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文档简介

1.2空间向量基本定理

复习引入1.空间向量共线定理2.空间向量共面定理对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.思考

空间中任意三个向量

p，a，b的关系？共面：空间向量共面定理不共面：？三个？新知探究我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论．OPQOPQ新知探究反证法假设还存在有序实数组(x1，y1，z1)，使得p＝x1i＋y1j＋z1k，则x1i＋y1j＋z1k＝xi＋yj＋zk.不妨设x1≠x，则(x1－x)i＝(y－y1)j＋(z－z1)k.因为i，j，k共面，这与已知矛盾.所以有序实数组(x，y，z)是唯一的.下证唯一性：思考

在空间中，如果用任意三个不共面的向量代替两两垂直的向量

你能得出类似的结论吗?类比平面向量基本定理，我们就得出了空间向量基本定理：概念生成唯一如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在

的有序实数组(x，y，z)，使得p＝

.xa＋yb＋zc新知探究证明：pPP′A′B′C′

OA

C

B如图，设

不共面.过点O作存在三个实数x,y,z满足1.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.2.基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.概念生成3.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底.4.正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.概念生成BAO概念生成注：(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，基底确定后，向量由基底唯一表示;(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.(2)由于与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是;空间向量基本定理：空间向量间的运算

基向量间的运算典例解析用基底表示向量的步骤：定基底→找目标→下结论例1如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并尽量选已知夹角和长度的向量．解：例2在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝

CD.(1)

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