最大值与最小值(1)课件高二上学期数学选择性

第5章导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.3最大值与最小值(1)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.结合实例，理解函数极值与最值的区别与联系．2.会利用导数求函数的最大值、最小值．3.在解决问题的过程中注意体会数形结合思想、分类讨论思想的应用．活动方案1.(1)复习巩固：极值的概念与极值的求法：活动一掌握最值的概念，理解极值与最值的联系与区别【解析】

略(2)【解析】最值的概念：如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值(最小值)．最值的概念：(3)观察上述函数图象，探究如何求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值，思考函数的极值与最值有什么联系与区别．【解析】观察函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可知，f(x1)，f(x3)是极大值，而f(b)>f(x3)>f(x1)，所以f(b)是最大值；f(x2)，f(x4)是极小值，而f(x2)<f(a)<f(x4)，所以f(x2)是最小值．联系：若函数f(x)在区间[a，b]上是连续的，其最值只能在极值点或端点处取得．区别：最值是整体概念，极值是局部概念．2.结合上例，试给出求函数f(x)在区间[a，b]上最值的一般步骤．【解析】①求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；②将求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．例1求函数f(x)＝x2－4x＋3在区间[－1,4]上的最大值与最小值．活动二掌握求函数最值的方法【解析】令f′(x)＝2x－4＝0，解得x＝2.列表如下：由上表可知，函数f(x)在区间[－1,4]上的最大值是8，最小值是－1.x－1(－1,2)2(2,4)4f′(x)

－0＋

f(x)8

－1

3思考1►►►若将区间[－1,4]改为区间(－1,4)，结果会怎样？【解析】无最大值，最小值是－1.列表如下：由上表可知，函数f(x)在区间[0,2π]上的最大值是π，最小值是0.思考2►►►【解析】例3已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a，b，使函数f(x)在区间[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．活动三掌握与函数最值有关的参数的取值范围问题【解析】显然a＝0不符合题意．f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．①若a>0，由f′(x)>0，得x<0或x>4，所以函数f(x)在区间[－1,0]上单调递增，在区间(0,2]上单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝b＝3.又f(－1)＝3－7a，f(2)＝3－16a，所以f(x)min＝f(2)＝3－16a＝－29，解得a＝2；②若a<0，由f′(x)>0，得0<x<4，所以函数f(x)在区间[－1,0]上单调递减，在区间(0,2]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29，所以f(x)max＝f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.(1)当a＝3时，求函数f(x)的极值；则f′(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，当x＜－1或x＞3时，f′(x)＜0；当－1＜x＜3时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递减，在区间

(－1,3)上单调递增，所以实数a的值为1.检测反馈245131.(2023河南大联考期末)函数f(x)＝x－3x3，x∈[0,1]的最大值是(

)C.0 D.1【答案】B245132.(2023西安鄂邑期中)已知函数f(x)＝alnx－x(a∈R)在区间(e，＋∞)上有最值，则实数a的取值范围是(

)C.(－∞，e] D.(－∞，－e)24513【答案】A24533.(多选)(2023衡阳二中期末)已知函数f(x)＝(x2－3x＋1)ex，则下列说法中正确的是(

)A.f(x)在R上有两个极值点B.f(x)在x＝－1处取得最小值C.f(x)在x＝2处取得极小值D.函数f(x)在R上有三个不同的零点1【解析】由题意，得f(x)的定义域为R，f′(x)＝(x2－x－2)ex＝(x－2)(x＋1)ex.当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－1,2)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递增，在区间2453【答案】AC12453124535.求下列函数的最值：(1)f(x)＝x3－3x2－10，x∈[－1,1]；124531【解析】(1)f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，x∈[－1,1]．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．列表如下：所以当x＝－1时，函数取最小值f(－1)＝－14；当x＝0时，函数取最大值f(0)＝－10.x－1(－1,0)0(0,1)1f′(x)

＋0－

f(x)－14

极大值－10

－1224531令f′(