2023年高考数学复习训练：立体几何中的位置关系及截面问题（解析版）

专题13立体几何中的位置关系及截面问题

【高考真题】

1.（2022•全国乙理）在正方体A8CD-中，E,尸分别为AB,8c的中点，则（）

A.平面8产尸_L平面B.平面平面&应）

C.平面3声/〃平面ApeD.平面8产尸〃平面AQ。

1.答案A解析在正方体中，AC,即且“>一平面ABCD,又跖U平面ABCD,

所以因为E*分别为AB,BC的中点，所以EF||AC,所以又所吗=£>,所

以平面庞>2,又跖u平面8/尸，所以平面平面BLR,故A正确；如图，以点。为原

点，建立空间直角坐标系，设A8=2,则

q（2,2,2）,E（2,1,0）,尸（1,2,0）,8（2,2,0）,&（2,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,C（0,2,2）,贝《

EF==（0,1,2）,DB=（2,2,0）,£）4=（2,0,2）,A4；=（0,0,2）,AC=（-2,2,0）,AC=（-2,2,0）,

设平面8EF的法向量为机=Qyq）,则有Iff=一公+/1=:，可取〃?=（2,2,-1）,同理可得平面

1111\m-EB、=%+2Z[=0

4皮）的法向量为&=（1,-1,-1）,平面A^AC的法向量为々=（1』,0）,平面Afi。的法向量为〃3=（L1,T）,

则W=2-2+l=lw0,所以平面4与平面A/。不垂直，故B错误；因为根与时不平行，所以平

面耳跖与平面々AC不平行，故C错误；因为"与纵不平行，所以平面5/尸与平面不平行，故

D错误，故选A.

1.直线、平面平行的判定及其性质

（1）线面平行的判定定理：aUa,bua,a//b=>a//a.

（2）线面平行的性质定理：a//a,au0,aCB=b=a〃b.（3）面面平行的判定定理：a^p,buaaCb=P,

alla,b//a=>a//p.

(4)面面平行的性质定理：a///3,aC\y=a,/3P\y=b^a//b.

平行问题的转化

面面平行的列定

我线级而平柠的判定」线面[面面平行的判定.面面

线面平行的桂拜|平行|

平行而面平行的性质平行

面面平行的性质利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行

关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；

而应用性质定理时，其顺序正好相反.在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活

运用.

平行关系的基础是线线平行，证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三

条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线

段的比例关系证明线线平行；五是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.

2.直线、平面垂直的判定及其性质

(1)线面垂直的判定定理：mc«,nca,mC\n=P,l.Lm,/_L〃=/_La.

(2)线面垂直的性质定理：a_La,b：a=a〃b.

(3)面面垂直的判定定理：au£,a_La=a_L£.

(4)面面垂直的性质定理：a，｝aCB=l,aca,aLl^aLp.

垂直问题的转化

面面垂直的判定

线线线,而圣真的判定J蛟而|面面圣■克的判定面面

*.1线而垂直的性质I垂直I面面垂直的性质垂直

面面垂直的性质在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既

可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时，

一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直

问题，进而可转化为线线垂直问题.

垂直关系的基础是线线垂直，证明线线垂直常用的方法：一是利用等腰三角形底边中线即高线的性质；

二是利用勾股定理；三是利用线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面

即可，/_La,auan/J_a.

3.确定截面的主要依据

用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形

状是解决截面问题的关键.

(1)平面的四个公理及推论.(2)直线和平面平行的判定和性质.(3)两个平面平行的性质.(4)球的截面

的性质.

【题型突破】

题型一简单位置关系的判断

1.(2020•浙江)已知空间中不过同一点的三条直线m,”，I,贝!]"比,力，I在同一平面”是“m,n,I

两两相交”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

1.答案B解析依题意机，〃，/是空间中不过同一点的三条直线，当机，〃，/在同一平面时，可能有

m//n//1,故不能得出％,n,/两两相交.当加，力，/两两相交时，设mCn=4,mCl=B,nCV=C,则

m,”确定一个平面a,而CGnua,所以直线3c即/ua,所以m,n,/在同一平面.综上

所述，“加，n,/在同一平面“是"加，n,/两两相交”的必要不充分条件.故选B.

2.（2019•全国口）设a,4为两个平面，则a〃夕的充要条件是（）

A.a内有无数条直线与夕平行B.a内有两条相交直线与£平行

C.a,夕平行于同一条直线D.a,夕垂直于同一平面

2.答案B解析若a〃P，则a内有无数条直线与夕平行，反之则不成立；若a,/平行于同一条直线，

则a与/可以平行也可以相交；若a,尸垂直于同一个平面，则a与A可以平行也可以相交，故A,C,

D中条件均不是a〃夕的充要条件.根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线

与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此，B中条件是a〃6的充要条件.故选B.

3.已知a,£表示两个不同平面，a,6表示两条不同直线，对于下列两个命题：

①若bua,a^a,则“。〃6”是“a〃a”的充分不必要条件；

②若aua,bua,则“a〃卢是"a〃•且6〃■”的充要条件.

判断正确的是（）

A.①②都是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①②都是假命题

3.答案B解析若bua,a<ta,a//b,则由线面平行的判定定理可得a〃a,反过来，若6ua,a<ta,

a//a,则a,6可能平行或异面，则6ua,aCa,"是"a〃a”的充分不必要条件，①是真命题；若

oca,bua,a〃夕，则由面面平行的性质可得a〃.，b//p,反过来，若aua,bua,a//p,b//p,则a,

£可能平行或相交，则aua,bua,则“a〃N是"a〃66〃£”的充分不必要条件，②是假命题，选项B

正确.

4.已知a,夕是空间两个不同的平面，加，〃是空间两条不同的直线，则给出的下列说法正确的是（）

（l）m//a,n//P，且机〃"，则a〃夕；@m//a,n//P，且力，则

③w_l_a,夕，且相〃"，贝!]a〃△；④〃_1_夕，且心_1_”，贝!Ja_l_夕.

A.①②③B.①③④C.②④D.③④

4.答案D解析对于①，当加〃〃夕，且心〃”时，有a〃6或a,夕相交，所以①错误；对于②，

当机〃a,n//P，且加时，有aJ_/或a〃£或a,£相交且不垂直，所以②错误；对于③，当ml.a,

nS-f},且时，得出心_1_夕，所以a〃夕，③正确；对于④，当机J_a,n邛,且加_1_"时，a_l_4成

立，所以④正确.综上知，正确的命题序号是③④.故选D.

5.已知机，”是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，给出四个命题：

①若0（（?£=加，〃ua,贝!Ja_L£；②若加_1_。，加_1_/，则a〃£；

③若m-Ln,则a_l_夕；④若m〃a,n//p,m//n,则a〃4.

其中正确的命题是（）A.①②B.②③C.①④

D.③④

5.答案B解析两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不

正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，

它们所成的二面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，

故④不正确.

6.（2020•全国II）设有下列四个命题：

①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；

②过空间中任意三点有且仅有一个平面；

③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；

④若直线/u平面口，直线机J_平面a,则机

则上述命题中所有真命题的序号是.（填写所有正确命题的序号）

6.答案①④解析①是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点

不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知①为

真命题；②是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；③是假命题，因为

空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；④是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，

那么它垂直于平面内的所有直线.从而①④为真命题.

7.（2019•北京）已知/,，"是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：

（D/_Lm；®m//a；（§）1-La.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.

7.答案若加〃a且/_La,贝>]/_1_能（或若/_Lm,/J_a,则心〃a）解析已知/,加是平面a外的两条不同

直线，由①/_!_机与②"?〃a,不能推出③因为/可以与a平行，也可以相交不垂直；由①/_L加与

③能推出②加〃a；由②加〃a与③/_La可以推出①故正确的命题是②③=①或①③=>②.

8.设Y是三个不同的平面，m,n是两条不同的直线，在命题"aC0=m,且,则m//n'

中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.

①a〃y,@m//y,n//p；③"〃夕，mUy.

可以填入的条件有.

8.答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当"〃夕，%uy时，〃和力在同一平面内，

且没有公共点，所以平行，③正确.

4C,

牛......

9.（多选）已知加，〃为两条不重合的直线，a,4为两个不重合的平面，则（）

A.若加〃a,n〃a//贝!J加〃〃B.若加_La,a_L£,贝!j加_L〃

C.若加〃m-La,n工0,则a〃夕D.若加〃mnA_a,a工B，则加〃a9.答案BC解析

由加，〃为两条不重合的直线，a,夕为两个不重合的平面，知：对于A,若加〃a,

n//P，all则加与〃相交、平行或异面，故错误；对于B,若加_La,n邛,a_L£,则由线面垂直、

面面垂直的性质定理得加_L〃，故正确；对于C,若m〃n,m±a,n邛,则由线面垂直的性质定理和

面面平行的判定定理得a〃W，故正确；对于D,若比〃”，«±a,a邛,则加〃夕或mu夕，故错误.故

选BC.

10.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可

换命题”.给出下列四个命题：

①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行;

④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是.(填序号)

10.答案①③解析由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真

命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可

换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；

因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题

题型二较难位置关系的判断(1)

11.(2019・全国ni)如图，点N为正方形4BCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD_L平面4BCD,M

C.BM=EN,且直线EN是异面直线D.BM丰EN,且直线3M,EN是异面直线

11.答案B解析如图，取CD的中点。，连接ON,EO,因为△£(?£)为正三角形，所以

又平面ECD_L平面48cD,平面ECDD平面/3CD=CD,所以EOJ_平面/8CZ).设正方形48cD的

边长为2,贝|]£。=5，ON=\,所以EN2=EO2+ON2=4,得EN=2.过河作CD的垂线，垂足为尸，

连接8P,则MP=坐,CP=|,所以5M2=儿团2+8尸2=(乎)2+(|)2+22=7,得BM=,，所以BM丰EN.连

接BD,BE,因为四边形/BCD为正方形，所以N为8。的中点，即EN,"8均在平面3OE内，所

以直线硒是相交直线.

DA12.(多选)在正方体/BCD—4*CQ]中，下列直线或平面与平面NCD]平行的是

()

A.直线4/B.直线C.平面/℃]D.平面&3CJ2.答案AD

解析如图，由且43c平面NCD],qcu平面NCD],故直线4潜与平面

NCq平行，故A正确；直线DD]与平面/CD]相交，故直线与平面相交，故

B错误；显然平面/℃]与平面4coi相交，故C错误；由/遂〃。«,/C〃/[J,且

AC^DXC=C,故平面//a与平面/CD1平行，故D正确.故选AD.

13.（2017・全国I）如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,

N,。为所在棱的中点，

则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（）

答案A解析A项,

作如图①所示的辅助线，其中。为2c的中点，则平面跖V0

=。，二。。与平面相交，，直线力8与平面MNQ相交.B项，作如图②所示的辅助线，则N3

//CD,CD//MQ,J.AB//MQ,又4BC平面脑V。，MQu平面ACV0,二/吕〃平面MVQ.C项，作如

图③所示的辅助线，则/B〃CZ）,CD//MQ,：.AB//MQ,又48仁平面MNQ,MQu平面MNQ,

〃平面WD项，作如图④所示的辅助线，则48〃C£>,CD//NQ,J.AB//NQ,又/3C平面MV0,

N0u平面MN0,平面MV0.故选A.

①14.已知点E,尸分别是正方

体48co—/向。。］的棱44］的中点，点M,N分别是线段。户与Cy

上的点，则满足与平面ABCD平行的直线“乂有（）

0条B.1条C.2条

D.无数条

14.答案D解析如图所示，作平面KSHG〃平面/BCD,C「,交平面KS〃G于点N,M,

连接MN,由面面平行的性质得〃平面ABCD,由于平面KSHG有无数多个，所以平行于平面ABCD

的有无数多条，故选D.

O4”15.如图所示，在正方体/2CDT1B£Z)1中，点O,M,N分别是线段&D,明,

QC1的中点，则直线

OM与AC,MN的位置关系是()

A.与NC,均垂直B.与NC垂直，与MV不垂直

C.与4C不垂直，与垂直D.与NC,均不垂直

15.答案A解析因为£>£)]，平面N8CD,所以NCLLDD],又因为/C_L8。，DD^BD=D,所以4C

，平面BDD/i，因为OMu平面BDDA所以0MLNC.设正方体的棱长为2,则。河=>/巾=小，

MN=\[T+i=y/2,ON=7rm=4,所以。跖+ACV2=ON2,所以。故选A.

16.如图，圆。所在的平面，48是圆。的直径，C是圆。上的一点，E,尸分别是点/在尸3,PC

上的射影，给出下列结论:

®AFLPB；②EF_LPB；®AFLBC；④4E_L平面P5c.

其中正确结论的序号是.

16.答案①②③解析由题意知处_L平面/5C,.•.B4_L8C.又AC上BC,且以C14C

=A,PA,AC

u平面为C,，台。，平面为C,：.BC±AF.'：AF±PC,ABCHPC=C,BC,PCu平面尸3C,：.AF

_L平面尸3C,J.AFLPB,又AE_LPB,AEC\AF=A,AE,4Fu平面4EF,平面：.PB.L

EF.故①②③正确.

17.如图，是圆锥SO的底面圆。的直径，。是圆O上异于N,8的任意一点，以49为直径的圆与

4D的另一个交点为C,尸为Q的中点.现给出以下结论：

①为直角三角形；②平面S4DL平面SBD；③平面PAB必与圆锥SO的某条母线平行.

其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）.

17.答案①③解析如图，连接OC,底面圆O,.•.SOL/C,C在以40为直径的圆上，二/C

_LOC,•；ocnso=。，平面SOC,/C_LSC,即AS4c为直角三角形，故①正确；假设平面1sL4。

，平面S3。，在平面S4D中过点/作/H_LS。交SD于点H,则平面SB。，入BD

±AD,，8。_1平面5/。，XCO//BD,...COJ_平面&4。，：.CO±SC,又在ASOC中，SO±OC,在

一个三角形内不可能有两个直角，故平面平面S3。不成立，故②错误；连接。。并延长交圆O

于点E,连接尸O,SE,•.•尸为SD的中点，。为匹的中点，是ASDE的中位线，.,.PO//SE,

即SE〃平面以瓦即平面E48必与圆锥SO的母线SE平行.故③正确.故正确是①③.

18.如图所示，直线以垂直于。。所在的平面，△NBC内接于。。，且48为。。

的直径，点M为线段

PB的中点.现有结论:①尸C；②（W〃平面APC-,③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其

中正确的是（）

①②B.①②③C.①

18.答案B解析对于①，：处J_平面N8C,，〃，夕。，•.23为。。的直径，.•.3CL4C,

=4...BUL平面以C,又PCu平面以C,：.BC±PC；对于②，：点M为线段P8的中点，：.OM

〃为，平面A4C,OW平面为C,，。四〃平面为C；对于③，由①知8CLL平面为C,...线段

3c的长即是点8到平面HC的距离，故①②③都正确.

19.（多选）已知四棱台48CD-4&C］。］的上、下底面均为正方形，其中NB=2@,A】B尸木,AA{

=BB=CC=2,则下列叙述中正确的是（）

A.该四棱台的高为0B.44JCC］

C.该四棱台的表面积为26D.该四棱台外接球的表面积为16兀

19.答案AD解析由棱台的性质，画出切割前的四棱锥，如图所示.由于/8=2皿，可

知△"］居与AS48的相似比为1：2,则SA=2AA=4,AO=2,则50=2/，则。。］=<5,故该四

棱台的高为力，A正确；因为S4=SC=/C=4,则44］与的夹角为60。，不垂直，B错误；该四

棱台的表面积为S=S=+S,+S®=2+8+4x（艰］2*）x卑=10+6巾,c错误；由于上、下

上底下底侧2ZY

底面都是正方形，则四棱台外接球的球心在OO］上，在平面3/。0］中，由于BXO=\,

则O8］=2=O2,即点。到点3与点用的距离相等，则四棱台外接球的半径r=。2=2,故该四棱台

外接球的表面积为16兀，D正确.故选AD.

20.（多选）如图，在以下四个正方体中，直线N8与平面C0E垂直的是（）

20.答案BD解析在A中，48与CE的

夹角为45。，所以直线与平面CDE不垂直，故不符合题

意；在B中，ABLCE,ABIDE,CECDE=E,所以平面CDE,故符合题意；在C中，4B与

EC的夹角为60。，所以直线48与平面CDE不垂直，故不符合题意；在D中，ABLDE,AB±CE,

DECCE=E,所以N3_L平面CDE,故符合题意.故选BD.

题型三较难位置关系的判断（2）

21.将正方体的纸盒展开如图，直线。在原正方体的位置关系是（）

B.垂直C.相交成60。角D.异

面且成60。角

21.答案D解析如图，直线48,C。异面.因为CE〃AB,所以/EC。即为异面直线CD所成

E

的角，因为ACDE为等边三角形，故/ECD=60。.

22.如图是一个正方体的平面展开图.在这个正方体中，①3M与即是异面直线；②CN与BE平行;③

CN与3M成60。角；④。M与垂直.

以上四个命题中，正确命题的序号是.

①②③④解析由题意画出该正方体的图形如图所示，连接BE,

③，连接/N,易得AN〃BM,ZANC=60°,所以CN与8河成60。角，所以③正确；对于④，易知

平面BCN,所以正确.

，B23.如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G,H,M,N分别为DE,

BE,EF,EC的中点，

在这个正四面体中：

①GH与EE平行;②8。与"N为异面直线；③G”与"N成60。角；④。£与九W垂直.

以上四个命题中，正确命题的序号是.

BHENC23.答案②③④解析把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为

异面直线，BD与MN

为异面直线，GH与MN成60。角,DELMN.

A(B,C)

24.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形为正方形，E,尸分别为此，的

中点，在此几

何体中，给出下面4个结论:

①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线4F异面；③直线EF〃平面

PBC-,④平面3CE，平面RD其中正确的有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

24.答案B解析将展开图还原为几何体（如图），因为E,尸分别为R1,尸。的中点，所以EF〃AD〃

BC,即直线BE与CF共面，①错；因为平面F4D,EG平面以D,EtAF,所以3E与/尸是异面

直线，②正确；因为EF〃AD〃BC,EFB平面PBC,BCu平面P2C,所以所〃平面PBC,③正确；

平面E4D与平面8CE■不一定垂直，④错.故选B.

25.如图，在正方形N8CZ）中，E,尸分别是8C,CD的中点，G是EF的中点，现在沿4E,/尸及EF把

这个正方形折成一个空间图形，使8,C,。三点重合，重合后的点记为〃，那么，在这个空间图形

中必有（）

ZG_L平面EFHB.4H'_L平面斯HC.HF!

平面4E■尸D.HGL^-^AEF

25.答案B解析根据折叠前、后AH_LHE,AH_LHF不变,得平面EFH,B正确；二•过/只有

一条直线与平面£7阳垂直，；.A不正确；：/G_L£F,ETUGTf,AGPiGH=G,：.EF±^HAG,又

EFu平面/EF,.•.平面出G_L4EF,过H作直线垂直于平面4E尸，一定在平面/Z4G内，；.C不正确；

由条件证不出"G_L平面4EF,；.D不正确.故选B.

26.（多选）如图，以等腰直角三角形/3C的斜边8c上的高AD为折痕，翻折和△NCD,使得平面

上平面NCZ）.下列结论正确的是（）

BDLACB.ABAC是

等边三角形

C.三棱锥。一/2C是正三棱锥D.平面4DC_L平面48c

26.答案ABC解析由题意易知，2£）_L平面/ZJC,又/Cu平面4DC,故BD_LAC,A中结论正

确；设等腰直角三角形/8C的腰为a,则8C=虚a,由A知8。，平面NOC,CDu平面NDC,...B。

LCD,又...由勾股定理得8C=建x¥“=a,.•./8=/C=BC,则△民4c是等边三角

形，B中结论正确；易知DA=DB=DC,又由B可知C中结论正确，D中结论错误.

27.如图，在直角梯形/8CD中，BCLDC,AELDC,且E为CD的中点，M,N分别是8E的中点，

将沿NE折起，则下列说法正确的是.（写出所有正确说法的序号）

B①不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有ACV〃平面DEC；

②不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MNLAE；

③不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN//AB-,

④在折起过程中，一定存在某个位置，使ECL/D

27.答案①②④解析由已知，在未折叠的原梯形中，AB//DE,BE//AD,所以四边形48EO为平行

四边形，所以3E=4D,折叠后如图所示.①过点“作交4E于点尸，连接NP.因为”,

N分别是ND,3E的中点，所以点尸为NE的中点，故NP〃EC.又MPCNP=P,DEPiCE=E,所以

平面MVP〃平面。EC,故MV〃平面DEC,①正确；②由已知，AELED,AELEC,所以/E_LMP,

AE1.NP,又MPCNP=P,所以4EU_平面MvP,又MNu平面MNP,所以A/NL4E,②正确；③假

<MN//AB,则与”确定平面初V3/,从而BEu平面MVa4,4Du平面MNBA,与BE和4D

是异面直线矛盾，③错误；④当£CJ_£。时，ECLAD.因为EC_L£4ECLED,EACED=E,所以

EC_L平面4ED,4Du平面/即，所以EC_L4D,④正确.

G---------

D28.如图所示，在直角梯形8CE尸中，ZCBF=ZBCE=90°,A,。分别是AF,CE上的

点，AD//BC,且

月3=Z）E=28C=2NP（如图1）.将四边形/。防沿折起，连接NC,CF,BE,BF,CE（如图2）,在

折起的过程中，下列说法错误的是（）

FA

图1/C〃平面BEF

B.B,C,E,b四点不可能共面

C.若EFLCF,则平面平面48coD.平面BCE与平面BE尸可能垂直

28.答案D解析A选项，连接3D,交4c于点。，取8E的中点连接OM,FM,则四边形

是平行四边形，所以40〃FM,因为T^Mu平面REF,/CC平面3EF,所以NC〃平面BEF;B选项，

若B,C,E,尸四点共面，因为8C〃N。，所以3c〃平面NDEF,又BCu平面BCEF,平面BCE7S

平面ADEF=EF,所以可推出8。〃斯，XBC//AD,所以矛盾；C选项，连接FD,在平

面ADEF内，由勾股定理可得EFLFD,又EFLCF,FDC\CF=F,所以EF_L平面CDF,所以EF_L

CD,又CDL4D,即与4D相交，所以CD_L平面4DE■尸，所以平面平面48c。；D选项，

延长4F至G,AF=FG,连接3G,EG,可得平面3CE_L平面48*且平面3cED平面/BF=2G,

过尸作FNLBG于N,则EN_L平面BCE,若平面BCE_L平面BEF,则过尸作直线与平面BCE垂直，

其垂足在3E上，矛盾.

29.如图，已知棱长为1的正方体4BCD—中，E,F,M分别是线段AD,441的中点，又

P,。分别在线段44,4—上,且4尸=4。=武。4段）・

AEB设平面ME尸Cl平面〃P0=/,现有下列结论：①/〃平面/BCD；®l±AC；③直

线/与平面3CC［3］不垂直；④当X变化时，/不是定直线.

其中成立的结论是.（写出所有成立结论的序号）

29.答案①②③解析连接2。，BXDX,VA1P=A1Q=x,

：.PQ//BXDX//BD//EF,易证P。〃平面ME产，又平面ME尸A平面儿。。=/,

PQ//1,1//EF,〃平面/BCD,故①成立；XEF±AC,：.l±AC,故②成立；'：l//EF//BD,...易

知直线/与平面8CC］纥不垂直，故③成立；当x变化时，/是过点”且与直线跖平行的定直线,故

④不成立.

30.（多选）如图，点尸在正方体/BCD—48］［。］的面对角线Bq上运动，则下列四个结论正确的是（)

三棱锥/一。］尸C的体积不变B.4尸〃平面/cqC.DP±BClD.平

面尸。々_L平面NCR

30.答案ABD解析对于A,连接AD』Cq,/C,。声，如图，由题意知40］〃3£,405平面4D］C,

DC

G

8c3平面A,Bi

从而BQ〃平面NQC,故8cl上任意一点到平面NO©的距离均相等，所以以P为顶点，平面N0C

为底面的三棱锥力一。|尸。的体积不变，故A正确；对于B,连接4瓦/J,A{P,则4C]〃4C,易

知4cl〃平面/qc,由A知，3/〃平面4D]C,又4。仆5。]=（7],所以平面34cl〃平面/。巳，

又Z]Pu平面所以4尸〃平面/cq,故B正确；对于C,由于。C,平面BCC[8],所以。C

±5C1；若。PL8C],则8C],平面。CP,BC^PC,则尸为中点，与尸为动点矛盾，故C错误；对

于D,连接DB1,PD,由。8]_L/C且。可得。与，平面/。巳，从而由面面垂直的判定定

理知平面尸D8]J_平面NCq,故D正确.

题型四截面问题

31.如图，在正方体48co中，E,F,G分别在BC,。巳上，则作过E,F,G三点的截

面图形为（）

B.三角形C.五边形D.六

边形

31.答案C解析作法：①在底面/C内，过E,尸作直线E尸，分别与。4。。的延长线交于心M.②

在侧面//内,连接ZG交44]于K.③在侧面。]C内，连接GM交Cq于〃.④连接KE,FH.则

五边形EFHGK即为所求的截面.

在正方体ABCD-4々CP]中，点、E,尸分别是棱8/，&C]的中

点，点G是棱C,C的中点,

则过线段NG且平行于平面4所的截面图形为（

A.矩形B.三角形C.正方形D.等腰梯形

32.答案D解析取8C的中点，，连接/〃，GH,A?,Dg,

由题意得G"〃跖，AH//AXF,又G/fC平面4斯，EFu平面4卢尸，〃平面

AXEF,同理/〃〃平面//斤，又GHCAH=H,GH,/"u平面4F/G。］,平面///G2〃平面4斯,

故过线段/G且与平面/卢厂平行的截面图形为四边形显然为等腰梯形.

33.（2018•全国I）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所

得截面面积的最大值为（）

A・平B.半C也

D.

J42

33.答案A解析如图所示，在正方体4BCD—4々qq中，平面4BQ］与棱/］/,4%，40所成

的角都相等，又正方体的其余棱都分别与44,40平行，故正方体4BCD—4fBic0］的每条

棱所在直线与平面4BQi所成的角都相等.取棱BBX，B£,gq,DD1,4D的中点£,F,G,

H,M,N,则正六边形EFG必W所在平面与平面平行且面积最大，此截面面积为S=

11正K边形巴

=6x1x^x^sin60°=^.故选A.

在三棱锥0一/3C中，三条棱CM,OB,OC两两垂直，且。/>O2>OC,分

别经过三条棱CM,

OB,0c作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为斗,$2,S3,则斗,$2,网的大小关系为.

A上B34.答案S3Vs2Vsi解析由题意知CM,OB,OC两两垂直，可将其放置在以

O为顶点的长方体中，设三边04OB,0c分别为a,b,c,且a>6>c,利用等体积法易得

总LLL।1

BS—^byla2+c2,S—^c\Ja2+b2,+a2C2）—

。23

+620）=a02（42—62）,

又a>b,1.S,一S『0,即Sy%同理,平方后作差可得，52>S3,S3<S2<Si,

35.（2016・全国I）平面a过正方体力BCD—48［CQ］的顶点4a〃平面C8£］,aA平面/5CQ=加，aA

平面则加，〃所成角的正弦值为（）

S6小］

A.2~B.C.D.g

35.答案A解析如图所示，设平面cqqn平面N8C£>=吗，：a〃平面C8Q