2024年高考数学二轮复习：基本不等式的三种高频考点题型归类（讲义）解析版

专题1-2基本不等式的三种高频考点题型归类

01专题网络•思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）

02考情分析•解密高考

03高频考点•以考定法（五大命题方向+6道高考预测试题，高考必考・（4-8）分）

考点一基本不等式

>命题点基本不等式及其应用

>高考猜题

考点二不等式的性质

>命题点不等关系与不等式

>高考猜题

考点三绝对值不等式

>命题点绝对值不等式的解法

>高考猜题

04仓（J新好题•分层训|练（★精选22道最新名校模拟试题+21道易错提升）

专题网络・思维脑图•

2023年秋考第1题

绝对值不等式绝对值不等式的解法

2023年春考第3题

高频考点•以考定*

考点一基本不等式

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命题点基本不等式及其应用

典例01（2024•上海）已知"=1,44+9k的最小值为12.

【分析】由已知结合基本不等式即可求解.

【解答】解：由。匕=1,44+9》2..2•2。・36=12,当且仅当2。=3匕，BPa=-^-,b-A=

2323

时取最小值12,

所以4片+9片的最小值为12.

故答案为：12.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

典例02（2023•上海）已知正实数°、6满足a+46=l,则必的最大值为—.

一16一

【分析】直接利用基本不等式求出结果.

【解答】解：正实数。、6满足4+46=1,贝』x（空竺『=，,当且仅当“=1，6=工时

4421628

等号成立.

故答案为：

16

【点评】本题考查的知识要点：基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题.

考点二不等式的性质

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命题点不等关系与不等式

典例01（2024•上海）a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是（）

A.a+b2>a+c1B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.c^b>a2c

【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：对于A,若|"<|c|,则k<02,选项不成立，故A错误；

对于5,a2-a2,b>c,

由不等式的可加性可知，cr+b>a1+c,故3正确.

对于C、D,若a=0,则选项不成立，故C、D错误.

故选：B.

【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题.

考点三绝对值不等式

命题点绝对值不等式的解法

典例01（2023•上海）不等式的解集为_（1,3）_.

【分析】原不等式可化为-l<x-2<1,从而求出尤的范围.

【解答】解：由|x-2|<l可得，-1<%-2<1,

解得l<x<3,

即不等式的解集为（1,3）.

故答案为：（1,3）.

【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，属于基础题.

典伊】02（2023•上海）不等式的解集为：—（结果用集合或区间表示）

【分析】运用|x|麴h=a,不等式2即为-2效乐-12,解出即可.

【解答】解:不等式|x-l|,,2即为-2都一12,

即为-啜k3,

则解集为[T,3],

故答案为：[-1,3].

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查运算能力，属于基础题.

（J创新好题.分层训炼•〉（★精选22道最新名校模拟考试题+21道易错提升）

一、填空题

1.（2023・上海虹口・上海市复兴高级中学校考模拟预测）不等式国+|2023-R<2023的解集为_______.

【答案】0

【分析】利用零点分段法，分三种情况进行求解，得到答案.

【详解】|x|+|2023-x|<2023,当x<0时，一龙+2023r<2023,解得尤>0,故解集为0,

当0WXW2023时，x+2023—x<2023,解集为0,

当x>2023时，x+尤一2023<2023,解得x<2023,故解集为0,

综上：不等式的解集为。.

故答案为：0

12

2.（2023・上海金山・统考二模）已知正实数。力满足一+7=1,则为+人的最小值为________.

ab

【答案】8

【分析】因为20+6=（24+3.\+2，展开利用基本不等式求解即可.

12

【详解】因为正实数。/满足一+7=1,

ab

所以20+6=（2.+6）.仕+2]=4+四+”4+2、但2=8,

b）ba\ba

〃

当且仅当4空=h=即人=4,a=2时等号成立，

ba

所以2a+6的最小值为8.

故答案为：8.

3.（2023.上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测）设关于x的不等式V一G+6<0的解集为（-1,2）,则

a+b=_______.

【答案】-1

【分析】根据一元二次不等式与方程的关系求解.

【详解】因为关于x的不等式炉-6+6<0的解集为（」,2）,

所以一元二次方程/一分+6=0的两个根为-1,2,

1—1+2=4

所以根据韦达定理可得-1x2=。,解得°=1,6=一2,

则AB=_______.

【答案】{3,4}

【分析】先求出集合A,B,再由交集的定义求解即可.

【详解】A={XGN|X<5}={0,1,2,3,4},

B=[x\》（*-2）>0}={小<0或%>2},

所以A台={3,4}.

故答案为：{3,4}

5.（2023•上海普陀・曹杨二中校考模拟预测）不等式，20的解集是____.

x—\

【答案】（l,4w）U{。}

【分析】把分式不等式转化为Fa：。；。，从而可解不等式.

x-1^0

【详解】因为二20,所以『叮）j°，解得了>1或x=0，

x-11x-1/O

所以不等式=20的解集是（L"）—{0}.

故答案为：（1,^）1{0}

6.（2023•上海徐汇・上海市南洋模范中学校考三模）设集合A={尤eZ||x|w2},B={y|y=l-x2,xeR）,

则AB=_______.

【答案】{-2,-1,0,1}

【分析】确定4={-2,-1,0,1,2},8=}仅41},再计算交集得到答案.

【详解】A={xeZ||x|<2}={xeZ|-2<x<2}={-2,-1,0,1,2）,

8={小=12”埒={小41},故Ac3={-2,-1,0,1}.

故答案为：{-2,-1,0,1}.

7.（2023・上海金山・上海市金山中学校考模拟预测）若关于x的不等式尤2+灰+。20（6>1）的解集为口，

„.1+2b+4c,,曰.0、r

则一:—:—的最小值为_______.

b-1

【答案】8

*1+2b+4r4

【分析】由题意可得A40化简得。2幺，所以：：-1)+—+4,利用基本不等式即可求解

4b-1b-l

b2

【详解】因为不等式/+"+。203>1)的解集为R,则A="-4c<0=>c>—，

4

因为b>l,所以

.l+2/?+4cb2+2b+l(Z?-l)2+4(/?-l)+444>2j(Z?-l)x-^-+4=8.

..--------->---------=----------------——=(zz/7-1)+----+

b-lb-lb-lb-\

4

当且仅当b—1二丁=，即〃=3时，取到等号.

b-l

故答案为：8

8.(2023・上海徐汇・统考二模)命题“若无>。，则土4>0”是罩

1命题，实数。的取值范围是_______.

【答案】［L+8)

【分析】由角军得光>1或%<0,贝！J%>4能推出或％<0成立，即可得出实数。的取值范围.

【详解】由—>0可得：M%—1)>°，解得：X>1或XV。，

"若%>〃，则--->。”是真命题，贝!Jx>。能推出1>1或％v0欣

X

则.故实数。的取值范围是［1,+8).

故答案为：［1,+8)

9.(2023・上海崇明・上海市崇明中学校考模拟预测)若集合P={x|x(x-l)>O},Q={x||x|<l},则

PQ=_____.

【答案】(T,O)

【分析】分别求出集合P,。，由交集的定义即可得出答案.

【详解】P={x|x(x—l)〉0}={x|x>l或x<0},

Q={尤|国<1}={小1<x<1},

P2=(-1,0).

故答案为：(一1,0).

10.(2023・上海徐汇・位育中学校考模拟预测)已知集合4=卜!<lj,集合B={-1,0,1,2},贝1]

=______

【答案】（T2）/（2,-1）

【分析】首先解分式不等式求出集合A,再根据交集的定义计算可得.

1]—X

【详解】由一<1,即一<0,等价于x(x-l)>0,解得X>1或x<0,

XX

所以A=卜!<i，={x[x>l<r<0},又2={-1,0,1,2},

所以AB={-1,2}.

故答案为：{-1,2}

11.（2023•上海徐汇・上海市南洋模范中学校考模拟预测）已知函数y=〃x）,其中〃=若

曲线y=〃力在处的切线斜率为1,则4+〃的最小值为____.

【答案】1/0.5

【分析】根据导数的几何意义可得再结合基本不等式运算求解.

【详解】因为〃x）=alnx-2的定义域为（0,+8）,且产（%）"+=,

XXX

由题意可得：（（1）=。+。=1,

又因为Y+^2^+为一=L当且仅当。=6=：时，等号成立，

222

所以/+〃的最小值为

故答案为：y.

12.（2023・上海黄浦・格致中学校考三模）若全集为R,集合4=卜|三|<0,,3=卜|尸-公+2},则

ACB=______.

【答案】{x|2<x<3}

【分析】先求出集合A8,再求出后，再利用集合的运算即可得出结果.

【详解】因为A=bW1<o],由土土<0,得至打<尤<3,即4={尤|1<彳<3},

又3=}母=-必+2},易知yW2,所以3={y|y>2},

所以AB={x|2<%<3）,

故答案为：{x|2<x<3}

_4

13.（2023・上海奉贤•上海市奉贤中学校考三模）如图：已知AA8C中，ZA=arcsin-,边长为1的正方

形QEFG为“BC的内接正方形，则AB+AC的最小值为______

【答案】V5+—

4

【分析】过点。作SLAB,利用三角形相似得空+纸=1,再利用基本不等式即可得到最值.

ABCH

【详解】过点。作SLAB,设CW=x,AB=y,显然%>1,

因为G尸//AB,所以-CGFs,C4B,所以丁7=:二，①

ABCA

同理AGD^ACH,所以趣2=3二，②

CHAC

①+②得尊+等=1,即LLi,则尸缶，

ABCHyx尤-1

45

因为/A=arcsin—,则AC=—x,

54

所以A8+AC=—x+X=—x-i——-——Fl=—(x—1)H——-——F—

4x-14x-14'7x-14

“2却-1）占¥百+>

当且仅当］（x-l）==，即工=等+1,

故答案为：^+|,

14.（2023・上海・上海市七宝中学校考模拟预测）在一至C中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,

ZB=1,的平分线交AC于。，若BD=C,则a+2c的最小值为

【答案】3+2V2/2V2+3

【分析】利用5ABe=SABD+SCBD可得出工+』=1，然后将。+2c与1+工相乘，展开后利用基本不等式可

acac

求得a+2c的最小值.

【详解】因为NB=。，-3的平分线交AC于D,且石，

171171171

由SABC~SABD+SCBD，即一sin—=-c'BDsin—I—a,BDsin一,

232626

整理可得走ac=4l(c+a),所以，1+』=£±£=1,

22vacac

因止匕，a+2c=(a+2c)f-+-^3+—+->3+2/---=3+2>/2,

\ac)ac\ac

ac=a+ca=V2+1

当且仅当2c_a时，即当正时，等号成立，

—=-c=l+——

C[2

因止匕，a+2c的最小值为3+20.

故答案为：3+2A/2.

15.(2023・上海宝山・上海交大附中校考三模)不等式=20的解集为________.

x-1

【答案】(一8,-3]。(1,+8)

【分析】将分式不等式等价转化为二次不等式组，求解即得.

【详解】原不等式等价于卜解得X-3或X>1,

故答案为：(―8,—3]U(1,+8).

16.(2023・上海虹口・华东师范大学第一附属中学校考三模)若关于x的不等式|x+a|+|尤-2归归-4|的解

集则实数。的取值范围是________.

【答案】[-3,0]

【分析】不等式转换为对任意的xe[1,2],都有不等式归+4+卜-2归卜-4恒成立，则按照绝对值不等式

即可求得实数。的取值范围.

【详解】关于x的不等式卜+。|+卜-2区k-4|的解集42[1,2],则对任意的xe[l,2],都有不等式

上+同+|尤―2|《上一"恒成立

止匕时x-2V0,x-4V0,故原不等式化为+2-x44-•%,故

贝U—2Wx+aW2对任意的xe[1,2]成立，故实数。的取值范围是[-3,0].

故答案为：[-3,0].

17.(2023・上海虹口・华东师范大学第一附属中学校考三模)已知平面向量a,b,e满足

a-e=l,b-e=-l,\a-^=4,则何第的取值范围是________-

【答案】卜24,2g)

【分析】不妨设e=(1,0),则a=(l,x),b=(Ty),得到|x-y|=26,结合绝对值三角不等式，即可求

解.

【详解】不妨设e=(l,o),则。=(l,x),b=(—Ly),

由,_4=4,可得,_0=26，

则I⑷一闭口叱一产卜H-3nA"=2若，

所以MT4的取值范围是卜26,2道).

故答案为：(-2瓜2研

18.(2023・上海•统考模拟预测)不等式一二+工20的解集是_______.

x+1x+3

【答案】{止3-2或x>T}

【分析】分别在x>-l,-3<x<-l,x<-3时去分母，化简不等式求其解.

【详解】因为」7+一二20,

x+1x+3

所以当%>—1时，x+3+x+l>0,

角军得％N—2,所以%>—1

当—3<x<—1时，x+3+x+l«0,

解得xW—2,所以—3vxW—2,

当xv-3时，x+3+x+l>0,

解得了2-2,满足条件的x不存在，

所以不等式」7+白>0的解集是{尤|-3<xW-2或X>T},

%十A%十J

故答案为：卜卜3-2或%>-!}.

3x+5

19.（2023・上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测）不等式的解集是________.

x-1

【答案】（―8,—l］u（L5］

【分析】移项通分得（“+1）（"-940,即］。：），+。。一5）4°,再利用穿根法即可得到答案.

x-11x-1/O

【详解】^^-x>0,即3"+5一八屋。,即（x+l）（x_5）w0,

X-1x-1x-1

则［（二1）,+1）（X-5）40,根据穿根法解得*ey,T51,5］,

故答案为：（-8,-1］口（1,5］.

20.（2023・上海黄浦•格致中学校考三模）关于尤的不等式依2-闲+2a20的解集是（分,­），则实数a

的取值范围为________.

【答案】］¥，+°°

【分析】构造/。）=52-W+2a,利用函数的性质，将问题转化成在［0,+"）上恒成立，再通过分离常转

化成求函数的最值即可求出结果.

【详解】因为关于x的不等式依2-国+2心。的解集是（f,+a））,所以加-忖+2心。在R上恒成立，

令/（彳）=依2-国+2。，易知/（X）为偶函数，所以加-N+2a20在R上恒成立，即

了（尤）=ar?—国+2a20在［0,+8）上恒成立,

所以，当x=0时，由ax?一%+2〃=2々20,得至

当”。时，由办一+2/。，得到窈—二7,又因为x+》2亚当且仅当A应时取等号,

X

所以心奈孝

综上，实数。的取值范围为忤+3

L7

故答案为:

21.（2023・上海崇明・统考一模）已知正实数a,b,c,d满足"+1=0,c2+d2=l,则当（a-4+3-取

得最小值时，ab=________.

【答案】也+1

2

【分析】将（。-cP+S-d）2转化为（。力）与（c,d）两点间距离的平方，进而转化为（。,6）与圆心（0,0）的距

离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.

【详解】可将（a-4+（6-dp转化为（a,6）与（Gd）两点间距离的平方，

由—cib+1=0,得b=aT,

a

而02+屋=1表示以（0,0）为圆心，1为半径的圆，（c,d）为圆上一点，

贝U（a,6）与圆心（0,0）的距离为：y/a2+b2=卜+（a+-J=业+3+2>^2a2~+2=也应+2,

当且仅当2/=，，即"=±《时等号成立，

此时（。力）与圆心（0,0）的距离最小，即（。,6）与（c,〃）两点间距离的平方最小，

即（a-c）2+（b-d）2取得最小值.

当〃二:口时，ab=a2+1=^^+1,

V22

故答案为：变+1.

2

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将问题转化为圆c?+/=1上的点到6=a+工上的点的距离

a

的最小值的求解问题，进而求解.

22.（2023•上海黄浦・统考二模）己知实数a,b,c满足：a+b+c=0与"-次'=3,则"c的取值范围

为__________.

【答案】［-2,2］

【分析】首先利用不等式求得-2WaW2,通过减少变量得f（a）=a（〃-3）,再利用导数求出其值域即可.

【详解】由题意得Z?+c=-=/—3,

2

由（b+c）>4Z?c得。?N4（/一3）,得々244,所以一2KaW2,

令于（d）=abc=a'a1-3）=4?一3々，

f\a）=3Q2_3=3（Q+1）（QT），

当々目―2,—l）u（l,2］时，八。）>0,此时/⑷在［—2,—1）和（1,2］上单调递增，

当ae(—1,1)时，((0<0此时/⑷在(-1,1)单调递减，

所以的极大值为/'(-I)=2,〃4)的极小值为/(I)=-2,

又因为/(-2)=-2,/(2)=2,

则必。的取值范围为[-2,2].

故答案为：[-2,2].

一.选择题(共4小题)

1.(2023秋•浦东新区校级月考)已知》>y>z,且x+y+z=0,下列不等式中成立的是()

A.xy>yzB.xz>yzC.xy>xzD.x\y\>z\y\

【分析】根据％>y>z和x+y+z=0,有3x>%+y+z=0,3zvx+y+z=0,从而得至!Jx>0,z<0.再

不等式的基本性质，可得到结论.

【解答]解：x>y>z

.,.3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0,

.>0,z<0.

由厂>°

[y>z

得：xy>xz.

故选：C.

【点评】本题主要考查不等式的放缩及不等式的基本性质的灵活运用，属基础题.

2.(2023秋•青浦区校级月考)如果那么下列不等式成立的是()

.2/cjJ2_110ba

A.a<abB.—cib<—bC.—<—D.—>一

abab

【分析】利用不等式的基本性质即可得出.

【解答】解：对于A：由QVZ?VO,得：a1>ab,故A错误；

对于5：若a<b<0,贝b<0,-ab<-b2,故B正确；

对于C：由a<6<0,两边同除以a。得：即工〉工，故C错误；

baab

对于->1,故。错误；

ab

故选：B.

【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题.

3.(2023秋•浦东新区校级期中)己知机、”是非零常数，不等式机(尤+1)(尤-3)..0的解集为A,不等式

〃(x+1)0-3)>0的解集为3,则“"加<0”是8=尺”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【分析】根据充分条件与必要条件的定义、一元二次不等式的解法以及集合并集的运算进行分析求解即可.

【解答】解：①当"”。时，若加<0,则〃>0,此时A=[-l,3],B=(-OO,-1)<J(3,+8),所以A|JB=R；

当/w>0,“<0时，止匕时A=(—co,—1]|J[35+00),8=(—1,3),所以4^8=尺，

所以"mn<0"是"A(B=R"的充分条件；

②当A8=R时，若m<。,此时A=[—l,3],

当〃<0时，B=(-l,3),不满足题意，

当〃>0时，B=(-00,-1)O(3,+<»),符合题意，此时〃加<0；

若相>0,此时A=(-<»,-1][[3,+oo),

当〃>0时，B=(-00,-1)O(3,+<»),不符合题意；

当〃<0时，5=(-1,3).满足题意，此时相〃<0;

所以“〃加<0”是“A[B=R"的必要条件.

综上所述，“痛<0”是“8=R”的充要条件.

故选：C.

【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，一元二次不等式的解法，集合之间关系的运用问题，也

考查了逻辑推理与运算能力，是基础题.

4.(2023秋•徐汇区校级期中)设0<b<l+a,若关于x的不等式。-份？>(依产的解集中的整数解恰有3

个，贝IJ()

A.—1<«<0B.Q<a<\C.\<a<3D.3<«<6

【分析】将不等式变形为[(a+1)龙-孙[(。-1)龙+句<。的解集中的整数恰有3个，再由0<》<1+4可得，

«>1,不等式的解集为卫<》<上<1,考查解集端点的范围，解出。的取值范围.

a—1a+1

【解答】解：关于x的不等式(4-方)2>3)2即(/一])%2+26%一"<0,0<b<l+a,

[(a+1)尤—切•[(♦—1)兀+切vO的解集中的整数恰有3个，「.a>1,

.•.不等式的解集为*<x<_也<1,所以解集里的整数是-2,-1,0三个.

a—1a+1

-3„--—<-2，

Q—1

b

2<------„3,2a—2<3a—3,

a—1

b<\+a

2Q—2Vl+a,

「.a<3,

综上，l<a<3,

故选：C.

【点评】本题考查一元二次不等式的应用，注意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程

的根.

二.填空题(共11小题)

5.(2022•浦东新区校级二模)不等式工<1的解集为_(1」+8)D(-oo-0)_.

X

【分析】首先移项通分，等价变形为整式不等式解之

【解答】解：原不等式等价于上1>0,即尤(x-l)>0,

X

所以不等式的解集为(1，+oo)U(-oo,0);

故答案为：(1,y)D(-oo,0)

【点评】本题考查了分式不等式的解法；关键是正确转化为整式不等式解之.

6.(2022•浦东新区校级模拟)不等式一^>2的解集是(2,-).

3尤-2—3一5一

【分析】通过作差化简一--2=安士>0,从而转化为整式不等式(3x-2)(5x-4)<0,从而解得.

3x—23%—2

【解答】解：-^>2,

3x-2

x八一5x+4八

----------2=---------->0,

3x—23%—2

即(3x-2)(5x-4)<0,

即2±<%<立4

35

故答案为：(2,-).

35

【点评】本题考查了分式不等式的解法，考查了转化思想的应用，注意分式不等式应通过作差转化为整式

不等式求解.是基础题.

7.(2023秋•杨浦区校级月考)用函数的观点：不等式4，+log2X<l的解集为_(0,g)_.

【分析】根据函数/(尤)=4乂+1。82彳是定义域((),+00)的单调增函数，且=由此求出不等式的解集.

【解答】解：因为函数/(x)=4*+log2X,是定义域(0,+8)的单调增函数，且/(g)=4?+log?(=1,

所以不等式4，+log2X<l的解集为(0,g).

故答案为：(0,g).

【点评】本题考查了利用函数的单调性求不等式解集的问题，是基础题.

4

8.(2022秋•虹口区期末)对于正实数x,代数式x+2的最小值为4.

x

【分析】利用基本不等式直接计算即可，注意取等号的条件.

【解答】解：因为x>0,

故x+±.zjx•&=4,当且仅当x=2时取等号.

x\x

故答案为：4.

【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.

9.(2023•杨浦区二模)由函数的观点，不等式3'+值%,3的解集是_(0,1)

【分析】不等式化为3\,3-/gx,在同一坐标系内画出y=3"和y=3-/gx的图象，利用函数的图象求出不

等式的解集.

【解答】解：不等式3工+忠%,3可化为313-/gx,

在同一坐标系内画出y=3*和y=3-/gx的图象，如图所示：

由3*=3-Igx,得x=1,

所以由函数的观点知，不等式3'+用%,3的解集是(0,1].

故答案为：(0,1].

X

1

y=3—lgs

【点评】本题考查了函数的图象与性质应用问题，也考查了不等式解法与应用问题，是基础题.

10.(2023秋•普陀区校级期中)设a>0,6>0,若百是3“与3〃的等比中项，则♦+1的最小值是4.

ab

【分析】先根据等比中项的性质求得a+b的值，进而利用基本不等式取得的最大值，把工+工化简整理，

ab

根据"的范围，求得答案.

【解答】解：后是3"与3"的等比中项

...3。.3"=3"+"=3

，。久1£土纪=_1(当4=6时等号成立)

44

11a+b1.

二.一+—=----=——..4.

ababab

故答案为：4

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.使用基本不等式时要注意等号成立的条件.

11.(2023秋•浦东新区校级月考)不等式/g(x-2)<l的解集是_(2,12)_.

【分析】由对数函数的单调性，不等式/g(x-2)<l,即有0<x-2<10,解得即可.

【解答】解：不等式/g(x-2)<l即为

lg(x-2)<lglO,

即有0<x—2<10,

解得，2Vx<12.

则解集为(2,12).

故答案为：(2,12).

【点评】本题考查对数不等式的解法，考查对数函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题和易错

题.

12.(2023秋•浦东新区校级月考)要使关于x的不等式啖k+如+64恰好只有一个解，则〃=_±2近

2

【分析】配方后得到幺-2=0,由此求出答案.

4

22

【解答】解：因为0>、依+64,即幺-6轰&+马2L一2恰有一个解，

424

所以---2=0,解得a=±2也.

4

故答案为：±20.

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题.

13.（2022秋•青浦区期末）不等式2工j-3<（g严-1）的解集为—{X|_3<X<2}_.

【分析】两边化同底，然后利用指数函数的单调性求解.

【解答】解：2-3-3<（g）3"T可化为：

203-3<233，因为y=2,是增函数，

故x~—2元一3<3—3x,

BPX2+X-6<0,解得-3<X<2,

故原不等式的解集为{x|-3<尤<2}.

故答案为：{x|-3<x<2}.

【点评】本题考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题.

14.（2023秋•静安区校级期中）设x、yeR,a>0,b>0,若优=夕=3,a+2b=2娓,则工+工的

xy

最大值为1.

【分析】由"=勿=3化简得L+L=log3",再由基本不等式可得2必,,（"殳A=6,从而可得a”,3,从

xy2

而确定最大值.

【解答】解："X=〃=3,

冗=log。3,y=logs3,

1।11；

—=log3a，—=log3b，

犬y-

/.—+—=log3a+log3b=log3ab，

y〜〜

c,/〃+26、2/

2ah,（---）=6,

:.ab„3,故ab的最大值为3,

当且仅当a=2b=时，等号成立，

故一+'=log3ab,,log33=1,

%y

故工+工的最大值为1,

故答案为：1.

【点评】本题考查了对数式与指数式的互化，对数函数的单调性及基本不等式在求最值中的应用，同时考

查了整体思想与转化思想的应用，属于中档题.

15.（2023春•宝山区校级期中）函数>二的最小值是逑.

【分析】将函数化为了=（L，4+2+^^）+工，炉+2,注意运用基本不等式和二次函数的最值，同时

2,犬+22

注意最小值取得时，x的取值要一致，即可得到所求最小值.

Y2+3Y2+2+1

【解答】解：函数尸看£「二?

7771^/7T2

=7x2+2+■,1

4+2

=（-Jx，+2+.1）+-，尤2+2

277722

..2、口+3=述.

V222

当且仅当工，f+2=」_,即有彳=0,取得等号.

则函数的最小值为殛.

2

故答案为：述.

2

【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题.

三.解答题（共6小题）

16.（2023秋•普陀区校级期中）关于x的不等式（廿一2左-3）/一（％+1）无一1<0的解集为

（1）若le",求正整数上的取值范围；

（2）若M为全体实数，求实数上的取值范围.

【分析】（1）把x=l代入原不等式，求出正整数上的取值范围；

（2）讨论二次项系数为0时以及不为0时，求出原不等式的解集为R时左的取值范围.

【解答】解：（1）当leM时，不等式化为（%2_2左-3）-（左+1）-1<0,

BPk2-3k-5<0,角军得3一回<（<3+屈,

22

正整数人的取值范围是｛1,2,3,4）.

(2)①当左2—2左一3=0时，解得左=一1或左=3,

当左=-1时，原不等式化为-1<0,对任意实数x恒成立；

当左=3时，原不等式化为Yx-1<0,解集不是全体实数，舍去.

k2-2k-3<0

②当左2-2左一320时，若M=R,则

二=（左+1）2+4（公一2左一3）<0

解得一1<左<",

5

综上，实数%的取值范围是

【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题.

17.(2023秋•普陀区校级期中)解关于x的不等式尤2+(24+1)%,办.

【分析】不等式化为+(a+1)1,0,讨论a的取值情况，即可求出不等式的解集.

【解答】解:不等式尤?+(2a+l)为，办可化为龙？+(a+l)为,0,

即+(a+1)1,0,

当a+1=0,即a=-1时，不等式化为一”0,解得x=0；

当a+l>0,即a>-l时，一。一1<0,解不等式得一。一掇h0；

当a+l<0,即a<-l时，一a—1>0,解不等式得度笈-a-1；

综上知，a=-1时，不等式的解集为｛x|尤=0｝；

a>-l时，不等式的解集为｛x|-掇/0｝；

a<-l时，不等式的解集为口|噫左-a-1｝.

【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题.

18.(2023秋•闵行区校级期中)已知关于尤的不等式：ax2-(tz+l)x+1<0(«e7?).

(1)当°=-2时，求不等式的解集；

(2)当&.0时，求不等式的解集；

(3)命题P：若二次不等式62-(。+1)尤+1<0的解集为空集，命题。:/-2尤-/+。+1>0对任意实数

尤都成立，若P,。中至少有一个真命题，求实数。的取值范围.

【分析】(1)。=-2时，不等式为-2d+x+l<0,求解即可；

(2)不等式化为(⑪-1)(*-1)<0,讨论a=0时和a>0时，求不等式的解集即可；

(3)求出命题尸、命题。为真命题时a的取值范围，再根据尸，。中至少有一个真命题时，求出实数。的

取值范围.

【解答】解：(1)。=一2时，不等式为-2三+》+1<0,即

解得或x>l,所以不等式的解集为｛x|x<-；或x>l｝；

(2)不等式加_(。+1)%+1<0可化为(依一1)(%_1)〈0,

当〃=0时，不等式为1—1>0,解得％>1,

当a>0时，不等式为(x-L)(x-l)<0,

a

若。=1,则工=1,不等式为(无一1)2<0,无解；

a

若”1,则L1,解不等式(x-4)(x-1)<0,得！<X<1；

aaa

若Ovavl,则工>1,解不等式(工—工)(％—1)<0,得

aaa

综上，a=0时，不等式的解集为｛x|1｝,1=1时，不等式的解集为0,

时，不等式的解集为0<”1时，不等式的解集为｛x|l<尤<占；

aa

(3)命题P：若二次不等式依2_(0+1)尤+1<0的解集为空集，则，解得々=1；

［产(a+l)-4o„0

命题。：尤2-2x-/+。+1>0对任意实数x都成立，则△=4-4(-/+。+1)<0,解得

所以产，。中至少有一个真命题时，实数a的取值范围是｛。|0<4,1｝.

【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

19.(2023秋•浦东新区校级期中)解关于x的不等式存②-2..2X-依(aeR).

【分析】对。分类：a=0,a>0>-2<a<0>a=-2,a<-2,分别解不等式，求解取交集即可.

【解答】解：原不等式变形为依2十5一2)尤-2..0.

①a=0时，x,,-1；

②“0时,不等式即为(ar-2)(x+l)..O,

、2