2024年高考最后一套压轴卷-数学试题（新高考Ⅰ卷） 含解析

2024高考压轴卷新高考I卷

数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴

在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷(选择题，共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合目要求的.

={x|^x<2)JV={X|-2<X<3)RCCZ,、

1.已知集合JJ,11则MCN=()

A.{x|0<x<4}B.{x|-2<x<4}

C.1x|0<x<31D.{x|0<x<4}

2.已知七三=2+i,则|z|=()

z

A.YB.立C.1D.2

22

3.已知向量2=(1/)1=(2,4),若3与3的夹角为6,则cos［学+ej

)

A而RM3版N3A/10

A..-------15.--------Lr>・----------

10101010

4.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究,设a瓦加(加>0)为整数，若。和b被

加除得的余数相同，则称。和b对模相同余，记为a三方(mod加)若

a=Ck2+CQ22+-+C2220M三b(mod9),则b的值可以是()

A.2018B.2020C.2022D.2024

1

5.记数列｛4｝的前〃项和为S*,若q=LS“+S”+i=3〃2+2〃+l,则S%=()

A.590B.602C.630D.650

6.已知抛物线C:/=2px的焦点为尸。,0),准线为/,尸为C上一点，尸。垂直,于点。，△尸。尸为等边三

角形，过尸。的中点加作直线M7?〃。尸，交X轴于R点，则直线的方程为()

A.岳+y—2有=0B，V3x+j-3-x/3=0

C.x~^3y—2,>/3=0D-x+~j3y—3-\f3=0

7.已知函数/'(x)=12,一“一a,g(x)=x2-4|x|+2-<7,贝！］()

A.当g(工)有2个零点时,f(x)只有1个零点

B.当g(x)有3个零点时,/(x)有2个零点

C.当/(x)有2个零点时,g(x)有2个零点

D.当/(x)有2个零点时,g(x)有4个零点

8.在四棱锥尸-43CD中，底面4ss为矩形，上4_L底面4s8,ZABD=60°,PB,尸。与底面

PA

488所成的角分别为a,且a+/=45。，则——二()

AB

ASR旧-3(而-2D.金

22,~T~2

二、多项选择题：本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知双曲线C：H----匚=1，则(

X+63-2

A.2的取值范围是(一6,3)B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上

C.C的焦距为6D.C的离心率e的取值范围为(1,3)

10.“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，

并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同.有几种阿基米德多面

体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体E-ABCD-尸的棱长为3,取各条棱的三等分点，截去六

个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体()

2

A.共有18个顶点B,共有36条棱

C.表面积为6+班D.体积为

11.重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人,其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗

赞日：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的

扇形COD,其中NCOD=?,OC=304=3,动点尸在①上（含端点），连结。尸交扇形048的弧令

于点0,且而=乂反+），无，则下列说法正确的是（）

B.若y=2x,则与•方=0

--------11

D.PAPB>—

C.ABPQ>-22

第n卷（非选择题，共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数〃x）=sin|@c+"+gcos皈+A/^COS<VX（0<网<1）的图象的一条对称轴为直

兀

线芯=一，则0=_________,

4

13.从分别写有数字1,2,3,5,9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为X,则

E(X)=________

14.记min{x,y,z}表示x,y,z中最小的数.设a>0,5>0,则min*H+3Z>>的最大值为.

3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列｛%｝的首项勾=2,且满足。.+4=3'2".

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）已知4=求使色｝取得最大项时〃的值.（参考值：0126）

4

16.某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下

表：

年份序号X12345

招生人数W千人0.811.31.72.2

（1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合）’与x的关系，请用相关系数加以证明;

（2）求y关于X的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数.

55_____

参考数据：龙=24.5,Z（y-y）~=L26,^^名3.55.

Z=12=1

fa-可（乃一刃

参考公式：相关系数-=下曰——、”回归方程3=床+〃中斜率和截距的最小二乘估计公

V7=1；=1

八1（演-元）（y-刃

式分别为5=——n---------------->a=y-bx-

Z（什）2

4

17.在四棱锥尸—中，平面PCD_L平面488,AB//CD,ABIBC,AB=2BC=2CD=4,

PC=5,E为棱48的中点，且CE_LPE.

(1)求四棱锥尸—A5CD的高；

(2)求二面角3—PC—E的正弦值.

18.已知椭圆：二+/=1和g：l+y2=i(a〉b>o)的离心率相同，设G的右顶点为4，G的左顶

a''b”

点为4，5(0,1),

(1)证明：BAXLBA2-

(2)设直线34与的另一个交点为P，直线与G的另一个交点为。，连尸。，求|尸0|的最大值.

参考公式：加3+〃3=(加+〃)(冽2-冽〃+〃[)

5

19.帕德近似是法国数学家亨利・帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数加，n,函

数f(x)在30处的［叫〃］阶帕德近似定义为：及⑺=%+…+匕",且满足：〃0)=&(0),

1+UiXH------rc?„X

"O)=R⑼，厂(0)=葭⑼，……,/E)(o)=*i)(o),注：r(x)=[r(x)];

r(x)=[r(x)^D,(X)]，/5,(x)=[/4)(x)]',……

已知函数/(*)=ln(x+l).

(1)求函数f(x)=ln(x+l)在x=0处的［1,1］阶帕德近似灭(x),并求lnl.1的近似数(精确到0.001)；

(2)在(1)的条件下:

①求证：京2?(x)*<1;

②若〃x)—加3+cosx恒成立，求实数加的取值范围.

6

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数学答案

1C【解析】M={X|G«2}={X|0«X44},N={X]-2<X<3},所以MCN={X[0«X<3}.

-i(l-i)_-i-1

-1--1.1

2B【解析】1--=2+i=>z=，所以z=(l+i)(l-i/丁

—1—i221

所以同=1[+㈢邛，故选：B.

3A【解析】由题意得侬'=崩=若需蚩=京'"[0,让

所以8s(夸+夕)=sing==~~■故选：A

4D【解析】a=C\-2+C}-22+---+C^-220=(1+2)：°-1=910-1,

XV0X0VXV\/

所以。除以9的余数是8,选项中只有2024除以9余8.故选：D

5A【解析】因为S.+S.+1=3/+2〃+1,

所以5.+$,+2=3(〃+1)2+2(〃+1)+1,

两式相减可得4+1+。冏2=6〃+5=+

;

由。1=1,Sj+S2=3xl+2xl+l=6,解得%=4,

所以勾+%=5,满足上式，故1H=6〃-1,

所以$20=(4+42)+(色+。4)+…+(%>+%))

10x(5+113)上一

=5+17+29+---+113=------^=590.故选：A

2

6B【解析】设直线/与X轴交于点〃，连接初小。尸(图略)，

因为焦点厂(1,0),所以抛物线的方程为J=4x,准线为X=-1,

则「闭=2」尸典=\PQ\,易知APQF是边长为4的等边三角形，

则/尸产0=/尸/7?=/0叩=601|断|=26，则河(1,2招).

因为//QF，所以直线MR的斜率为-,

7

直线必？的方程为36=0.

7.D【解析】本题考查函数的零点，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.

作出》=忙-1|,产/一4国+2的大致图象，如图所示.由图可知，当g(x)有2个零点时，f(x)无零

点或只有1个零点；当g(x)有3个零点时，/(x)只有1个零点；当/'(x)有2个零点时，g(x)有4个零

点.

8.B【解析】本题考查线面角与三角恒等变换，考查直观想象与数学运算的核心素养.

设AB-a,PA=b,因为Z.ABD=60°,所以AC-BD=2a,所以tana-tanZ.PBA=—,

b_+b_

tanP=tanNPC4=2.因为&+夕=45。，所以tan(a+P)=tana+tan力=_。12,_=],解得

la''1-tanatanP\--.—

ala

b>/17—3.

—=--------(负根已舍去).

9AC【解析】对于A,--------匚=1表示双曲线，二(2+6)(3-4)>0,解得-6<；l<3,故A正确;

X+63—几

对于B,由A项可得-6v；lv3,故2+6>0,3->l>0,的焦点只能在x轴上，故B错误；

对于C,设。的半焦距为则^=2+6+3-;1=9,.・.c=3,即焦距为2c=6,故C正确；

3.____

对于D,离心率e=J.+6,V-6<2<3,.•.()<〃+6<3,，e的取值范围是(L+=o),故D错误.

故选：AC.

10BD【解析】由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确；

8

该多面体的棱长为1,且表面由6个正方形和8个正六边形组成，故该多面体的表面积为

6xl+8x6x-xlxlxsin60°=6+1273,故C错误：

2

正八面体E-ABCD-户可分为两个全等的正四面体，其棱长为3,过H作EOJ_平面于。，连接

AO,如下图：

因为EO_L平面ABCD,且O4U平面48c0,所以OEJ_Q4,

正方形ABCD中，由边长为3,则对角线长为3e，则。/=述，

在RtZkNOE中，EO=^AE2-AO2=,则E产=2OE=3企，

正八面体E—HBCD—尸的体积为工x32x3j5=90,

3

切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为6XLX12X12=&,

32

所以该阿基米德多面体的体积为9/-JI=8JI，故D正确.故选：BD.

11ABD【解析】如图，作OEJ.OC,分别以OC,OE为x,y轴建立平面直角坐标系,

则N(l,0),C(3,0)I(—g,3设0(cosasin8),9£。'三,则尸(3cose,3sin6),

25

由O0=xOC+yOD可得8S。=3x——y,sin0--y，且x>0,y>0,

9

若》=工，则852夕+5由26=(3%-302+(逋工)2=1，解得K=y=g,(负值舍去)，故X+y=2,A

2233

正确；

八3一_______.

若y=2x,则85。=3.丫-3»=0,sin(9=l,所以0尸=(0,3),所以04.O尸=(1,0>(0,3)=0，故B

正确；

ABPQ=(-—,-^)■(-2cos0,-2sin6)=-/sine+3cos6

=-2^3sin由于Be0,y,故6-ge兀兀

故一3«-26sin(e—gj«3,故C错误；

由于尸4=(1-3cos0,-3sin0),PB-(-^-3cossin6)・

故PA-PB-(1-3cos仇一3sin6)•(-L-3cos优-3sinO')

17_.(兀、♦,八兀「兀5兀所以夕+

——3sin夕+―,而，+—£—,——sin|eje

2(6)6L66

——►17

所以尸4•尸3=5-3sin—,故D正确，故选：ABD

2-%—・/•/、・兀.兀。7兀.兀匚;

12.—L解析】j（X）=smcoxcos—+cos亚sin—+cosGJXCOS—+>/3sindzrsin—+v3cosa）x

33333

=2sinGX+2出cos6>x=4sin；（«r+—\,由于/'（x）的图象的一条对称轴为直线x=¥,

【3j4

所以二0+四=卫+碗（左eZ）,解得@=2+4左（左eZ）.

4323

22

又因为04如<1,所以勿=—.故答案为：

33

13.8【解析】从分别写有数字L2,3,5,9的5张卡片中任取2张卡片的所有10种结果中，

(1,2),(1,3),(1,5),(1,9),(2,3),(2,5),(2,9),(3,5),(3,9),(5,9),

2张卡片上的数字之和分别为：3,4,5,6,7,8,10,11,12,14,

10

尸(X=3)=尸(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=P(X=7)=P(X=8)

=E(X=10)=P(X=11)=P(X=12)=尸(X=14)=—

所以E(X)=\x(3+4+5+6+7+8+10+ll+12+14)=8.故答案为：8

14.2【解析】若a4g,则aZ>41,此时min；a,；,L+3b}=minja,」+36},

因为a([+36)=l+3ab«4,所以a和4+36中至少有一个小于等于2,

所以min[a,L+3b)«2,又当a=2,5=白时，。=L=工+36=2,所以min[a,；,L+36]的最大值

Ia2ba{baJ

为2.

若a>L,则而>1,此时min[a，:，L+3z4=min]!，L+35],

b[baJ[baJ

因为2PL+36]=3+3<4,所以工和4+35中至少有一个小于2,所以min[a,5,工+35)<2.

b\ajabbayba

综上，min{a,%：+3方}的最大值为2.故答案为：2.

15.(1)4=2"(2)4

【小问1详解】

因为+%=3x2",

所以a角—21=—。一2"),

又q=2,所以为一2二0,所以凡一2”=0=>q=2”.

【小问2详解】

由(1)有4=2",所以勾==—r

42

1[bk>bk.

设〃=左时，与最大，因为&=-,3=2>配，左>1,所以《L,，

2IA之如

11

,3

F>(l)3X—-4-85

亍L(3(k<

p>2jt-l)p></2A:-l)0-1,又keZ,

即《F--

之(区之上,解得

左3>(左+炉[2#4+1)3[4乎1k之k++11

k>-yj—=3.85

E亍厂</2-1

所以k=4,所以使色｝取得最大项时〃的值为4.

16.(1)证明见解析

(2)y=0.35x4-0.35,2.8千人.

【小问1详解】

由题意知元=((1+2+3+4+5)=3,y=1(0.8+1+1.3+1.7+2.2)=1.4,

(%—x)=4+1+0+1+4=10,

5_

不a-5盯

i=l24.5-5x3x1.43.53.5八…

所以〃=-----------7:——二----a-----把0.986.

玲(%一寸2(必一刃2<10x126712^3.55

7=1

因为7•与1非常接近，故可用线性回归模型拟合，与X的关系.

【小问2详解】

1>汉-5孙

3.5

2=1__________0.35,a=y-bx=1.4—0.35x3=0.35，

2(七-元『

7=1

所以，关于x的回归直线方程为£=0.35x+0.35.当x=7时，£=0.35x7+0.35=2.8,

由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千人.

17.(1)3(2)bUL

34

【小问1详解】

如图，过A作3c的平行线，与8的延长线交于点O,连接尸。，EO.

ABHCD,AB1BC,BC1CD,

•••平面PCD_L平面A8CD,平面PCZ)n平面4BCD=CO,BCu平面4BCD,

...8C1平面尸CD,

•；POu平面PCD,BC上PO,

12

ABI/CD,ABIICO,AOIIBC,ABIBC,

••・四边形45co为矩形，CO=48=4,

为棱43的中点，，CE=OE=2&，从而CELOE,

又因为CEJ_PE,PE[}OE=E,OEu平面丑EO,PEu平面PEO,

・•.废_1平面尸£0,；尸。匚平面附9,..。石_1尸0,

---BC[\CE=C,3Cu平面48a>,CEu平面HBCD，

PO上平面4BCD.

.•■尸。为四棱锥尸一48CD的高，即po=PC1-CO2=3，

.•・四棱锥产一48CD的高为3；

【小问2详解】

由(1)知，OA,OC,。尸两两垂直，

以。为坐标原点，OA,OC,OP所在直线分别为x轴、)'轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸(0,0,3),5(2,4,0),C(0,4,0),£(2,2,0),

所以赤=(2,0,0),正=(0,4,-3)，C£=(2,-2,0),

设掰=(苍凹2)是平面尸打。的法向量,

m-PC=4y-3z=Q,一

则〈_,可取加=(0,3,4),

m-CB=2x=Q,

设w=(p,q,r)是平面PCE的法向量.

n•PC=-3r=0,———m-n5J34

则〈_.可取〃=(3,3,4),所以8s〈私〃〉=一一=-----,

n-CE=2p-2q=Q,|w||«|34

所以二面角B-PC-E的正弦值为3恒.

34

18(1)证明见解析;

13

(2)速.

2

【小问1详解】

当a>l时，G的离心率q=

当0<a<l时，4的离心率g1y；

帜-1

当>>1时，。2的离心率与

二'

当0<力<1时，。2的离心率。2=Jl-A?；

又a>b>Q,所以而=1,且。>1>力>0；

由题意知4(。,0),(-6,0),即

则，生：》二衣+1,“:y=_；+1，

它们的斜率之积为=-1,因此§4

aJ

【小问2详解】

由(1)问知，C2:aV+/=l-

联立的与。2的方程“'=一5+1，将y消去得：p+4jx2--=0,

a2x2+y2=lI'J"

解得石=。，巧——J

a+1

又5(0,1)在曲线。2上，贝!1马=手-,处=-玄+1=富1,

a+1aa+1

14

卜=6+](1、

联立/娟与G的方程产+,2_],将y消去得：(/+薪卜2+2奴=0,

[a2

_3

解得再=0,x2=-^—

'/+]

_3-I_4

又5(0,1)在曲线G上，则々=一工：7，»2="2+1=冷？.

金_/A

因此尸。的中点。-^-7,0,连BC,因为54_1a42，即AP_L50,

I。+1)

所以|P°|=2忸C|=2

记/(4)=12q(4>1),当>'(a)最大时，|P0|也最大；

a4-1

(3/-l)(a4+1)-4々3-4)

可知f'(a)=1一八I—1

(。+1)

3a4+3a2-(a6+l)(a2+l)(-o4+4a2-1)

=3+i『二W’

令If(a)>0得_/+4/_1>0,解得2-g</<2+6,

又a>L则ae,j2+6，

令/'(a)<0得ae也+君,+8),

因此/'(a)在。=亚二方处取得最大值，

且最大值为斥万]=(1+H)匹^=也2+、)=遮.

，)8+4y/38+4y/34

因此|尸。|最大值为|尸0匕

2x

19(1)R(x)=——,lnl.b0.095(2)①证明见解析；②加=1

v7x+2

【小问1详解】

15

由题可知函数f(x)=hi(x+l)在x=0处的[1,1]阶帕德近似,

则氏(小记"'(")=十八上一岛-

由/(O)=R(O)得4=0,所以&(x)=

1+bxx

则R(X)=7H±^，又由f'(0)=及'(0)得勾=1,所以R'(x)=£i±r，

由/(O)=R"⑼得”"，所以双加二1][*,