河北省示范性高中2022-2023学年高三上学期第一次调研考试数学试题

河北省示范性高中高三年级调研考试数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,则集合A. B. C. D.2.若复数(为虚数单位,且)为纯虚数,则A. B. C. D.3.“”是“直线与直线互相垂直”的A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.已知等差数列的前项和为,若,且,则A.1 B.2 C.3 D.45.关于二项式,若展开式中含的项的系数为21,则A.3 B.2 C.1 D.-16.已知某圆锥的母线长为2,记其侧面积为,体积为,则当取得最大值时,母线与底面所成角的正弦值为A. B. C. D.7.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的右焦点为,过作直线交椭圆于、两点,若弦中点坐标为,则椭圆的面积为A. B. C. D.8.已知,则下列结论不正确的是A.是奇函数 B.在区间上单调递增C.有3个零点 D.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.9.已知第一象限内的点在直线上,则A. B. C. D.10.下列说法正确的是A.若样本数据的方差为4,则数据的标准差为4B.已知随机变量,且,则C.若线性相关系数越接近1,则两个变量的线性相关性越弱D.若事件满足,则有11.已知函数,其图象相邻对称中心间的距离为,直线是其中一条对称轴,则下列结论正确的是A.函数的最小正周期为B.函数在区间上单调递增C.点是函数图象的一个对称中心D.将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标缩短为原来的一半,再把得到的图象向右平移个单位长度,可得到正弦函数的图象12.意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契(LeonardoFibonacci)在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:,该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它的前面两个数的和,人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”.同时,随着趋于无穷大,其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割,因此又称“黄金分割数列”,其通项公式为,它是用无理数表示有理数数列的一个范例.记斐波那契数列为,其前项和为,则下列结论正确的有A. B. C. D.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,其中16题第一空2分,第二空3分,共20分.13.已知,且,则_____.14.已知抛物线的焦点为,过的直线交抛物线为、两点,点为准线与轴的交点,则面积的最小值为_____15.如右图,在四棱锥中,底面为菱形,底面,若,则三棱锥的外接球表面积为_____16.进人冬季某病毒肆虐,已知感染此病毒的概率为,且每人是否感染这种病毒相互独立.记100个人中恰有5人感染病毒的概率是,则的最大值点的值为_____；为确保校园安全,某校组织该校的6000名学生做病毒检测,如果对每一名同学逐一检测,就需要检测6000次,但实际上在检测时都是随机地按人一组分组,然后将各组个人的检测样本混合再检测.如果混合样本呈阴性,说明这个人全部阴性,如果混合样本呈阳性,说明其中至少有一人检测呈阳性,就需要对该组每个人再逐一检测一次.当取时,检测次数最少时的值为_____.参考数据:四、解答题:本题共6小题,第17题10分,第$18\sim22$题每题12分,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知数列的前项和为,且.(1)证明:为等比数列,并求的通项公式;(2)求数列的前项和.18.(本小题满分12分)如图1,一副标准的三角板中,将两三角板的边与重合,拼成一个空间图形,且三角板可绕边旋转.设是的中点,是的中点.(1)如图2,若,求证:平面平面;(2)如图3,若,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19.(本小题满分12分)如图,在中,为的中点,且.(1)证明:;(2)若,求.20.(本小题满分12分)甲乙两人进行一场比赛,在每一局比赛中,都不会出现平局,甲获胜的概率均为.（1）若比赛采用五局三胜制,则求甲在第一局失利的情况下,反败为胜的概率;(2)若比赛采用三局两胜制,且,则比赛结束时,求甲获胜局数的期望;(3)结合(1)(2),比较甲在两种赛制中获胜的概率,谈谈赛制对甲获得比赛胜利的影响.21.(本小题满分12分)已知圆,直线(与轴不重合)过点交圆于、两点,过点作直线的平行线交直线于点.(1)证明：为定值,并求点的轨迹方程;(2)