2024-2025学年新教材高中数学第四章概率与统计4.1.3独立性与条件概率的关系课时素养检测含解析新人教B版选择性必修第二册

PAGE课时素养检测十独立性与条件概率的关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1.(多选题)甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若同学甲必选物理，则下列说法正确的是 ()A.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事务B.甲的不同的选法种数为15C.已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是QUOTED.乙、丙两名同学都选物理的概率是QUOTE【解析】选BD.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事务，故A错误；由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即QUOTE=15种选法，故B正确；由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是QUOTE=QUOTE，故C错误；乙、丙两名同学各自选物理的概率均为QUOTE，故乙、丙两名同学都选物理的概率是QUOTE×QUOTE=QUOTE，故D正确.2.有以下问题：①掷一枚骰子一次，事务M：“出现的点数为奇数”，事务N：“出现的点数为偶数”；②抛掷3枚质地匀称的硬币，M={既有正面对上又有反面对上}，N={至多有一个反面对上}；③分别抛掷2枚相同的硬币，事务M：“第1枚为正面”，事务N：“两枚结果相同”.以上问题中，M，N是相互独立事务的有 ()A.3个 B.2个 C.1个 D.0个【解析】选B.①中，M，N是互斥事务；②中，P(M)=1-QUOTE=QUOTE，P(N)=1-QUOTE=QUOTE，P(MN)=P(M)P(N)，所以M，N是相互独立事务；③中，P(M)=QUOTE，P(N)=QUOTE，P(MN)=QUOTE，P(MN)=P(M)P(N)，因此M，N是相互独立事务.3.投掷一枚匀称硬币和一枚匀称骰子各一次，记“硬币正面对上”为事务A，“骰子向上的点数是3”为事务B，则事务A，B中至少有一件发生的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.依题意得P(A)=QUOTE，P(B)=QUOTE，事务A，B中至少有一件发生的概率等于1-P(QUOTEQUOTE)=1-P(QUOTE)P(QUOTE)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE.4.一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，其次道工序的次品率为b，则产品的正品率为 ()A.1-a-b B.1-abC.(1-a)(1-b) D.1-(1-a)(1-b)【解析】选C.设A表示“第一道工序的产品为正品”，B表示“其次道工序的产品为正品”，则P(AB)=P(A)P(B)=(1-a)·(1-b).5.甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由题意，因为甲或乙的贺年卡送给其中一个人的概率都是QUOTE，故分两种状况，甲、乙将贺年卡送给丙的概率为QUOTE×QUOTE=QUOTE，甲、乙将贺年卡送给丁的概率为QUOTE×QUOTE=QUOTE，则甲、乙将贺年卡送给同一个人的概率为QUOTE+QUOTE=QUOTE.6.甲射击命中目标的概率是QUOTE，乙命中目标的概率是QUOTE，丙命中目标的概率是QUOTE.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.设甲命中目标为事务A，乙命中目标为事务B，丙命中目标为事务C，则目标被击中的事务可以表示为A+B+C，即击中目标表示事务A，B，C中至少有一个发生.所以P(QUOTEQUOTEQUOTE)=P(QUOTE)P(QUOTE)P(QUOTE)=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=QUOTE=QUOTE，故目标被击中的概率为1-P(QUOTEQUOTEQUOTE)=1-QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分，共10分)7.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________.

【解析】“从200个螺杆中，任取一个是A型”记为事务B.“从240个螺母中任取一个是A型”记为事务C，则P(B)=QUOTE，P(C)=QUOTE，能配成A型螺栓为事务A.所以P(A)=P(BC)=P(B)P(C)=QUOTE·QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE8.同学甲参与某科普学问竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________.

【解析】设“同学甲答对第i个问题”为事务Ai(i=1，2，3)，则P(A1)=0.8，P(A2)=0.6，P(A3)=0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应事务A1A2A3∪A1QUOTEA3∪QUOTEA2A3发生，故所求概率为P=P(A1A2A3∪A1QUOTEA3∪QUOTEA2A3)=P(A1A2A3)+P(A1QUOTEA3)+P(QUOTEA2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(QUOTE)P(A3)+P(QUOTE)P(A2)P(A3)=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5=0.46.答案：0.46三、解答题(每小题10分，共20分)9.生产同一种产品，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率为0.05，从甲，乙机床生产的产品中各任取1件，求：(1)至少有1件废品的概率；(2)恰有1件废品的概率.【解析】从甲、乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事务A，B，则事务A，B相互独立，且P(A)=0.04，P(B)=0.05.(1)设“至少有1件废品”为事务C，则P(C)=1-P(QUOTEQUOTE)=1-P(QUOTE)P(QUOTE)=1-(1-0.04)×(1-0.05)=0.088.(2)设“恰有1件废品”为事务D，则P(D)=P(AQUOTE)+P(QUOTEB)=0.04×(1-0.05)+(1-0.04)×0.05=0.086.10.某田径队有三名短跑运动员，依据平常训练状况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成果合格的概率分别为QUOTE，QUOTE，QUOTE，若对这三名短跑运动员的100米跑的成果进行一次检测.(1)求三人都合格的概率；(2)求三人都不合格的概率；(3)求出现几人合格的概率最大.【解析】记甲、乙、丙三人100米跑成果合格分别为事务A，B，C，明显事务A，B，C相互独立，则P(A)=QUOTE，P(B)=QUOTE，P(C)=QUOTE.设恰有k人合格的概率为Pk(k=0，1，2，3).(1)三人都合格的概率：P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)三人都不合格的概率：P0=P(QUOTEQUOTEQUOTE)=P(QUOTE)P(QUOTE)P(QUOTE)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.(3)恰有两人合格的概率：P2=P(ABQUOTE)+P(AQUOTEC)+P(QUOTEBC)=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.恰有一人合格的概率：P1=1-P0-P2-P3=1-QUOTE-QUOTE-QUOTE=QUOTE=QUOTE.综合(1)(2)可知P1最大.所以出现恰有一人合格的概率最大.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1.掷一枚硬币两次，记事务A=“第一次出现正面”，B=“其次次出现反面”，则有 ()A.A与B相互独立 B.P(A∪B)=P(A)+P(B)C.A与B互斥 D.P(AB)=QUOTE【解析】选A.对于选项A，由题意得事务A的发生与否对事务B的发生没有影响，所以A与B相互独立，所以A正确.对于选项B，C，由于事务A与B可以同时发生，所以事务A与B不互斥，故选项B，C不正确.对于选项D，由于A与B相互独立，因此P(AB)=P(A)P(B)=QUOTE，所以D不正确.2.设两个独立事务A和B都不发生的概率为QUOTE，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事务A发生的概率P(A)是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由P(AQUOTE)=P(BQUOTE)，得P(A)P(QUOTE)=P(B)P(QUOTE)，即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)]，所以P(A)=P(B).又P(QUOTEQUOTE)=QUOTE，所以P(QUOTE)=P(QUOTE)=QUOTE，所以P(A)=QUOTE.3.(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是QUOTE，从乙袋中摸出一个红球的概率是QUOTE，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是 ()A.2个球都是红球的概率为QUOTEB.2个球不都是红球的概率为QUOTEC.至少有1个红球的概率为QUOTED.2个球中恰有1个红球的概率为QUOTE【解析】选ACD.设“从甲袋中摸出一个红球”为事务A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事务A2，则PQUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE，且A1，A2独立；在A中，2个球都是红球为A1A2，其概率为QUOTE×QUOTE=QUOTE，A正确；在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事务，其概率为QUOTE，B错误；在C中，2个球中至少有1个红球的概率为1-P(QUOTE)P(QUOTE)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE，C正确；在D中，2个球中恰有1个红球的概率为QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE，D正确.4.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为QUOTE和QUOTE，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为QUOTE+QUOTE；②目标恰好被命中两次的概率为QUOTE×QUOTE；③目标被命中的概率为QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE；④目标被命中的概率为1-QUOTE×QUOTE.其中说法正确的序号是 ()A.②③ B.①②③ C.②④ D.①③【解析】选C.设“甲射击一次命中目标”为事务A，“乙射击一次命中目标”为事务B，明显，A，B相互独立，则目标恰好被命中一次的概率为P(AQUOTE∪QUOTEB)=P(AQUOTE)+P(QUOTEB)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE，故①不正确；目标恰好被命中两次的概率为P(AB)=P(A)P(B)=QUOTE×QUOTE，故②正确；目标被命中的概率为P(AQUOTE∪QUOTEB∪AB)=P(AQUOTE)+P(QUOTEB)+P(AB)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE或1-P(QUOTEQUOTE)=1-P(QUOTE)P(QUOTE)=1-QUOTE×QUOTE，故③不正确，④正确.二、填空题(每小题5分，共20分)5.设某批电子手表的正品率为QUOTE，次品率为QUOTE，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次测到次品的概率为________.

【解析】第3次首次测到次品，所以第1次和第2次测到的都是正品，第3次测到的是次品，所以第3次首次测到次品的概率为QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE6.在某道路A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________.

【解析】由题意知每个交通灯开放绿灯的概率分别为QUOTE，QUOTE，QUOTE.所以所求概率P=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE7.假设10公里长跑，甲跑出优秀的概率为QUOTE，乙跑出优秀的概率为QUOTE，丙跑出优秀的概率为QUOTE，则甲、乙、丙三人同时参与10公里长跑，刚好有2人跑出优秀的概率为________.

【解析】刚好有2人跑出优秀有三种状况：其一是只有甲、乙两人跑出优秀的概率为QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE；其二是只有甲、丙两人跑出优秀的概率为QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE；其三是只有乙、丙两人跑出优秀的概率为QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE，三种状况相加得QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE，即刚好有2人跑出优秀的概率为QUOTE.答案：QUOTE8.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时的免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为QUOTE，QUOTE，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为QUOTE，QUOTE；两人租车时间都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________.

【解析】由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为QUOTE，QUOTE.设甲、乙两人所付的租车费用相同为事务A，则P(A)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE，即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为QUOTE.答案：QUOTE三、解答题(每小题10分，共30分)9.计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成果只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为QUOTE，QUOTE，QUOTE，在实际操作考试中“合格”的概率依次为QUOTE，QUOTE，QUOTE，全部考试是否合格相互之间没有影响.(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.【解析】(1)设“甲获得合格证书”为事务A，“乙获得合格证书”为事务B，“丙获得合格证书”为事务C，则P(A)=QUOTE×QUOTE=QUOTE，P(B)=QUOTE×QUOTE=QUOTE，P(C)=QUOTE×QUOTE=QUOTE.因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大.(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事务D，则P(D)=P(ABQUOTE)+P(AQUOTEC)+P(QUOTEBC)=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.10.甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7.记事务A：甲破译密码，事务B：乙破译密码.(1)求甲、乙二人都破译密码的概率；(2)求恰有一人破译密码的概率；(3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以随机事务“密码被破译”可以表示为A+B，所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8+0.7=1.5，请指出小明同学错误的缘由？并给出正确解答过程.【解析】(1)由题意可知P(A)=0.8，P(B)=0.7，且事务A，B相互独立，事务“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56；(2)事务“恰有一人破译密码”可表示为QUOTEB+AQUOTE，且QUOTEB，AQUOTE互斥，所以P(QUOTEB+AQUOTE)=P(QUOTEB)+P(AQUOTE)=P(QUOTE)P(B)+P(A)P(QUOTE)=0.2×0.7+0.8×0.3=0.38.(3)小明同学错误在于事务A，B不互斥，而用了互斥事务的概率加法公式.正确解答过程如下：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，可以表示为QUOTEB+AQUOTE+AB，且QUOTEB，AQUOTE，AB两两互斥，所以P(QUOTEB+AQUOTE+AB)=P(QUOTEB)+P