2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第10章　§10.4　随机事件与概率

§10.4随机大事与概率考试要求1.了解随机大事发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区分.2.理解大事间的关系与运算.3.把握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简洁随机大事的概率．学问梳理1．样本空间和随机大事(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．②有限样本空间：假如一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．(2)随机大事①定义：将样本空间Ω的子集称为随机大事，简称大事．②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示．③随机大事的极端情形：必定大事、不行能大事．2．两个大事的关系和运算含义符号表示包含关系若A发生，则B肯定发生A⊆B相等关系B⊇A且A⊇BA＝B并大事(和大事)A与B至少有一个发生A∪B或A＋B交大事(积大事)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，且A∪B＝Ω3．古典概型的特征(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．4．古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，大事A包含其中的k个样本点，则定义大事A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分别表示大事A和样本空间Ω包含的样本点个数．5．概率的性质性质1：对任意的大事A，都有P(A)≥0；性质2：必定大事的概率为1，不行能大事的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；性质3：假如大事A与大事B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性质4：假如大事A与大事B互为对立大事，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性质5：假如A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意大事A，由于∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1；性质6：设A，B是一个随机试验中的两个大事，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．6．频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即大事A发生的频率fn(A)会渐渐稳定于大事A发生的概率P(A)，我们称频率的这共性质为频率的稳定性．(2)频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估量概率P(A)．常用结论1．当随机大事A，B互斥时，不肯定对立；当随机大事A，B对立时，肯定互斥，即两大事互斥是对立的必要不充分条件．2．若大事A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．思考辨析推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)大事发生的频率与概率是相同的．(×)(2)两个大事的和大事发生是指这两个大事至少有一个发生．(√)(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(√)(4)若A∪B是必定大事，则A与B是对立大事．(×)教材改编题1．一个人打靶时连续射击两次，大事“至多有一次中靶”的互斥大事是()A．至少有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶答案B解析射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”，与该大事不能同时发生的是“两次都中靶”．2．从某班同学中任意找出一人，假如该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身超群过175cm的概率为()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8答案B解析由题意知该同学的身高小于160cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率和该同学的身超群过175cm的概率和为1，故所求概率为1－0.2－0.5＝0.3.3．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参与社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．答案eq\f(3,10)解析从甲、乙等5名同学中随机选3名，有Ceq\o\al(3,5)种状况，其中甲、乙都入选有Ceq\o\al(1,3)种状况，所以甲、乙都入选的概率P＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10).题型一随机大事命题点1随机大事间关系的推断例1(1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次放射一枚炮弹，设大事A＝{两弹都击中飞机}，大事B＝{两弹都没击中飞机}，大事C＝{恰有一弹击中飞机}，大事D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是()A．A∩D＝∅ B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D答案BC解析“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、其次枚没中或第一枚没中、其次枚击中，“至少有一弹击中飞机”包含两种状况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠∅，B∩D＝∅，A∪C＝D，A∪B≠B∪D.(2)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列状况中是互斥而不对立的两个大事的是()A．至少有一个红球；至少有一个白球B．恰有一个红球；都是白球C．至少有一个红球；都是白球D．至多有一个红球；都是红球答案B解析对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两大事可能同时发生，所以不是互斥大事；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥大事，而任取两球还可能都是红球，故两大事不是对立大事；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”明显是对立大事；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立大事．命题点2利用互斥、对立大事求概率例2某商场进行有奖销售，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的大事分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个大事为M，则M＝A∪B∪C.∵大事A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000)，故1张奖券的中奖概率为eq\f(61,1000).(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为大事N，则大事N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立大事，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000)，故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f(989,1000).思维升华大事关系的运算策略进行大事的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能消灭的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当大事是由互斥大事组成时，运用互斥大事的概率加法公式．跟踪训练1(1)(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机大事：Ci＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；E＝“点数为奇数”；F＝“点数为偶数”．下列结论正确的是()A．C1与C2对立 B．D1与D2不互斥C．D3⊆F D．E⊇(D1∩D2)答案BC解析对于A，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥但不对立，故选项A不正确；对于B，D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，当消灭的点数是2时，D1与D2同时发生，所以D1与D2不互斥，故选项B正确；对于C，D3＝“点数大于5”表示消灭6点，F＝“点数为偶数”，所以D3发生时F肯定发生，所以D3⊆F，故选项C正确；对于D，D1∩D2表示两个大事同时发生，即消灭2点，E＝“点数为奇数”，所以D1∩D2发生，大事E不发生，所以E⊇(D1∩D2)不正确，故选项D不正确．(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.①确定x，y的值，并估量顾客一次购物的结算时间的平均值；②估量一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．解①由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.则顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估量，其估量值为eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．②记A为大事“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示大事“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，则可估量概率约为P(A1)＝eq\f(15,100)＝eq\f(3,20)，P(A2)＝eq\f(30,100)＝eq\f(3,10)，P(A3)＝eq\f(25,100)＝eq\f(1,4)，由于A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,20)＋eq\f(3,10)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,10)，故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率约为eq\f(7,10).题型二古典概型例3(1)(2023·南通质检)我国数学家张益唐在“孪生素数”争辩方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为()A.eq\f(3,56)B.eq\f(3,28)C.eq\f(1,7)D.eq\f(1,5)答案D解析大于3且不超过20的素数为5,7,11,13,17,19，共6个，随机选取2个不同的数，分别为(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)，共15种选法，其中恰好是一组孪生素数的有(5,7)，(11,13)，(17,19)，共3种，故随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(2)在一次竞赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参与，赛前用抽签的方法打算出场挨次，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,10)答案D解析在一次竞赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参与，赛前用抽签的方法打算出场挨次，样本点总数n＝Aeq\o\al(5,5)＝120，“乙、丙都不与甲相邻出场”包含的样本点个数m＝Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝36，所以“乙、丙都不与甲相邻出场”的概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(36,120)＝eq\f(3,10).思维升华利用公式法求解古典概型问题的步骤跟踪训练2(1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5)D.eq\f(2,3)答案C解析从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，共有15种取法，它们分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种取法，所以所求概率是P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)(2022·宜宾质检)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办全部冰上项目，延庆和张家口承办全部雪上项目．组委会聘请了包括甲在内的4名志愿者，预备安排到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲正好分到北京赛场的概率为________.答案eq\f(1,3)解析依题意3个赛场安排的志愿者人数只有1,1,2这种状况，则共有n＝Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(种)支配方法，志愿者甲被安排到北京赛场有m＝Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝12(种)支配方法，所以志愿者甲正好分到北京赛场的概率P＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).题型三概率与统计的综合问题例4北京冬奥会顺当闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”学问讲座活动，活动结束后随机抽取120名同学对讲座状况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的同学中男生有40名对讲座活动满足，女生中有30名对讲座活动不满足．(1)完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否推断对讲座活动是否满足与性别有关？满足不满足合计男生女生合计120(2)从被调查的对讲座活动满足的同学中，利用比例安排的分层随机抽样方法抽取7名同学，再在这7名同学中抽取3名同学谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．参考数据：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解(1)2×2列联表如表所示.满足不满足合计男生402060女生303060合计7050120零假设为H0：对讲座活动是否满足与性别无关．依据列联表中数据，经计算得χ2＝eq\f(120×40×30－20×302,60×60×70×50)＝eq\f(24,7)≈3.429>2.706＝x0.10，依据小概率值α＝0.10的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为对讲座活动是否满足与性别有关．(2)由(1)知，在样本中对讲座活动满足的同学有70人，从中抽取7人，其中“男生满足”的有40×eq\f(7,70)＝4(人)，“女生满足”的有30×eq\f(7,70)＝3(人)，记“恰好抽中2名男生与1名女生”为大事A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(18,35)，所以恰好抽中2名男生与1名女生的概率为eq\f(18,35).思维升华求解古典概型的综合问题的步骤(1)将题目条件中的相关学问转化为大事；(2)推断大事是否为古典概型；(3)选用合适的方法确定样本点个数；(4)代入古典概型的概率公式求解．跟踪训练3从参与环保学问竞赛的同学中抽出40名，将其成果(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示，观看图形，回答下列问题．(1)成果在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？(2)估量这次环保学问竞赛成果的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)(3)从成果是80分以上(包括80分)的同学中选2人，求他们在同一分数段的概率．解(1)依据题意，成果在[50,60)这一组的频率为0.015×10＝0.15，在[60,70)这一组的频率为0.025×10＝0.25，在[70,80)这一组的频率为0.035×10＝0.35，在[90,100)这一组的频率为0.005×10＝0.05，则成果在[80,90)这一组的频率为eq\f(1,2)×[1－(0.15＋0.25＋0.35＋0.05)]＝0.1，其频数为40×0.1＝4.(2)这次竞赛成果的平均数约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5；成果在[70,80)这一组的频率最大，人数最多，则众数约为75；70分左右两侧的频率均为0.5，则中位数约为70.(3)记“选出的2人在同一分数段”为大事E，成果在[80,90)内的有40×0.1＝4(人)，设为a，b，c，d；成果在[90,100)内的有40×0.05＝2(人)，设为A，B.从这6人中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15种选法，其中大事E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7种选法，则P(E)＝eq\f(7,15).课时精练1．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为大事A，“向上的点数是1或5”为大事B，则()A．A∪B表示向上的点数是1或3或5B．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或3D．A∩B表示向上的点数是1或5答案A解析设A＝{1,3}，B＝{1,5}，则A∩B＝{1}，A∪B＝{1,3,5}，∴A≠B，A∩B表示向上的点数是1，A∪B表示向上的点数为1或3或5.2．杭州亚运会的三个吉利物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图．现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的外形、大小和质地完全相同)放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,9)D.eq\f(1,9)答案C解析记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A，B，C，则样本点有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的样本点有(A，B)，(B，A)，共2个，所以所求的概率P＝eq\f(2,9).3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石 B．169石C．338石 D．1365石答案B解析这批米内夹谷约为eq\f(28,254)×1534≈169(石)．4.在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，大事A表示“小于5的偶数点消灭”，大事B表示“小于5的点数消灭”，则在一次试验中，大事A＋eq\x\to(B)发生的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)答案C解析掷一枚骰子的试验有6种等可能的结果，依题意知P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，由于eq\x\to(B)表示“消灭5点或6点”的大事，所以大事A与eq\x\to(B)互斥，从而P(A＋eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).5．(2022·莆田质检)将5名支援某地区抗疫的医生安排到A，B，C三所医院，要求每所医院至少支配1人，则其中甲、乙两名医生恰好安排到同一医院的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(6,25)C.eq\f(7,16)D.eq\f(4,9)答案B解析由题意可知，安排状况分为两类：3,1,1或2,2,1，其方法总数为Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＋eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝150.其中甲、乙两名医生恰好安排到同一医院的方法共有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)·Aeq\o\al(3,3)＝36(种)，则甲、乙两名医生恰好安排到同一医院的概率为eq\f(36,150)＝eq\f(6,25).6．(多选)下列说法中正确的有()A．若大事A与大事B是互斥大事，则P(AB)＝0B．若大事A与大事B是对立大事，则P(A＋B)＝1C．某人打靶时连续射击三次，则大事“至少有两次中靶”与大事“至多有一次中靶”是对立大事D．把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则大事“甲分得的不是红牌”与大事“乙分得的不是红牌”是互斥大事答案ABC解析大事A与大事B互斥，则A，B不行能同时发生，所以P(AB)＝0，故A正确；大事A与大事B是对立大事，则大事B即为大事eq\x\to(A)，所以P(A＋B)＝1，故B正确；大事“至少有两次中靶”与“至多有一次中靶”不行能同时发生，且二者必有一个发生，所以为对立大事，故C正确；大事“甲分得的不是红牌”与大事“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，所以不是互斥大事，故D错误．7．通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码(a1，a2，a3，a4)满足a1<a2<a3<a4，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，则它是首位为2的递增型验证码的概率为________．答案eq\f(7,2000)解析∵a1＝2,2<a2<a3<a4，∴a2，a3，a4从3,4,5,6,7,8,9中选，选出3个数，让其依据从小到大的挨次有Ceq\o\al(3,7)＝35(种)排法，又四位验证码共有10×10×10×10＝10000(种)，∴它是首位为2的递增型验证码的概率为eq\f(35,10000)＝eq\f(7,2000).8．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．答案eq\f(6,35)解析从正方体的8个顶点中任选4个，取法有Ceq\o\al(4,8)＝70(种)．其中4个点共面有以下两种状况：(1)所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图1，有6种取法；(2)所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2，也有6种取法．故4个点在同一个平面共有6＋6＝12(种)状况．所以所取的4个点在同一个平面的概率P＝eq\f(12,70)＝eq\f(6,35).9．经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．解记“无人排队等候”为大事A，“1人排队等候”为大事B，“2人排队等候”为大事C，“3人排队等候”为大事D，“4人排队等候”为大事E，“5人及5人以上排队等候”为大事F，则大事A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为大事G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)方法一记“至少3人排队等候”为大事H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.方法二记“至少3人排队等候”为大事H，则其对立大事为大事G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.10.某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计得到其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)依据茎叶图计算样本数据的平均数；(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，依据茎叶图估量这90个服务网点中优秀服务网点的个数；(3)从随机抽取的6个服务网点中任取2个做网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．解(1)由题意知，样本数据的平均数eq\x\to(x)＝eq\f(4＋6＋12＋12＋18＋20,6)＝12.(2)样本中优秀服务网点有2个，频率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，由此估量这90个服务网点中优秀服务网点约有90×eq\f(1,3)＝30(个)．(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中任取2个的可能状况有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种，记“恰有1个网点是优秀服务网点”为大事M，则大事M包含的可能状况有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8种，故所求概率P(M)＝eq\f(8,15).11．假如大事A，B互斥，记eq\x\to(A)，eq\x\to(B)分别为大事A，B的对立大事，那么()A．A∪B是必定大事B.eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)是必定大事C.eq\x\to(A)与eq\x\to(B)肯定互斥D.eq\x\to(A)与eq\x\to(B)肯定不互斥答案B解析如图①所示，A∪B不是必定大事，eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)是必定大事，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)不互斥；如图②所示，A∪B是必定大事，eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)是必定大事，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)互斥．12．整数集就像一片浩瀚无边的海洋，布满了无尽的奇特．古希腊数学家毕达哥拉斯发觉220和284具有如下性质：220的全部真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同时284的全部真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发觉掀起了很多数学爱好者