上海市长宁区2023-2024学年高一上学期期末数学试题（解析版）

2023学年第一学期高一数学教学质量检测试卷（考试时间90分钟，本卷满分100分）一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.答案填在答题纸相应位置）.1.已知集合，集合，则________．【答案】【解析】【分析】由集合的交运算求即可.【详解】由题设知：.故答案为：2.若，则_______________．【答案】【解析】【分析】利用指数对数互化式即可求出答案.【详解】因，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查指数的定义，熟练掌握指数对数互化式为解题的关键，属于简单题.3.不等式的解集是___________.【答案】【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法步骤即可求解.【详解】由，得，解得，所以不等式的解集为.故答案：.4.根式的指数幂形式为______.【答案】【解析】【分析】根据有理数指数幂的运算性质求解．【详解】，．故答案为：．5.“或”的否定形式为______．【答案】“且”【解析】【分析】直接由或命题的否定法则进行否定即可得解.【详解】由题意“或”的否定形式为“且”.故答案为：“且”.6.若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】将点代入，求得的值，求得幂函数解析式，再求其定义域.【详解】幂函数的图象经过点，则，所以，故，故的定义域为.故答案为：7.若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】直接根据指数函数的性质得答案.【详解】由指数函数的性质可得解得故答案为：8.已知，若，则______.【答案】或【解析】【分析】分别令分段函数中的每一段解析式的函数值为列方程，由此解得的值.【详解】由，得；由，得；由，得（舍）；综上或.故答案为：或.9.若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是______.【答案】,【解析】【分析】先将方程变形为变形为，再利用程在,上有解，可得的不等式，从而可确定实数的取值范围．【详解】方程可变形为，由于方程在上有解，而当,时，，所以，解得，即实数的取值范围是,．故答案为：,．10.已知，方程的解集为______.【答案】【解析】【分析】分、、三种情况讨论，去绝对值符号，解原方程即可.【详解】当时，则；当时，则；当时，则.综上所述，原方程的解集为.故答案为：.11.已知是上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为______．【答案】；【解析】【分析】根据函数解析式先求当时不等式的解，再由奇函数对称性求出时的解，又，综上即可得出不等式解集.【详解】当时，，解得，因为是上的奇函数，故图象关于原点对称所以当时，，又由是上的奇函数，所以，即，综上，的解集为.故答案为：12.已知，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是______.【答案】,【解析】【分析】首先分析各段函数的单调性，依题意只需函数的值域为，分和两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大（小值，即可得到不等式，解得即可．【详解】因为函数在定义域上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增，要使对任意实数，总存在实数，使得，即函数的值域为，当时，在，上单调递增，在上单调递减，当时，，时，，则只需，解得；当时，在，上单调递增，当时，，时，，则只需要，解得，又，所以．综上可得，即实数的取值范围是,．故答案为：,．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.13.若与互为相反数，则有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】运用对数性质，结合相反数性质计算．【详解】与互为相反数，则，即，则.故选：D.14.设为函数的零点,则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理，计算出区间端点的函数值即可判断.【详解】解：因为函数连续函数，且零点为，；，，故函数的零点在区间内，故选：．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．15.了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防该细菌、病毒引起的疾病传播有重要的意义．科研团队在培养基中放入一定量某种菌落进行研究，设经过时间x（单位：min），菌落的覆盖面积为y（单位：）．团队提出如下假设：①当时，；②y随x的增加而增加，且增加的速度越来越快．则下列选项中，符合团队假设的模型是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通过分析不同函数的增减性快慢，即可进行得到结果.【详解】根据题意，对于①，，即函数的定义域为,值域为，A、B、C、D均符合；对于②随的增加而增加，且增加的速度越来越快，即函数为增函数，且增加的速度越来越快，A符合，B、C、D均不符合.故选：A.16.已知函数的定义域为.是上严格增函数；任意，都有，且当时，恒有；：当时，都有；下列关于的充分条件的判断中，正确的是（）A.都是 B.是，不是C.不是，是 D.都不是【答案】B【解析】【分析】根据题意，对于：先分析函数的奇偶性，结合奇偶性、单调性的定义分析可得是的充分条件；对于，利用单调性的定义，据反例可得不是的充分条件；综合可得答案．【详解】根据题意，对于：任意，，都有，令，则有，再令，有，变形可得，则函数为奇函数；设，有，则有，必有，故函数是上的严格增函数，则是的充分条件；对于，例如，当，满足时，都有；但不是单调递增函数，故不是的充分条件；故选：B．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.已知是实数.（1）求证：，并指出等号成立的条件；（2）若，求的最小值.【答案】（1）证明见解析，当且仅当，时，不等式等号成立（2）4【解析】【分析】（1）作差法证明即可；（2）构造基本不等式，利用基本不等式解决即可.【小问1详解】证明：因为，所以，当且仅当，时，不等式中等号成立.【小问2详解】，当且仅当，即或时，不等式中等号成立.所以的最小值为4.18.设集合，.（1）若，试用区间表示集合、；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，分别解出不等式，得集合、；（2）求出集合，根据，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.【小问1详解】当时，由，得，解得，所以，由，得，则有，解得，所以；【小问2详解】由，得，解得，所以，由（1）得，由于，所以，解得.所以实数的取值范围是.19.为了鼓励消费，某地发放了以“爱购**”为主题的消费券，一张消费券价值50元，使用方式为：消费满100元后，结账时该券抵50元．（1）A商家在中秋节期间举行促销活动，每件商品按原价6折销售．若买一件原价为300元的商品，则在结账时使用了一张消费券后，还应付多少元？（2）小明在B商家选购时看中了一件88元的商品和一件打5折的特价商品，但特价商品的折扣不能与消费券同时使用，若该特价商品原价的范围在元，试判断小明是否会使用消费券？并说明理由．【答案】（1）130元（2）小明不会使用消费券，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意直接打折、优惠券叠加使用计算即可.（2）分别计算出小明按特价商品打折方式购买、使用优惠券购买所花费的钱，通过作差比较大小即可判断.【小问1详解】由题意原价为300元的商品打6折后本应付元，若在结账时使用了一张消费券后，则还应付元.【小问2详解】设特价商品原价为，小明按特价商品打折方式购买、使用优惠券购买所花费的钱分别为，则，所以，即，所以小明不会使用消费券，而会选择按特价商品打折方式购买.20.已知函数，其中.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数（2）【解析】【分析】（1）分和两种情况，根据函数的奇偶性的定义讨论求解；（2）设,然后由为上的增函数，则成立求解.【小问1详解】当时，函数的定义域为，对，，所以函数为奇函数；当时，的定义域为，对，，此时，此时，函数是奇函数；【小问2详解】设，则，，因为，所以，，若为上的增函数，则成立，则成立，所以成立，解得，所以实数的取值范围是.21.设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质.（1）判断函数在上否具有性质，并说明理由；（2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围；（3）设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值.【答案】（1）不具有性质,理由见解析（2）,（3），．【解析】【分析】（1）原式可化为对任意，都存在使得，即函数的值域为值域的子集即可，（2）根据的值域为值域的子集即可列不等式求解，（3）根据的值域为值域的子集即可分类讨论求解，【解答】解：由已知得对任意，都存在使得，即函数，的值域为，值域的子集，【小问1详解】由可得，因为的值域为