专题17 球与几何体的切接（解析版）

专题17球与几何体的切接一、单选题1．（2024届四川省仁寿高三上学期9月月考）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设圆柱的底面半径为，则，解得或（舍去），所以圆柱的体积.故选C2．（2024届广东省四校高三上学期联考）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将，，分别沿，，折起，使得三点重合于点，若三棱锥的全部顶点均在球的球面上，则球的表面积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】依据题意可得，且，所以三棱锥可补成一个长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，如图所示，

设长方体的外接球的半径为，可得，所以，所以外接球的表面积为，故选C3．（2023届山西省运城市学业水平考试）在三棱锥中，平面，且，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，故三棱锥的体积，设，则，由，得，由，得，则在上单调递增，在上单调递减，从而，即三棱锥体积的最大值是，此时，即，由于平面，把三棱锥不成一个长方体，则三棱锥与所补成的长方体有相同的外接球，所以外接球的半径，则三棱锥外接球的体积为．故选B.

4．（2023届江西省九江市高三第一次模拟）三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】

如图，取中点，连接，，则，，由于平面平面，所以可得平面，平面，取的外心，的外心，分别过作平面与平面的垂线交于点，即为球心，连接，易得，，，.故选B.5．（2023届河北省秦皇岛市高三冲刺卷）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】如图，四边形为该几何体的轴截面，则四边形的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，设内切球的半径为，由，得，则，，所以.故选D.

6．（2023届海南省高三全真模拟）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的体积为，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】由题意，设球的半径为，则，由，外接圆半径，依据线面垂直模型知：.

故选A7．（2024届安徽省皖东名校联盟体高三上学期9月质量检测）直观想象是数学六大核心素养之一，某位老师为了培育同学的直观想象力量，在课堂上提出了这样一个问题：现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为a的正四周体盒子中，则a的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】我们先来证明如下引理：如下图所示：

设正四周体棱长为，面，，所以，，明显为面的重心，所以，由勾股定理可得面,所以正四周体的高等于其棱长的面倍.接下来我们来解决此题：如下图所示：

10个直径为4的小球放进棱长为a的正四周体中，成三棱锥外形，有3层，则从上到下每层的小球个数依次为：1，，个，当a取最小值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四周体的侧面相切，底层的每个球都与正四周体底面相切，任意相邻的两个小球都外切，位于每层正三角状顶点的全部上下相邻小球的球心连线为一个正四周体，则该正四周体的棱长为，可求得其高为，所以正四周体的高为，进而可求得其棱长a的最小值为．故选B.8．（2024届浙江省名校协作体高三上学期联考）已知四周体中，，，，直线与所成的角为，且二面角为锐二面角．当四周体的体积最大时，其外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，

由于，所以，即，当且仅当时等号成立，此时底面△BCD面积最大，，将AD沿平移至，则点A与到底面BCD的距离相同，且，为使四周体ABCD高最大，则直线在底面BCD的射影为直线BC，此时面BCD，设点A在底面BCD的投影为，可知四边形BCDB'为菱形，且的外心为，此时满足二面角为锐二面角，故四周体ABCD的外接球的球心在直线上，由于，，，所以在中，，解得，此时外接球的表面积为，故选B9．（2024届江苏省常州高级中学高三上学期期初检测）将一个半径为的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为，则高为，所以圆锥的体积为，令，得，所以，则，所以当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为，母线长为，设圆锥的内切球半径为，圆锥的轴截面图如图所示，则，由于，所以，所以,即，解得，故选D

10．（2024届广东省高三上学期新联合质量测评）已知等腰直角中，为直角，边，P，Q分别为AC，AB上的动点（P与C不重合），将沿PQ折起，使点A到达点的位置，且平面平面BCPQ．若点，B，C，P，Q均在球O的球面上，则球O体积的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】明显P不与A重合，由点，B，C，P，Q均在球D的球面上，得B，C，P，Q共圆，则，又为等腰直角三角形，AB为斜边，即有，

将翻折后，，，又平面平面，平面平面，

平面，平面BCPQ，于是平面BCPQ，平面，明显，BP的中点D，E分别为，四边形BCPQ外接圆圆心，则平面，平面，因此，，取PQ的中点F，连接DF，EF，则有，，四边形EFDO为矩形，设且，，，设球O的半径R，有，当时，，所以球O体积的最小值为．故选C．11．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研）已知一个棱长为2的正方体，点是其内切球上两点，是其外接球上两点，连接，且线段均不穿过内切球内部，当四周体的体积取得最大值时，异面直线与的夹角的余弦值为（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】由正方体棱长为2，知其内切球的半径为1，外接球的半径，依题意知，最长为，最长为内切球的直径2，由三角形面积公式，若为定值时，时面积最大，画出图形如图所示，其中分别是所在正方形的中心，是内切球与外接球的球心，

由正方体性质知，，，，又，故此时四周体的体积取得最大，由于，，所以四边形是平行四边形，所以，所以异面直线与所成的角，在中，，由余弦定理得，故选D12．（2023届重庆市巴蜀中学校高三下学期4月月考）已知正四棱锥的底面边长为，高为3．以点为球心，为半径的球与过点的球相交，相交圆的面积为，则球的半径为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】当公共圆面在四棱锥内部时，如下图所示，设相交圆的圆心为，点为相交圆上的一点，也是两球的公共点，设球的半径为，由于相交圆的面积为，所以相交圆的半径为1，即底面正方形边长为，所以，由勾股定理有，所以，设，则①，②，联立①②解得．当公共圆面在四棱锥外部时，如下图所示，同上可求，，，则③，④，联立③④解得．故选B．二、多选题13．（2023届辽宁省试验中学高三第五次模拟）在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面的中心，则（

）A．直线平面B．直线平面C．三棱锥的体积为D．三棱锥的外接球表面积【答案】BCD【解析】由题意，在正方体中，棱长为2，P，E，F分别为棱，，BC的中点，为侧面的中心，建立空间直角坐标系如下图所示，

则,,A项，

，设面的法向量为，则，即解得：，当时，，∵，∴直线与面不平行，A错误；B项，

，设面的法向量为，则，即解得：，当时，，∵，∴直线与平面平行，B正确；C项，

，C正确；D项，

如图，三棱锥恰好在长方体上，且为体对角线，

∴为三棱锥外接球的直径，由几何学问得，∴三棱锥的外接球表面积为，D正确；故选BCD.14．（2024届广东省广州市培英中学高三上学期月考）已知四周体的全部棱长均为，则下列结论正确的是（

）A．异面直线与所成角为 B．点到平面的距离为C．四周体的外接球体积为 D．四周体的内切球表面积为【答案】BCD【解析】对于A中，如图所示，取中点，连接，由于且，所以，又由于，且平面，所以平面，由于平面，所以，所以异面直线与所成角为，所以A错误；对于B中，在四周体中，过点作面于点，则为为底面正三角形的重心，由于全部棱长均为，可得，所以，即点到平面的距离为，所以B正确；对于C、D中，设为正四周体的中心，则为内切球的半径，是外接球的半径，由于，所以，即，所以四周体的外接球体积，所以C正确；四周体的内切球表面积为，所以D正确.故选BCD.

15．（2024届山东省齐鲁名校高三上学期联合检测）已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为，全部顶点均在球的球面上，则（

）A．直线与直线异面B．若是侧棱上的动点，则的最小值为C．直线与平面所成角的正弦值为D．球的表面积为【答案】BD【解析】对于A，如图①，连接，，则，，所以，所以直线与直线共面，故A错误；对于B，将平面沿着翻折到与平面共面的位置，得到矩形，如图②所示．由于底面边长为2，，所以，则的最小值为，故B正确；对于C，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图①所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，．设平面的法向量为，则，即，令，得，所以平面的一个法向量为．设直线与平面所成角为，则，故C错误；对于D，如图③，设球的半径为，依据对称性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心的连线的中点处.,则，所以球的表面积，故D正确．

故选BD16．（2023届安徽省合肥市庐阳区高三12月月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形．底面，，点E是棱PB上一点（不包括端点）．F是平面PCD内一点，则（

）

A．肯定存在点E，使平面PCDB．肯定存在点E，使平面ACEC．的最小值为D．以D为球心，半径为1的球与四棱锥的四个侧面的交线长为【答案】BD【解析】在四棱锥中，底面，且底面是边长为1的正方形，以点作原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系，则，令，，，明显平面的一个法向量，而，即有与不垂直，因此与平面不平行，即不存在点E，使平面，A错误；

明显，，即有，由，得，解得，因此存在点E，使得，而平面，则平面，B正确；由底面，平面，得，而，平面，则平面，又平面，于是，同理，且，把开放置于同一平面内，要取得最小值，当且仅当点在上，且，如图，

明显，而，因此，，C错误；依题意，球面与的交线如图中圆弧，，，则，于是弧的长为，由对称性知球与的交线长也为，

过作于，明显平面，则，而平面，于是平面，明显，球面与平面的交线是以为圆心，半径为的圆，

明显点到直线的距离为，因此球面与的交线是半径为的半圆，交线长为，由对称性知球与的交线长也为，所以球与四棱锥的四个侧面的交线长为，D正确.故选BD17．（2024届山西省山西高校附属中学高三上学期月考）如图所示，有一个棱长为4的正四周体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（

）

A．直线与所成的角为B．的周长最小值为C．假如在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为D．假如在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为【答案】ACD【解析】A选项，连接，由于为的中点，

所以⊥，⊥，又，平面，所以直线⊥平面，又平面，所以⊥，故A正确；B选项，把沿着开放与平面同一个平面内，连接交于点，则的最小值即为的长，由于，，

，，所以，故，的周长最小值为，B错误；C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四周体的内切球，设球心为，取的中点，连接，过点作垂直于于点，则为的中心，点在上，过点作⊥于点，由于，所以，同理，则，故，设，故，由于∽，所以，即，解得，C正确；

D选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为，四个小球球心连线是棱长为的正四周体，由C选项可知，其高为，由C选项可知，是正四周体的高，过点且与平面交于，与平面交于，则，，由C选项可知，正四周体内切球的半径是高的得，如图正四周体中，，，正四周体高为，解得，D正确.

故选ACD三、填空题18．（2024届广西柳州市高三摸底考试）已知圆锥的底面直径为，轴截面为正三角形，则该圆锥内半径最大的球的体积为.【答案】【解析】依题意，圆锥内半径最大的球为圆锥内切球，如图作出轴截面，圆O和AC相切于点D，

由于是正三角形，所以，，，设内切球半径为R，在中可得，，所以，解得，球的体积为.19．（2024届浙江省绍兴市上虞中学高三上学期开学考）卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标.卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则球心到该四棱锥侧面的距离为.【答案】【解析】如图，连接、，交于，连接，则球心在上（或延长线上），在正四棱锥中，，且，，设，所以，解得，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，即，取，得，所以球心到四棱锥侧面的距离为.20．（2023届宁夏石嘴山市高三一模）已知正六棱锥的各顶点都在球的球面上，球心在该正六棱锥的内部，若球的体积为，则该正六棱锥体积的最大值是.【答案】【解析】若球半径为，则，可得，又外接球的球心在正六棱锥的内部，如下图示，

若为底面中心，正六棱锥的侧棱长为，底面边长为，易知，则体高，且，则，故，所以，即，由棱锥的体积，令，，当时，递增；当时，递减；所以，故，仅当，时等号成立，此时满足题设.21．（2023届广东省深圳市试验中学、深圳市高级中学、珠海市第一中学、北江中学、湛江市第一中学等五校高三期中联考）