2024年高考数学试题分类汇编：复数和平面向量

复数和平面向量

一、单选题

7

1.（2024•全国）若一^1+i,则z=（）

z-1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

2.（2024•全国）已知向量4=（0,1）,b=（2,x），若Z?_LS-4〃），则％=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2024.全国）已知z=—l—i,则|z|=（）

A.0B,1C.72D.2

4.（2024•全国）已知向量a,b满足同=1,卜+2+2，且仅一21“，贝州=（）

B.在c.B

A-—2D.1

22

5.（2024・全国）设z=V2i,贝！Jz.N=（）

A.-iB.1C.-1D.2

6.（2024•全国）设z=5+i,则i（z+2）=（）

A.10iB.2iC.10D.-2

7.（2024•全国）已知向量。=（x+l,x）,>=（尤,2），贝（］（）

A.“x=-3”是“aVb”的必要条件B.“x=-3”是“aIlb”的必要条件

C.“x=0”是“a_Lb”的充分条件D.“x=T+石"是，//”的充分条件

7

8.（2024.北京）已知；=i-l,贝h=（）.

1

A.1-iB.-iC.-1-iD.1

9.（2024.北京）已知向量a,b，贝厂（。+。）（。一°）=°”是%或”=4”的（）条件•

A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件

C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题

10.（2024.天津）已知i是虚数单位，复数即+i）•（石-2i）=.

11.（2024.天津）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段8的三等分点，

1uuruiruurn

=及2石=彳&1+〃2。，贝[]2+〃=，•若/为线段座上的动点，G为"中点，则

AFDG的最小值为.

12.（2024.上海）已知上eR,a=（2,5）,石=（6,左）,且。//匕，则左的值为.

2

13.（2024.上海）已知虚数z,其实部为1,且z+—=相（相€可，则实数加为

Z

参考答案：

1.C

【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.

-7—1+111

【解析】0^—=^—=1+—=l+i，所以z=l+：=l-i.

z-1z-1z-l1

故选：C.

2.D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求苫的值.

【解析】因为必［-甸，所以6・伍-甸=。,

所以6-4a力=0即4+f—4x=0,故无=2,

故选：D.

3.C

【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.

【解析】若Z=T-i，则目=J（T）2+（T）2=VL

故选：C.

4.B

【分析】由得7=2a-b,结合W=1,卜+2'=2，得l+4a.b+4片=1+6片=4,

由此即可得解.

【解析】因为伍-22）。，所以仅-2“”=。,即片=2”吆,

又因为忖=1,卜+2@=2,

所以1+4〃•Z?+4/?2=1+6Z?2=4,

从而w=q.

故选:B.

5.D

【分析】先根据共轨复数的定义写出三,然后根据复数的乘法计算.

【解析】依题意得，z=-&i,故zz=-2?=2.

故选：D

6.A

【分析】结合共辗复数与复数的基本运算直接求解.

【解析】由z=5+i=>z=5—i,z+z=10，则iW+z)=10i.

故选：A

7.C

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【解析】对A,当时,则a.6=0,

所以x-(x+l)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，。=(1,0),6=(0,2),故,

所以a_Lb,即充分性成立，故C正确；

对B,当。//6时，则2(x+l)=d,解得x=l土石,即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=T+«时，不满足2(x+1)=*,所以a//%不成立，即充分性不立,故D错误.

故选：C.

8.C

【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.

【解析】由题意得z=i(i-=,

故选：C.

9.A

【分析】根据向量数量积分析可知（。+4（a"）=0等价于|4=M，结合充分、必要条件分

析判断.

【解析】因为（4+今（&一力=。2-尸=0，可得/=片，即同=W,

可知（。+今（。一。）=。等价于hl=W,

若0=6或0=,可得同=M,即（。+今（"6）=0,可知必要性成立；

若（0+今,-6）=0,即同=W,无法得出"=>或a=4,

例如a=。,0）力=（0,1）,满足同=卜|，但a"且a〜,可知充分性不成立；

综上所述，“（。+孙（&-4=0”是"a"且"-b，，的必要不充分条件.

故选：A.

10.7-底

【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.

[解析]（A/5+i）-（^-2i）=5+>/5i-2^+2=7-751.

故答案为：7=后.

11.1-A

318

【分析】解法一：以｛m，3口为基底向量，根据向量的线性运算求3E,即可得几+〃,设

uuuUU1uuuUUL1

8尸=4跳？，求AF,DG,结合数量积的运算律求AGDG的最小值；解法二：建系标点，根

,、1UUUUUUL

据向量的坐标运算求8E，即可得4+〃，设*a,-3a）,ae--,0,^AF,DG，结合数量积

的坐标运算求AFDG的最小值.

1uur2^uuruimuuriutrUUK

【解析】解法一：因为,即CE=]2A,^\\BE=BC+CE=-BA+BC,

i4

可彳导,所以4+〃=£;

由题意可知：\BC\=\B^=I,BA-BC=0,

因为尸为线段BE上的动点，设BF=kBE=gkBA+kBC,ke[0,1],

贝[]AF=+=AB+左=左一“BA+左BC,

又因为G为AF中点，贝+++,

可彳导AF.£）G=\^k-\\BA+kBC■JBA+I1）t-ljfiC

又因为ke[0,l],可知：当上=1时，AQDG取到最小值-亮；

解法二：以8为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示,

则4（-1,0）,2（0,0）,0（0,1）必-1,1）,小一（，1）,

可得BA=（T0）,2C=（0,l）,BE=—,lj,

-2=-l4

因为3E=4R4+〃3C=（T,〃），则3,所以2+〃=可；

〃=1

因为点尸在线段BE：y=-3x,xe-1,0上，设F（a,-3a）,ae-1,0

且G为"中点，则■，-口），

可彳导4月=（。+1,-3a）,DG=-1],

贝！]Ap.£）G