人教版八年级数学上册《分式的运算（第5课时）》示范教学课件

人教版八年级数学上册分式的运算

第5课时问题

1．你还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质？

正整数指数幂：当

n是正整数时，an＝

a·a·…·a．

n个

正整数指数幂的运算性质：

（1）am·an＝am＋n（m，n是正整数）；

（2）(am)n＝amn（m，n是正整数）；

（3）(ab)n＝anbn（n是正整数）；

（4）am÷an＝am－n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）；

（5）

＝（n是正整数）．此外，我们还学习过0

指数幂，即当a≠0

时，a0＝1．问题

2．你能使用两种不同的方法计算a5÷a3（a≠0）吗？分式的约分am÷an＝am－n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）a5÷a3＝a5－3＝a2．＝

＝

＝a2．

an中的指数n可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂an表示什么？

当

n是正整数时，an＝a·a·…·a．

思考探究

你能试着计算a3÷a5（a≠0）吗？分式的约分a3÷a5＝

＝

＝

．am÷an＝am－n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）探究

你能试着计算a3÷a5（a≠0）吗？分式的约分am÷an＝am－n（a≠0，m，n是正整数）＝a3－5＝a－2．＝

＝

＝

．a3÷a5试想，我们如果规定a－2＝（a≠0），就能使am÷an＝am－n

这条性质也适用于像a3÷a5

这样的情形．为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定：一般地，当n

是正整数时，

a－n＝（a≠0）．这就是说，a－n（a≠0）是an的倒数．思考引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．你现在能说出当m

分别是正整数、0、负整数时，

am各表示什么意思吗？

当

m是正整数时，am表示m个a相乘；

当

m是

0时，设a≠0，am即为a0，值为1；

当

m是负整数时，设a≠0，am即为a－m的倒数．

例1

填空：（1）2－1＝_______，3－1＝_______，

＝_______；（2）3－2＝_______，2－3＝_______，－3－2＝_______．

解析：（1）2－1＝，3－1＝，

＝＝2；

（2）3－2＝＝，2－3＝＝

，－3－2＝＝．2

a－n＝（a≠0，n

是正整数）这个公式也可以写成a－n＝，其中a≠0，n

是正整数，当遇到负整数指数幂的底数是分数或分式时，应用此结论比较方便．如：＝＝．探究引入负整数指数和0指数后，am·an＝am＋n（m，n是正整数）这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？

分析：从特殊情形入手，取m，n分别为正整数和负整数、负整数和负整数、零和负整数几种情况进行研究（a≠0）．（1）当m，n分别为正整数和负整数时，a3·a－5＝a3·

＝＝a－2＝a3＋(－5)，即a3·a－5＝a3＋(－5)．am·an＝am＋n（2）当m，n均为负整数时，a－3·a－5＝·

＝＝a－8＝a(－3)＋(－5)，即a－3·a－5＝a(－3)＋(－5)．am·an＝am＋n（3）当m，n分别为零和负整数时，a0·a－5＝1·

＝＝a－5＝a0＋(－5)，即a0·a－5＝a0＋(－5)．am·an＝am＋n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用．am·an＝am＋n类似地，我们用负整数指数幂或0指数幂对其他正整数指数幂的运算性质进行试验，可以发现这些性质在整数指数幂范围内也适用．归纳试着自己来验证这些运算性质吧．

例2

计算：（1）a－2÷a5；

（2）；

（3）(a－1b2)3；

（4）a－2b2·(a2b－2)－3．

解：（1）a－2÷a5＝a－2－5＝a－7＝；

（2）

＝

＝a4b－6＝；

例2

计算：（1）a－2÷a5；

（2）；

（3）(a－1b2)3；

（4）a－2b2·(a2b－2)－3．

解：（3）(a－1b2)3＝a－3b6＝；

（4）a－2b2·(a2b－2)－3＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝．整数指数幂的计算方法（1）利用负整数指数幂的意义，首先把负整数指数幂都转化为正整数指数幂，然后用分式的乘除计算．（2）先直接运用整数指数幂的性质计算到最后一步，再写成正整数指数幂的形式．探究能否将整数指数幂的5条运算性质进行适当合并？名称符号表示同底数幂的乘法am·an＝am＋n（m，n是整数）幂的乘方(am)n＝amn（m，n是整数）积的乘方(ab)n＝anbn（n是整数）同底数幂的除法am÷an＝am－n（a≠0，m，n是整数）分式的乘方

＝（n是整数）当m，n为整数时，am÷an＝am－n＝am＋(－n)＝am·a－n，即同底数幂的除法am÷an可以转化为同底数幂的乘法am·a－n．特别地，

＝a÷b＝a·b－1，所以＝(a·b－1)n，即商的乘方可以转化为积的乘方(a·b－1)n．探究归纳