【透过圆锥曲线看数学思想的应用1600字（论文）】

透过圆锥曲线看数学思想的应用目录TOC\o"1-2"\h\u24841透过圆锥曲线看数学思想的应用 120479一、函数与方程思想 132442二、化归转化思想 117894三、一般与特殊思想 225530四、数形结合思想 210209五、分类与整合思想 3对数学思想的考查是历年各省市高考命题的重要内容，在高中数学中所涉及的数学思想主要有七种：函数与方程思想、分类与整合思想、化归转化思想、数形结合思想，一般与特殊思想、有限与无限思想、或然与必然思想。解答圆锥曲线问题中所涉及的数学思想主要是前五种，下面举例说明。一、函数与方程思想处理圆锥曲线中的最值或范围问题的基本思路是结合题目条件，构造目标函数，求函数最值，以及直线方程与曲线方程联立、消元、判别式法、根与系数关系的应用，这些都体现了函数与方程思想。图1例1如图1，曲线C：，点A，，为曲线C上的点．过点作的垂线，垂足为．求的最大值．图1解析设AP的斜率为k,则BQ的斜率为，进而可得两直线方程并联立解得。因为=，，故。设，求导得，故在内，递增，在内，递减，故，．点评：通过引入直线的斜率参数，结合题目条件将所求关系式转化为含有斜率的函数关系式，进而利用求函数最值的方法求解。本题在求函数最值时，利用了导数法。常用的求最值工具还有配方法、均值不等式，以及分离常数利用反比例函数的性质等。二、化归转化思想数学解题的过程，从一定程度来看，也可认为是转化的过程，即化生为熟悉、化繁为简、化抽象为直观的过程。化归与转化思想在解答圆锥曲线问题时应用较为广泛。例2（2020新课标山东）已知椭圆（）的离心率为，且过点．（1）求的方程；（2）点在上，且，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．解析（1），过程略。（2）令，，则，椭圆方程可化为。（*）令，，则。设：，代入式（*）得，整理得，所以，即，故，直线过点，故过点，因为为定值，且为直角的斜边，所以中点满足为定值，该定值为.因为，所以，即存在点使得为定值。点评本题可采用常方法，即引入直线MN的方程，将其与椭圆方程联立，利用坐标法（设出N、M两点的坐标）、消元法、判别式及根与系数的关系等，再结合进行求解。对考生计算能力要求较高。通过构造斜率关系，将所求问题转化为关系斜率的齐二次式来求解，计算简洁。三、一般与特殊思想一般与特殊思想，在圆锥曲线问题中的应用主要体现在一般问题特殊化，即利用特殊点、特殊值、特殊位置等寻找一般情况中的特殊情况。例3已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则的最大值为________解析根据抛物线的对称性，如果取得最大值，应在对称位置，即关于对称轴对称，此时。令，则，代入得。令，得。又，故.点评对称性是标准圆锥曲线的重要性质，坐标轴为其对称轴，本题利用特殊与一般思想找到对称位置，直接求得最值，体现了小题不大做的宗旨。四、数形结合思想“数缺形时少直观，形缺少时难入微”是数形结合思想价值的核心体现，处理圆锥曲线问题的主要方法虽然是解析法，但借助形的直观，往往可以使某类问题简洁获解。OxyABA′B′EF例4斜率为1且过抛物线的焦点OxyABA′B′EF解析如图2，分别过作的垂线，垂足分别为，过作的垂线，垂足为E。因为，，以及，故以。又,故，故=，即。点评本题可以利用代法，即将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系等求解，但借助平面几何的性，利用数形结合思想求解更为简洁、直观。五、分类与整合思想对于较复杂的问题，可将其分解为多个简单的问题求解，对于情况不确定的问题，可按其各种可能进行分类讨论。这些都是分类与整合思想的集中体现。例5椭圆的两个焦点分别为，为椭圆上一点，如果是直角三角形，则点的坐标为____________。解析1）当为直角时，点P的横坐标为，代入椭圆方程得，所以。2）当为直角时，点P的横坐标为，代入椭圆方程得，所以。3）当为直角时，设，则，且点P在以O为加以，为直线的圆上，则，联立两方程解