教师资格认定考试高级中学数学模拟题11

教师资格认定考试高级中学数学模拟题11一、单项选择题1.

已知曲面方程为x2+y2+z2-2x+8y+6z=10，则过点(5，-2，1)的切平面方程为______A.2x+y+2z=0B.2x+y+2（江南博哥）z=10C.x-2y+6z=15D.x-2y+6z=0正确答案：B[解析]方法一：设球面方程为=x2+y2+z2+2px+2qy+2rz+d=0，则过球面上点(x0，y0，z0)的切平面方程为：x0x+y0y+z0z+p(x+x0)+q(y+y0)+r(z+z0)+d=0。由曲面方程为x2+y2+z2-2x+8y+6z=10可知p=-1，q=4，r=3，d=-10，则过点(5，-2，1)(点在球面上)的切平面为5x-2y+z-(x+5)+4(y-2)+3(z+1)-10=0，整理得2x+y+2z=10。方法二：曲面x2+y2+z2-2x+8y+6z=10为球面，标准方程为(x-1)2+(y+4)2+(z+3)2=36，球心为(1，-4，-3)，半径为6，由A、B、C、D四个选项中，只有B、C过点(5，-2，1)，故A、D排除。同时球心到切平面的距离应该等于球的半径，选项B，球心到平面的距离为，等于球半径，满足题意，故选B。

2.

已知线性方程组AX=kβ1+β2有解，其中，则k等于______A.1B.-1C.2D.-2正确答案：D[解析]已知线性方程组是非齐次的，方程组有解，则系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，由此可以求出k。因为已知线性方程组AX=kβ1+β2，将AX=kβ1+β2的增广矩阵作初等行变换，

，即-5k-10=0，得k=-2。故选D。

3.

有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算正确的是______A.ACB.ABCC.AB-BCD.AC+BC正确答案：B[解析]两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同，矩阵加减要求矩阵要具有相同的列数和行数。所以矩阵A和C不能相乘，A错；AB为3×3的矩阵，BC为2×3的矩阵，二者不能做减法运算，所以C项错误；同理D项也错。故正确答案选B。

4.

二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2-2x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2正定的充分必要条件是______A.a＜-1B.a≠-1C.a≠1D.a＞1正确答案：C[解析]根据二次型正定，即对任意x≠0，f(x)＞0，又由题干中f的结构，知恒有f≥0，题干中二次型正定等价于齐次线性方程组只有零解，即系数矩阵的行列式，得a≠1，故选C。

5.

设事件A，B相互独立，P(B)=0.5，P(A-B)=0.3，则P(B-A)=______A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4正确答案：B[解析]P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)-0.5P(A)=0.5P(A)=0.3，所以P(A)=0.6，P(B-A)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=0.2，故选B。

6.

设f(x)连续，，则F'(x)等于______A.f(x4)B.x2f(x4)C.2xf(x4)D.2xf(x2)正确答案：C[解析]f'(x)=(x2)'·f(x4)=2xf(x4)，故答案选C。

7.

设随机变量X，Y不相关，且E(X)=2，E(Y)=1，D(X)=3，则E(X+Y-2)=______A.-3B.3C.-5D.5正确答案：D[解析]E(X(X+Y-2))=E(X2)+E(XY)-2E(X)=DX+(EX)2+EX·EY-2EX=5。故选D。

8.

设X是一个集合，ρ=X×X→R，如果关于任何x，y，z∈x，有(ⅰ)ρ(x，y)≥0，并且ρ(x，y)=0，当且仅当x=y；(ⅱ)ρ(x，y)=ρ(y，x)；(ⅲ)ρ(x，z)=ρ(x，y)+ρ(y，z)，则称ρ是集合X的一个度量。此度量的定义方式是______A.公理式定义B.外延式定义C.属种差异式定义D.递归式定义正确答案：A[解析]题干叙述的三条分别是度量的三条公理：正定性、对称性和三角不等式。即此度量的定义方式是以公理的形式给出的，故选A。

二、简答题(每小题7分，共35分)1.

求由两个圆柱而x2+y2=2与z2+x2=a2所围成的立体的体积。正确答案：解：如图所示为所求立体在第一卦限部分的图象(占整体的八分之一)。对任一x0∈[0，a]，平面x=x0与这部分立体的截面是一个边长为的正方形，所以截面函数A(x)=a2-x2，x∈[0，a]。由定积分的知识知，对截面函数A(x)在区间[0，a]上积分就是该立体在第一卦限部分的体积。所以。

2.

已知矩阵，求矩阵A的特征值和特征向量。正确答案：解：矩阵A的特征多项式为，所以，由λ(λ-1)2=0知A的特征根λ1=0，λ2=λ3=1。

当λ=0时，由得x1=2x3，x2=-x3，因此，属于特征值0的特征向量为。当λ=1时，由得x1=x3，x2=0，因此，属于特征值1的特征向量为

3.

在一次军事演习中，某舟桥连接到命令要赶到某小河D岸为行进中的A部队架设浮桥。假设舟桥连到达D岸的时间服从7点到7点30分这时间段内的均匀分布，架设需要20分钟时间，A部队到达D岸的时间服从7点30分到8点这时间段内的均匀分布。且舟桥连的到达时间和A部队的到达时间相互独立。则求A部队到达D岸时能立即过桥的概率。正确答案：解：假设7点是零时，记x，y分别表示舟连桥与A部队到达D岸的时间，则A部队达到D岸时能立即过桥的充要条件是这是一个几何概型(如图所示)，所求概率是。

4.

为什么说平面向量改变了中学数学内容的结构?正确答案：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数和几何的一种工具。向量作为一个既有方向又有大小的量，在现代数学的发展中有着不可替代的作用。

运算及其规律作为代数的基本研究对象，贯穿中学数学内容的始终。向量可以进行多种运算，并具有一系列丰富的性质，所以和数的运算相比，向量运算不仅扩充了运算的对象，还扩充了运算的性质。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。从小学开始，学生所接触的运算对象就在不断地扩展，从整数到分数，从正数到负数，从有理数到实数、复数，从数到字母、多项式等。数运算，字母、多项式运算，向量运算，函数、映射、变换运算，矩阵运算等都是数学中的基本运算。从数运算到字母运算，是运算的一次飞跃。从数运算到向量运算，是运算的又一次飞跃。

具体的图形是中学数学内容的另一重要研究对象。向量可以用来表示空间中的点、线、面。如果以坐标系原点为起点，向量就与空间中的点建立了一一对应关系；一点和一个非零向量可以唯一确定一条直线，它通过这个点且与给定向量垂直。在高维空间中，这种表示十分有用，还可以表示曲线、曲面。因此，向量可以描述、刻画、替代集合中的基本研究对象——点、线、面，它也是几何研究的对象。向量是几何研究对象，这种认识很重要。在立体几何中，可用向量来讨论空间中点、线、面之间的位置关系；判断线线、线面、面面的平行与垂直，用向量来度量几何体；计算长度、角度、面积等。

由此可见，平面向量扩展了中学的运算，丰富了图形的研究方法，为学生今后进一步学习其他数学内容，体会数学的真浠奠定了基础。

5.

简述《普通高中数学课程标准》(实验)中必修课程内容确定的原则和选修课程内容确定的原则。正确答案：必修课程内容确定的原则：满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备。

选修课程内容确定的原则：满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础。其中，系列1是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的，系列2则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。系列1、系列2内容是选修系列课程中的基础性内容。系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容反映了某些重要的数学思想，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有利于学生终身的发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。

三、解答题(10分)1.

设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f'(x)≥0，g'(x)≥0。证明：对任何a∈[0，1]，有。正确答案：证：设，

则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且f'(x)=g(x)f'(x)-f'(x)g(1)=f'(x)[g(x)-g(1)]，由于x∈[0，1]，f'(x)≥0，g'(x)≥0，因此f'(x)≤0，即F(x)在[0，1]上单调递减。

注意到，而

故F(1)=0。

因此x∈[0，1]时，F(x)≥0，由此可得对任何a∈[0，1]，有。

四、论述题(15分)1.

在讲解立体几何的有关概念时，我们常常借助实物模型或图形，这体现了数学教学哪一原则的要求?并做简要的分析。正确答案：这体现了数学教学中的具体与抽象相结合的原则。

从具体到抽象符合学生在学习过程中从感知到理解，从表象到概念的认识规律。学生认识数学理论时，是从生动直觉开始。理性知识的形成，必须具有感性知识基础。只有在此基础上，进一步区分这些研究对象所共有的，决定它们性质的本质属性和仅是个别对象特有的非本质属性，这样才能在头脑中形成理性知识。

例如：学习数学概念时，首先，可通过一定的感性材料得到具体对象的感知和表象，然后抽象概括出对象的本质属性，再用概念去解决具体问题，这个过程体现了由具体到理性的抽象，由理性到更为广泛的具体的认识。数学教学实践表明，通过实物直观、模型直观、语言直观使学生形成鲜明表象，是学生掌握数学理论知识的重要环节，也是贯彻抽象与具体相结合原则的前提。在数学教学中贯彻这一原则时，首先要着重培养学生的抽象思维能力。所谓抽象思维能力，是指脱离具体形象，运用概念、判断、推理等进行思维的能力。按抽象思维不同的程度，可分为经验型抽象思维和理论型抽象思维。在教学中，我们应着重发展理论型抽象思维，因为只有理论型抽象思维得到充分发展的人，才能很好地分析和综合各种事物，才有能力去解决问题。其次，要培养学生的观察能力和提高抽象慨括能力。在教学中，可通过实物教具，利用数形结合，以形代数等手段。例如，讲对数函数有关性质时，可先画出图象，再观察图象抽象出有关性质。

五、案例分析题(20分)某教师的例题解题课如下：

环节一：教师给出例题，已知椭圆C的左焦点F(-1，0)，且点在椭圆C上，求椭圆C的标准方程，接着老师请学生做大约30秒，教师站在讲台上观察。

环节二：教师请学生甲站起来说解题过程，同时板书学生甲的过程，并及时矫正如图一。

图一

环节三：教师请学生乙站起来说解题过程，同时板书学生乙的过程，并及时矫正如图二。

图二

环节四：教师结合板书总结出关于椭圆方程的两种求法：待定系数法、定义法，并板书在黑板上。

环节五：学生做课堂练习，求与椭圆方程4x2+9y2=36有相同焦点，且过(-3，2)的椭圆的标准方程。

随堂观察学生的课堂练习情况发现一种现象：学生求解例题用哪种方法，课堂练习依然使用同种方法，这说明案例中教学并没有促进学生对解题方法进行优化。

问题：1.

说明案例中这位教师在教学过程中哪些做法符合教学规律?正确答案：课程的内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果形成的过程和蕴含的数学思想方法，老师让学生独立思考，处理好了直接经验与间接经验的关系，在教学活动中师生积极参与、交往互助、共同发展，在教学活动中让学生独立思考，激发了学生学习的兴趣，鼓励学生的创造性思维，可以培养学生良好的学习习惯，掌握恰当的学习方法，而且教师在学生给出结果后给予矫正，学生获得正确的知识，掌握一题多解的方法。

2.

你认为这位老师还可以有哪些改进?正确答案：教师在此次教学过程中没有让学生自己总结得出结论，学生的主体作用及教师的学生学习的合作者、组织者和引导者的作用没有发挥，教师板书总结缺乏了学生积极参与，而且在学习数学的过程中教师并没有给学生足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。教师应该注重启发式教学和因材施教，应当处理好教师教与学生自主学习的关系。引导学生独立思考、主动探索、合作交流．使学生掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。

3.

本节内容蕴含了哪些数学思想方法?正确答案：数形结合思想、转化化归思想。

六、教学设计题(30分)请以“直线与平面平行的判定”为课题，完成下列教学设计。1.

设计本节课的教学目标；正确答案：教学日标：

知识与技能：理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法，并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。

过程与方法：通过直观感知—观察—操作确认的认识方法，在过程中逐渐培养观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。

情感、态度与价值观：在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

2.

设计本节课的教学重难点；正确答案：教学重点与难点：

重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立体空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。

3.

写出新课引入和新知探究、巩固应用等环节及设计意图；正确答案：教学过程设计：

①知识准备，新课引入

提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面α有哪几种位置关系?学生小组内讨论后，得出结论。

提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行，你认为方便吗?谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。

(设计意图：通过提问，学生复习并归纳空间直线与平面位置的关系而引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理做好准备)

②判定定理的探求过程

a．)直观感知

提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗?

生1：日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。

生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前做演示)，然后教师用多媒体动画演示。

b．)动手实践

教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置，给人以平行的感觉，而当把直角所在的腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师与前、后墙而平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上做上述情形的演示)。

(设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质)

c．)探究思考

上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同?关键是什么因素起了作用呢?通过观察感知发现直线与平