用空间向量研究距离、夹角问题课件（第三课时）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章

空间向量与立体几何1.4空间向量的应用

1.4.2

用空间向量研究距离、

夹角问题（第三课时）复习导入立体几何空间向量点、直线、平面位置关系度量问题垂直平行距离角度前面我们学习了如何用向量方法求解立体几何中的距离和角度问题.这节课我们应用这些知识解决综合性较强的问题.典例解析P39-例9

下图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°,已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2，精确到0.01N)．思考:1.降落伞匀速下落，下落过程中，8根绳子拉力的合力大

小与礼物重力大小有什么关系？2.每根绳子的拉力和合力有什么关系？3.如何用向量方法解决这个问题？8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量．8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小。典例解析P39-例9

下图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°,已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2，精确到0.01N)．解：∴每根绳子拉力的大小为1.41N.P39-例10

如图示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

(1)求证:PA//平面EDB;

(2)求证:PB⊥平面EFD;

(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.BCDAPEFxyzG典例解析解：典例解析BCDAPEFxyzP39-例10

如图示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

(2)求证:PB⊥平面EFD;追问

还其它的方法吗？典例解析BCDAPEFxyzP39-例10

如图示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.(3)解法1:典例解析BCDAPEFxyzP39-例10

如图示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.(3)解法2:归纳小结1.通过本节的学习，向量方法解决立体几何问题的基本步骤是什么？你能用框图表示吗？用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系把运算结果“翻译”成相应的几何意义2.解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法．你能说出它们各自的特点吗？综合法以逻辑推理作为工具解决问题；向量法利用向量的概念及其运算解决问题，如本节的例7、例9；坐标法利用数及其运算来解决问题，坐标法经常与向量法结合起来使用，如本节的例6、例8、例10．对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法．巩固练习课本P411.如图,二面角α-l-β的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=,求平面α与平面β的夹角.αlβABCD巩固练习课本P411.如图,二面角α-l-β的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=,求平面α与平面β的夹角.αlβABCDE巩固练习课本P41

2.如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M,N分别是AD，BC的中点，求异面直线AN,CM所成角的余弦值.ACDBNME巩固练习课本P43xyzABCA1B1C1D1DFEKGHL巩固练习课本P43xyzABCA1B1C1D1DFEKGHL巩固练习课本P43xyzABCA1B1C1D1DFEKGHL16.棱长为a的正方体OABC-OʹAʹBʹCʹ中，E,F分别是棱AB,BC上的动点，且AE=BF.(1)求证：AʹF⊥CʹE；(2)当三棱锥Bʹ-BEF的体积取得最大值时，求平面BʹEF与平面BEF的夹角正切值.巩固练习课本P4916.棱长为a的正方体OABC-OʹAʹBʹCʹ中，E,F分别是棱AB,BC上的动点，且AE=BF.(2)当三棱锥Bʹ-BEF的体积取得最大值时，求平面BʹEF与平面BEF的夹角正切值.巩固练习课本