专题23 解析几何解答题分类练（原卷版）

专题23解析几何解答题分类练一、圆锥曲线方程与轨迹方程的确定1.（2024届广东省江门市部分学校高三上学期9月联考）在直角坐标系xOy中，动点P到直线的距离是它到点的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)直线与曲线C交于A，B两点，求面积的最大值．2．（2023届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考）已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，推断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．3.（2024届安徽省皖东智校协作联盟高三上学期10月联考）平面直角坐标系中，为动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且，记动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)已知点，，设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值.二、长度与周长问题4.（2024届云南省三校高三联考）已知点到定点的距离和它到直线：的距离的比是常数．(1)求点的轨迹的方程；(2)若直线：与圆相切，切点在第四象限，直线与曲线交于，两点，求证：的周长为定值．5．（2023届福建省厦门第一中学高三四模）已知，分别是椭圆：的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.(1)求椭圆的方程；(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，.（i）求的面积与的面积之比；（ⅱ）证明：为定值.三、面积问题6.（2023届四川省南充高级中学高三下学期第三次模拟）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为.点是椭圆上不同于顶点的任意一点，射线分别与椭圆交于点，的周长为8.(1)求椭圆的标准方程；(2)设，，的面积分别为.求证：为定值.7．（2023届河北省唐山市迁西县第一中学高三二模）已知椭圆，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4，是E上一点．(1)求椭圆E的方程；(2)设斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，D为线段的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得，求三角形的面积．8．（2023届新疆伊犁州伊宁县第三中学高三上学期诊断）已知椭圆C：经过点，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若四边形OAPB为平行四边形，求四边形OAPB的面积.四、斜率问题9.（2024届陕西省商洛市部分学校高三上学期10月测试）已知椭圆C：过点，且C的右焦点为．(1)求C的离心率；(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为，，，证明：．10．（2024届山东省金科大联考高三上学期9月质量检测）如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.

(1)求双曲线的标准方程；(2)设直线，的斜率分别为，，求的值；(3)证明：直线过定点.11．（2024届河南省周口市项城市高三5校青桐鸣大联考）已知是椭圆上的两点，关于原点对称，是椭圆上异于的一点，直线和的斜率满足.(1)求椭圆的标准方程；(2)若斜率存在且不经过原点的直线交椭圆于两点异于椭圆的上、下顶点），当的面积最大时，求的值.五、定点问题12.（2024届四川省达州外国语学校高三9月月考）已知椭圆：经过，两点，是椭圆上异于的两动点，且，直线的斜率均存在.并分别记为，.(1)求椭圆的标准方程(2)证明直线过定点.13．（2024届广西玉林市高三联考）已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆的上、下顶点分别为，点，若直线与椭圆的另一个交点分别为点，证明：直线过定点，并求该定点坐标.14．（2024届贵州省高三适应性联考）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.(1)求的方程；(2)过双曲线的右焦点作相互垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点?若不过定点，请说明缘由；若过定点，恳求出定点坐标.六、定值问题15.（2023届陕西省丹凤中学高三模拟演练）已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为短轴长的2倍，点在上运动，且面积的最大值为8．(1)求的方程；(2)若直线经过点，交于两点，直线分别交直线于，两点，试问与的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．16．（2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考）已知椭圆的左右焦点分别为是椭圆的中心，点为其上的一点满足．(1)求椭圆的方程；(2)设定点，过点的直线交椭圆于两点，若在上存在一点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求的范围．17．（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）已知双曲线C：一个焦点F到渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？假如存在，求出点N的坐标及该定值；假如不存在，请说明理由．七、最值与范围问题18.（2023届重庆市南开中学校高三下学期质量检测）已知椭圆的左右焦点为为椭圆上异于长轴端点的一个动点，为坐标原点，直线分别与椭圆交于另外三点，当为椭圆上顶点时，有．(1)求椭圆的标准方程；(2)求的最大值．19．（2024届四川省南充高级中学高三上学期月考）已知，为椭圆的两个焦点．且，P为椭圆上一点，．(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点的直线交椭圆于两点，若的中点为为坐标原点，直线交直线于点．求的最大值．20．（2024届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考）已知椭圆过和两点.

(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q.（i）证明：点B在以为直径的圆内；（ii）求四边形面积的最大值.八、与向量交汇问题21.（2023届广东省揭阳市惠来县第一中学高三最终一模）如图，矩形，，，、分别是、的中点，以某动直线为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点都落在上，记为，过点作，与直线交于点，设点的轨迹是曲线.

(1)建立恰当的直角坐标系，求曲线的方程；(2)是上一点，，过点的