=0时，求/（九）的最大值；

（2）若〃尤）恰有一个零点，求〃的取值范围.

3.（2023•全国乙（理）T21）已知函数〃%）=1口（1+%）+小0

（1）当0=1时，求曲线y=/（x）在点（0,/（0））处的切线方程；

（2）若九）在区间（—1,0）,（。,转）各恰有一个零点，求a的取值范围.

4.（2023•北京高考）已知/（x）=|lgx|一日一2,给出下列四个结论：

（1）若左=0,则八x）有两个零点；（2）三人＜0,使得兀0有一个零点；

（3）三%＜0,使得Hx）有三个零点；（4）三女＞0,使得兀0有三个零点.

以上正确结论的序号是.

5.（2023年高考数学课标全国II卷理科）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背

面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与

探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日乙点

的轨道运行.4点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为月球质量为加2,地月距离为

R，L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律，厂满足方程：上丁+牛=（R+.设

（7?+r）2,I）R3

«=-.由于a的值很小，因此在近似计算中3a3,则/•的近似值为

R(1+6Z)2

IMRC.3』M,0

A.----KD.3-LR

2叫V弧V3M

e\(x<0)

6.(2023年高考数学课标卷I(理))已知函数/(%)={\7,g(x)=/(x)+x+a.若g(%)存在2

Inx,(x>0)

个零点，则〃的取值范围是()

A.[—1,0)B.[0,+8)C.[—1,+oo)D.[1,+8)

7.(2023年高考数学新课标I卷理科)设苍yz为正数，且2%=3,=5Z,则()

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yc.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

8.(2023•全国〃璃考理科•T15)函数欹);cos(3x+。在[0同的零点个数为.

9.(2023•天津高考•T14)已知a>0,函数/■(幻=忙+攀邛对。，若关于天的方程丹王》*恰有2个互异

的实数解,则a的取值范围是.

10.(2023年高考数学课标III卷理科)已知函数/(x)=%2-2x+a(/T+eei)有唯一零点，则。=()

111,

A.---B.-C.-D.1

232

11.(2023高考数学课标1理科)已知函数/(x)="3-3必+1,若/(%)存在唯一的零点为，且％>0,则a的

取值范围为()

A.(2,+8)B.(-8,-2)C.(1,+8)D.(-8,-1)

锦再例各龙考

函数与方程

T

判

零

零

零

断

点

点

点

函

二

的

存

的

分

数

定

在

判

法

零

义

断

性

点

定

的

理

方

法

类型一、判断函数零点所在区间

基础知识：

(1)函数零点的定义

对于函数>=於)，我们把使*x)=0的实数X叫做函数y=Kx)的零点.

(2)函数零点的判定(函数零点存在定理)

如果函数y=/(尤)在区间［a,句上的图象是连续不断的一条曲线，并且有脑)血)<0,那么函数y=式尤)在

区间(a,b)内有零点,即存在cd(mb),使得M)=0,这个c也就是方程式x)=0的根.

基础题型：

1、函数式无)=log3x+无一2的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

2.设函数Inx,则函数y=7(x)()

A.在区间弓，1),(1,e)内均有零点

B.在区间1),(1,e)内均无零点

C.在区间1)内有零点，在区间(1,e)内无零点

D.在区间1)内无零点，在区间(1,e)内有零点

基本方法：

确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法

(1)利用函数的零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是否连续，再看是否有

f(a)•f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

(3)函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不能判断不变号零点，而且连续

函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，不是必要条件，所以

在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行

分析判断。

类型二、判断函数零点的个数

基础知识：

函数零点存在定理：如果函数>=/(尤)在区间［a,句上的图象是连续不断的一条曲线，并且有如)醺)<0,

那么函数。=汽尤)在区间(。，6)内有零点,即存在ce(a,b),使得丘)=0,这个c也就是方程/(x)=0的根.

基本题型：

1、若定义在R上的偶函数兀0满足於+2)=兀0,当xe［0,l］时，兀0=尤，则函数>=式尤)一log3|x|的零点个数

是()

A.多于4D.4

C.3D.2

2、已知函数/0)(尤^即是奇函数且当；16(。，+8)时是减函数，若式1)=0,则函数—2|x|)的零点共有

()

A.4个B.5个

C.6个D.7个

3.已知函数八尤)是定义在R上的偶函数且满足人2—x)=«r),当尤e［0,2］时，/(x)=—V+Zx—1,则函数g(x)

=危)一log［(|R—1)的零点个数为()

3

A.0B.2C.3D.4

X2—2,x/0,

4、函数人r)=的零点个数是

2x—6+lnr,尤＞0

基本方法：

判断函数零点个数的方法

1.解方程法：若对应方程f(x)=O可解，则通过解方程，方程有几个解函数就有几个零点。

2.零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间［a,b］上是连续不断的曲线，而且f(a)・f(b)〈O,

还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点。

3.数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题。先画出两个函数的图象，两图象交点的个数,

就是函数零点的个数。

4.利用函数性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只

需求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可得函数的零点个数。

类型三、已知函数零点求参数范围

基本题型：

12•优一加，x>l,

1.已知函数«r)=、,其中。>0且aWl,若三加GR,使得函数加0有2个零点，则实数。

十ainj1,

的取值范围为()

A.(0,1)U(1,2)

B.(0,1)U(1,2)

D(0,加(2,+8)

C.(0,1)u(2,+8)

1_|_11x<o,

2.已知函数'若函数g(x)=2J(x)-2kx-l有三个零点,则实数k的取值范围为()

L|x-1|—1,

A［T,I)B(-8,一如&+8)c",I)D.［磊u［o,5)

3、设函数五元)=log2(2*+l),g(x)=log2(2i—1),若关于尤的函数F(x)=g(尤)一Hx)一根在［1,2］上有零点，则实

数相的取值范围为。

基本方法:

由函数零点个数或所在区间求参数的方法

1、直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围；

2、分离参数法：先将参数分离，然后将原问题转化成求函数值域的问题加以解决

3、数形结合法：将函数解析式(方程)适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差，在同一

平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质及图象求解。

类型四、嵌套函数的零点问题

基本题型：

[|lg(—x)|,x<0,

1、己知函数兀D={3/一、八若关于尤的函数y=/(尤)一帙x)+l有8个不同的零点，则实数b的

3

.x—6元+4,

取值范围是(

A.(2,8)2,

D.(2,8]

x

(2+2〉

----1o

2.已知函数兀x)=<2''则函数P(x)=A/(x))—]的零点个数是()

J10g2(X—1)|,X>1,

3.(多选淀义域和值域均为La,a](常数a>0)的函数y=/(x)和y=g(x)的图象如图所示，则下列说法正确

的有()

A.方程y(g(x))=。有两正数解和一负数解

B.方程g(/(x))=O最多只有二个解

C.方程内(x))=0可能存在五个解

D.方程g(g(x))=O有且仅有一个解

基本方法：

对于一般的“y=f(g(x))”的函数的零点问题，解答步骤是：

①换元解套，令t=g(x),则y=f(t),从而将一个复合函数的零点问题拆解为两个相对简单的函数

t=g(x)和y=f(t)的零点问题；

②依次解方程，令f(t)=O解出t的值，然后代入方程g(x)=t中解出x的值。而由含参嵌套函数方

程引起的参数范围问题，在上述解题要诀的基础上，让含参的值动起来，动静结合、数形结合、抓临界位

置进行求解。

类型五、函数的零点与方程的根、函数图象交点互相转化

基础知识：

几个等价关系：方程式x）=0有实数根㈡函数y=/U）的图象与x轴有交点0函数>=4尤）有零点.

基本题型：

1.已知方程/+0—2）尤+5—力=0的一根在区间（2,3）内，另一根在区间（3,4）内，则根的取值范围是（）

A.（-5,-4）B.（一号，-2）

C（一号一4）D.（-5,-2）

2''若存在实数6,使得关于龙的方程大尤）=6有三个不同的根，则实数机

x,x>m,

的取值范围是（）

A.（0,2）B.（-8,-2）U（0,2）

C.（-2,0）D.（-2,0）U（2,+8）

3.若函数y=/（尤）（xeR）满足y（x+4）=Xx）,且尤e（—2,2]时，则函数y=«x）的图象与函数y=lg|x|

的图象交点个数为（）

A.4B.6

C.8D.10

[x2,尤G[0,1],x

4.已知定义在R上的奇函数式尤），当xG[0,+8）时满足兀0=",、则方程八尤）一5=0

用一1）,%e（i,+°°）,2

的解的个数为.

5.已知y=#x）是定义域为R的奇函数，当xd[0,+8）时,大尤）=幺一2乂若方程_/（x）=a恰有3个不同的解，

则实数a的取值范围为.

基本方法：

求函数多个零点（或方程的根）的和的策略：求函数的多个零点（或方程的根以及直线y=m与函数图象的多

个交点横坐标）的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征（这里的对称性主要包括函数本身关于点的

对称、直线的对称等）.

新登例破;t港

1.方程2*=2—尤的根所在区间是（）

A.（-1,0）B.（2,3）C.（1,2）D.（0,1）

2.下列函数在区间（一1,1）内有零点且单调递增的是（）

A.y=0.3，—gB.>=/+1

C.y=log](一%)D.y=y~l

3

3.已知关于x的方程以+6=2%在区间(1,2)内有解，则实数。的取值范围是()

A.(-4,-1)B.[-4,-1]

c1-2，-£jD.[-2,

[inx>0,

4.函数兀0=.「的零点个数为()

[2x十1j0

A.0B.1C.2D.3

5.设函数八工)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/U)=e%+x—3,则1工)的零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

2

6.已知八%—2)=lnx—丁且兀io)=O,则为所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(4,5)

7.函数加)=ln尤+x—/则函数加)的零点所在区间是()

B.&{IcQ,1)D.(1,2)

8.(多选)若函数y=/(x)在区间[a,句上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法错误的有()

A.若池型)>0,则不存在实数ce隅，纵使得_/(c)=0

B.若八4加6)<0,则存在且只存在一个实数ce[a,包，使得犬c)=0

C.若近〃求6)>0,则可能存在实数ce[a,C使得大c)=0

D.若危1求6)<0,则可能不存在实数ce[a,6],使得的)=0

9.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：”今有垣厚五尺，两鼠对穿,

大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢.”翻译过来就是：有五尺厚的墙，两

只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几

天后两鼠相遇.这个问题体现了古代对数列问题的研究.现将墙的厚度改为200尺，则至少需要多少天时

间才能打穿？()

A.6B.7C.8D.9

j210g2%,

10.函数五%)=V(x+1),x<\,若方程7(x)=—2X+M有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范

围是()

A.(―00,4)B.(一8,4]

C.(-2,4)D.(-2,4]

11.已知定义在R上的奇函数y=/U),对任意的x£R都有人1+工)=/(1—x),当一lWxvO时,

y(x)=k)g2(—%),则函数ga)=/a)—2在(o,8)内所有零点之和为()

A.6B.8

C.10D.12

log4(X—1),X>L

12.若函数式x)=存在2个零点，则实数机的取值范围为()

—y—m,xWl

A.[-3,0)B.[-1,0)C.[0,1)D.[-3,+8)

a-2x,xWO,

13.已知函数«r)=若关于x的方程/W刈=0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是

log2X,X>0,

)

A.(一8,o)B.(—8,O)U(O,1)

C.(0,1)D.(0,1)U(l,+oo)

1

x+~,xWO,

14.设函数«x)=<g(x)=PW]2+好⑴+c,如果函数g(x)有5个不同的零点，则()

、0,x=0,

A.Z?<—2且c>0B.b>~2c<0

C.b<—2且。=0D.后一2且c>0

2^-1|-1,0<xW2,

+8)上的偶函数,当时,危)=._

15.已知函数式x)是定义在(一8,0)U(0,x>02),x>2,则函数

g(x)=4/U)—1的零点个数为()

A.4D.6

C.8D.10

一2,x>0,

16.已知函数/(x)=若式0)=—2,7(—1)=1,则函数g(x)=fix)+x的零点个数为

—j^+bx+cf

17.方程2工+3尤=%的解在[1,2)内，则％的取值范围是o

18.已知函数£x)=|/—3x—4|一a有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是.

sin3x£[0,2],

19.函数段)=<1若关于x的方程兀r)=m(m<0)有且只有两个不相等的实根Xl，X2,

戏一2),xe(2,+°0).

则XI+%2的值是.

[a,aWb,

20.对于任意实数a,b,定义min{6z,b}=\函数«x)=—ex+2e,g(x)=e"/z(x)=min伏x),g(x)},

\b,a>b,

若函数Q(x)=h(x)~k有两个零点，则k的取值范围为.

21、设是周期为4的周期函数，且当无e(—1,3］时，A，1QW1'若函数g(x)=37U)

ll-|x-2|,1<XW3,

一尤有且仅有五个零点，则正实数机的取值范围为.

2023高考一轮复习讲与练

12函数与方程

稼龙考明方向

1.(2023,新高考I卷T1O)(多选题)已知函数/(X)=V—X+1,则()

A./⑴有两个极值点B.八尤)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(无)的切

线

答案：AC

【解析】

分析：利用极值点的定义可判断A,结合Ax)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；

利用导数的几何意义判断D.

【详解】由题，/'(x)=3f—1,令广⑴>0得工〉*或x<_g,令/'(x)<0得

A/3

----<x<

3V

所以/(x)在(_上单调递减，在(-GO,-,+oo)上单调递增，所以

x=±g是极值点，故A正确；因/(—#)=1+孚〉0，/(岑)=1—孚〉0，

/(-2)=-5<0,所以，函数〃可在一双―#］上有一个零点，当会日时，

y(x)>yf^>o,即函数了(九)在g，+s上无零点，综上所述，函数/⑴有一个零

点，故B错误；令丸(x)=d-%,该函数的定义域为R,

h(-x)=(-X)3-(-x)=-%3+x=-A(%),则领X)是奇函数，(0,0)是/i(x)的对称中心，

将/Z(x)的图象向上移动一个单位得到/(x)的图象，所以点(0,1)是曲线>=/(尤)的对称中心,

故C正确；

令/■'(%)=3V—1=2,可得％=土1,又/⑴=/(—1)=1,当切点为(1,1)时，切线方程

为y=2x—1,当切点为(—1,1)时，切线方程为y=2x+3,故D错误.

2.(2023•全国乙(文)T20)已知函数/(x)=以―，—(a+l)lnx.

X

(1)当4=0时，求，(%)的最大值;

(2)若/(x)恰有一个零点，求。的取值范围.

答案：(1)-1(2)(O,4w)

【解析】

分析：(1)由导数确定函数的单调性，即可得解；

(2)求导得广(力=回二沙二11,按照。40、0<。<1及结合导数讨论函数的单

X

调性，求得函数的极值，即可得解.

【小问1详解】

当a=0时，f(%)=----Inx,x>0,则/=-----=——,

XX"XX

当xe(O,l)时，/(%)单调递增；当尤e(l,+x)时，/,x)<0,/(九)单调

递减；

所以"x)a="l)=T；

【小问2详解】

/(x)=ax---(a+l)lnx,x>0,则,(x)=a+士•一"L@~雪上也，

xxxx~

当aVO时，ax-l<0,所以当xe(O,l)时，f^x)>0,〃尤)单调递增；当xw(l,a)

时，/^x)<0,单调递减；所以/(x)1s=/'⑴=a—1<0,此时函数无零点，不

合题意；

1,在（0』）,1—,+°°）上,

当0VQ<1时,—>/")>0,单调递增；在上,

a

/(无)单调递减；X/(l)=«-l<0,当x趋近正无穷大时，/(元)趋近于正无

x-1）2

穷大，所以/(X)仅在,+ooI有唯一零点,符合题意；当a=1时，—(1)二—y^->0'

X

所以/(九)单调递增，又/1(Iba—1=0,

所以/(%)有唯一零点，符合题意；当。>1时，-<1,在(0,工1

,（L+℃）上，f^x）>0,

aa

单调递增；在f\x)<0,单调递减；止匕时/(l)=a—1>0,又

一〃〃+〃(a+1)In。，当〃趋近正无穷大时，f7趋近负无穷，所以/(九)

在U有一个零点，在G'+s］无零点，所以〃龙)有唯一零点，符合题意；

综上，0的取值范围为(0,”).

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问

题转化为函数的单调性与极值的问题.

3.(2023•全国乙(理)T21)已知函数〃x)=ln(l+x)+axer

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

⑵若"％)在区间(―1,0),(。,+8)各恰有一个零点，求〃的取值范围.

答案：(1)y=2x⑵(^o,-l)

【解析】

分析：(1)先算出切点,再求导算出斜率即可

(2)求导，对。分类讨论，对x分(-1,0),(0,”)两部分研究

X

【小问1详解】"X)的定义域为(―1,内)当a=1时,/(x)=ln(l+x)+y,/(0)=0,所以切

e

点为(0,0),/'(X)=」一+二,/'(0)=2,所以切线斜率为2,所以曲线y="x)在点

1+xe

(0,7(0))处的切线方程为y=2%。

【小问2详解】/(x)=ln(l+x)+^,/(x)=，+^^=-+a(l-x?),设

e1+xex(l+x)e¥

g(x)=e*+a(l-龙之)

1。若a>0,当xw(—l,0),g(x)=eX+a(l—f)>o,即f\x)>Q

所以/a)在(-i,o)上单调递增,/(x)<f(o)=o,故fM在(-i,o)上没有零点，不合题意

2°若一啜-0,当Xe(0,+oo)，则g(X)=e'—2取>0

所以g(x)在(0,+8)上单调递增所以g(x)>g(0)=1+a.0,即f'(x)>0

所以/(%)在(0,+8)上单调递增,/(%)>/(0)=0,故/(x)在(0,+8)上没有零点，不合题意

3°若

(1)当xe(0,+8)，则g\x)=e*—2奴〉0,所以g(x)在(0,+oo)上单调递增，

g(0)=1+«<0,g⑴=e>0

所以存在mG(0,1)，使得g(m)=0,即f'(m)=0

当xe(0,7〃),/'(x)<0,/(x)单调递减。当xe(7〃,+co),/'(x)〉0"(x)单调递增

所以当xe(O,m),f(x)</(O)=0,当xf+oo,/(尤)f+<»

所以/(x)在(加,+◎上有唯一零点，又(0,加)没有零点，即/⑴在(0,+co)上有唯一零点

(2)当xe(-1,0),g(无)=e*,设7z(x)=g'(x)=e*-2or,A(%)=el-2a>0

所以g'(x)在(—1,0)单调递增，g(-l)=-+2«<0,^'(0)=l>0,所以存在〃e(—1,0),使

e

得g'(m=。

当X£(-1,〃),g\x)<0,g(x)单调递减，当九£(〃,0),g(X)>0,g(元)单调递增，

g(x)<g(0)=1+a<0,又g(—1)='〉o,所以存在te(-1,ri)，使得g⑺=0,即f'(t)=0

e

当xe(-lj),/(x)单调递增，当xeG,O),/(x)单调递减，有xf—1,y(x)f-<o

而/(0)=0,所以当xe«,0),/(无)>0,所以在(-1,0上有唯一零点,0)上无零点

即了⑺在(-1,0)上有唯一零点,所以。<-1，符合题意

所以若于(x)在区间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求。的取值范围为(f,—1)

【点睛】方法点睛：本题的关键是对。的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要

说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.

4.(2023•北京高考)已知八无)=|lgx|一日一2,给出下列四个结论：

(1)若左=0,则八劝有两个零点；(2)三%<0,使得"r)有一个零点；

(3)3^<0,使得人尤)有三个零点；(4)三女>0,使得五尤)有三个零点.

以上正确结论的序号是.

答案：⑴⑵⑷

【解析】f(x)=Ilgx|—"X—2,可转化成两个函数力=11g削，及=履+2的交点问题.对

于(1),当4=0时，|lgx|=2,有两个交点，如图a所示，(1)正确；对于⑵，存在4<0,

(2)正确;

对于(3),若4<0,力=Ilgx|与％=4x+2最多有2个交点，如图c所示，⑶错误;

对于(4),当4>0时，过点(0,2)存在函数g(x)=lgx(x>l)的切线，此时共有两个交点，

当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，如图d所示，故(4)正确.

5.(2023年高考数学课标全国II卷理科)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上

首次月球背

面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术

问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥

沿着围绕地月拉格朗日4点的轨道运行.4点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地

球质量为月球质量为加2,地月距离为R，4点到月球的距离为人根据牛顿运动定

律和万有引力定律，r满足方程：一+4=.设1=由于。的值很小，

+产')R3R

因此在近似计算中十：口x3a3,则r的近似值为()

(1+a)

【解析】由《=二得=将其代入到」+牛=(R+r)空■中，可得

R(7?+r)2,I'N

MM3a+3tz4+oc'

2所以2(1辿乜2a3a3故

X(1+a)2

【点评】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立a的方程，解方

程、近似计算.题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，

注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查.由于本题题干较长，所以，易错

点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错.

ex,(x<0)

6.(2023年高考数学课标卷I(理))己知函数/(x)=1''，8(1)=/(1)+%+4.若

lnx,(x>0)

g(x)存在2个零点，则。的取值范围是()

A.[—1,0)B.[0,+co)C.[—1,+co)D.[l,+oo)

答案：C

解析：由g(x)=0得/(%)=—%—。，作出函数/(x)和y=—x—a的图象如图

当直线y=—x—。的截距—即。2―1时，两个函数的图象都有2个交点，即函

数g(x)存在2个零点，故实数。的取值范围是［-1,+8),故选C.

7.(2023年高考数学新课标I卷理科)设苍y,z为正数，且2'=3y=51则()

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yc.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

答案：D

XyZ

【解析】令2=3=5=k,贝ij%=log2k,y=log3k,z=log5k,

2x=2lgk_Jg3_=lg9>1

3y—lg2,31gk~lgS，

则2x>3y,在=^^・^-=以<1,则2x<5z,故选D.

5zlg251g左lg32

【点评】对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,在用这个常数表示出对应的

x,y,z,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是

换底公式和。与1的对数表示.

8.(2023•全国〃7高考理科•T15)函数/(x)=cos(3x+弓)在［0,诃的零点个数为.

答案：3

【解析】令F(x)=cos(3x+£)=0,得叮,即产：+)兀，当A=0时，产*［0,兀］，当

时，产等£［0,兀］“2时，产-£［0,E所以F(x)=cos(3x+J在［0,兀］上零点的个数为3.

9.(2023•天津高考•T14)已知a〉0,函数f(x)孑了攀二眈叫若关于天的方程尔

l-xz+2ax-2a,x>0.

恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.

答案:4〈a<8

【解析】可画出函数f(x)的草图，因为函数f(x)的图象不关于原点对称,而直线产ax关于原

点对称,所以只有当直线与左右两侧的图象一个有两个交点,一个没有交点才符合题设要求.

联立产x?+2ax+a与y=ax,消去y得：9+"+2=0,/i=a"4a;同理/2=a2-8a;

依题意得：小>0且/《0或/<0且42>0,解得4〈水8.

10.(2023年高考数学课标III卷理科)已知函数/(%)=炉-2%+4(j1+/'+1)有唯一零点，

则。=()

111,

A.-----B.—C.—D.1

232

答案：C

【解析】法一：/(%)=0x2-2x=-a(ex-x+,设g(x)=ex-l+^-x,

2(1)_1

g'(x)=靖7~——当g'(x)=。时，x=l,当x<l时，g'(x)<0,函数g(x)

单调递减；当X>1时，g'(x)>o,函数g(x)单调递增，当X=1时，函数取得最小值

g⑴=2,设/z(x)=*—2x,当％=1时，函数取得最小值—1,若—a>0,函数〃(%)和

ag(龙)没有交点，当一a<0时，-ag(l)=/z(l)时,函数/z(x)和ag(龙)有一个交点，即

—ax2=-1,所以。=,，故选c.

2

法二：由条件，/(x)=x2—2x+a(exT+er+i),得

"2—x)=(2—2(2—x)+〃(/…+/—Hi)

2xl

_4%+”4+2%+《/f+C%T)-X-2x+a{{e~+/-")所以/(2-x)=/(x),

即x=l为/(尤)的对称轴，由题意，/(幻有唯一零点，.../(%)的零点只能为X=1即

/(1)=12-2-1+a(e-i+e-1+1)=0解得a=；.

【考点】函数的零点;导函数研究函数的单调性,分类讨论的数学思想

11.(2023高考数学课标1理科)已知函数/(乃=依3一3炉+i,若/⑺存在唯一的零点X。，

且0〉0,则a的取值范围为()

A.(2,+8)B.(-8,—2)C.(1,+8)D.(-8,—1)

答案：B

2

【解析】法一：由已知〃。。，/'(%)=3〃九2一6%，令/(%)=0,得x=0或%=一，

a

当〃>0时，X£(—8,0)"'(X)>0；X£[o,[J"'(X)<0；X£[I,+00),/'(X)>0；

且/(0)=1>0,/(%)有小于零的零点,不符合题意.

当a<0时，XG(一8,力，/'(x)>0;XG(0,+co),/f(x)<0

要使/(x)有唯一的零点/且与〉0,只需/(2)>0,即标>4,a<—2.选B

a

2911

法二：由已知aW0,/(%)=63—3%2+1有唯一的正零点,等价于。=3-----有唯一

XX

的正零根，

1.2

令/=—，则问题又等价于a=~e+3t有唯一的正零根，即y=a与y=—/+3%

有唯一的交点且交点在在y轴右侧记于⑴=+3t,尸⑺=一3『+3,

由广⑺=0,t=+l,rG(-X),-1),f'(t)<0；rG(-1,1)