2025版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数本章达标检测含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE10本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f(x)=ln(x+1)A.(-1,+∞) B.(-1,2)∪(2,+∞)C.(-1,2) D.[-1,2)∪(2,+∞)2.已知a=20.2,b=20.3,c=0.20.3,则 ()A.b>a>c B.a>b>cC.b>c>a D.a>c>b3.由表格中的数据,可以推断方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间是 ()x01234ex12.727.3920.0954.603x+22581114A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)4.某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减.现医生为某病人注射了2000mg该药物,那么x小时后病人血液中这种药物的含量为 ()A.2000(1-0.2x)mg B.2000·0.8xmgC.2000(1-0.2x)mg D.2000·0.2xmg5.已知关于x的方程x2-(2m-8)x+m2-16=0的两个实数根x1,x2满意x1<32<x2,则实数m的取值范围为 (A.m<4 B.-12<m<4C.72<m<4 D.-12<6.函数y=2x+1x37.已知函数f(x)=lnx,x>0,-ln(-x),x<0,A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,0)∪(0,1)C.(-∞,-e)∪(0,e) D.(-∞,-1)∪(0,1)8.若函数f(x)=ax,x≥1,4-a2x+2,x<1,且满意对随意的实数x1,x2(x1A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.若0<m<n<1,则 ()A.log4m<log4n B.3n<3mC.logm3<logn3 D.14m10.设函数f(x)=2x,对于随意的x1,x2(x1≠x2),下列式子成立的是 ()A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)C.f(D.fx1+11.设函数y=ln(x2-x+1),则下列命题中正确的是 ()A.函数的定义域为RB.函数是增函数C.函数的值域为RD.函数的图象关于直线x=1212.已知函数f(x)的定义域为D,若对随意x∈D,都存在y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称函数f(x)为“M函数”.下列所给出的函数中是“M函数”的有 ()A.y=x2 B.y=1xC.y=2x-1 D.y=ln(x三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.log233×log32=14.把物体放在冷空气中冷却,假如物体原来的温度是θ1℃,空气的温度是θ0℃,tmin后物体的温度θ(℃)可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t求得.把温度是100℃的物体,放在10℃的空气中冷却tmin后,物体的温度是40℃,那么t的值约等于.(保留两位小数,参考数据:ln3≈1.099)

15.已知x,y∈R,在实数集R中定义一种运算xy=xy+x+y-1,则24=,函数f(x)=2x42x的最小值为.(本小题第一空2分,其次空3分)

16.已知函数f(x)=x2-2x+logaax-1在1,32内恒小于零四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=log2(x2+a+x)(a∈R)满意f(x)+f(-(1)求a的值;(2)若函数g(x)=2f(-x)+1-x2+1,证明:g(x2-x)≤18.(本小题满分12分)计算下列各式的值.(1)(32×3)6+(-2025)(2)log23×log34×log45×log254.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a12|x|+b的图象过原点,且无限接近直线(1)求该函数的解析式,并推断该函数的奇偶性;(2)若不等式m·[1-f(x)]>14x+1对随意的x∈[-2,2]恒成立,求m20.(本小题满分12分)某食品厂对蘑菇进行深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5),设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),依据市场调查,日销售量q(单位:千克)与ex成反比,每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克.(1)求该工厂的日销售利润y(单位:元)关于每千克蘑菇的出厂价x(单位:元)的函数关系式;(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时,该工厂的日销售利润y为100e4元?21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2ax+9.(1)当a≤0时,设g(x)=f(2x),证明:函数g(x)在R上单调递增;(2)若∀x∈[1,2],f(2x)≤0恒成立,求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)在(-3,9)上有两个零点,求实数a的取值范围.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+(m-2)x-m,g(x)=f(x)x,且函数y=f((1)求g(x)的解析式;(2)若不等式g(lnx)-nlnx≥0在1e2,1上恒成立,(3)若函数y=g(log2(x2+4))+k·2log2(x2+4

答案全解全析一、单项选择题1.B由题意得x+1>0,x-2≠0,所以x>-1且x≠2,即f(x)2.Ac=0.20.3<1<a=20.2<b=20.3,∴b>a>c.故选A.3.C设f(x)=ex-3x-2,由题表知,f(0)、f(1)、f(2)均为负值,f(3)、f(4)均为正值,且f(x)的图象是一条连绵不断的曲线,因此方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间为(2,3),故选C.4.B由题意知,该种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减,给某病人注射了2000mg该药物,x个小时后病人血液中这种药物的含量为y=2000·(1-20%)x=2000·0.8x(mg),故选B.5.D设f(x)=x2-(2m-8)x+m2-16,由题意可得,f32<0,即322-(2m-8)×32+m2-16<0,即4m2-12m-7<0,解得-12<m<6.B易得函数y=2x+1x34x+1为奇函数,选项C错误;当x>0时,y>0,选项D错误;当x=4时,y=211287.D当m>0时,-m<0,所以f(m)+2f(-m)=lnm-2lnm>0,即-lnm>0,解得0<m<1.当m<0时,-m>0,所以f(m)+2f(-m)=-ln(-m)+2ln(-m)>0,即ln(-m)>0,解得m<-1.综上,实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(0,1),故选D.8.D∵对随意的实数x1,x2(x1≠x2),都有f(x1∴函数f(x)=ax,x≥1,4-a2x+2,二、多项选择题9.AD因为y=log4x在(0,+∞)上单调递增,且0<m<n<1,所以log4m<log4n,故A正确;因为y=3x在R上单调递增,且0<m<n<1,所以3n>3m,故B错;取m=14,n=12,知logm3>logn3,故C错;由指数函数的性质可知D正确.故选10.ACDf(x1+x2)=2x1+x2,f(x1)·f(x2)=2x1·2x2=2x1+x2=f(x1+x2),所以A成立;f(x1·x2)=2x1·x2,f(x1)+f(x2)=2x1+2x2≠2x1·x2=f(x1·x2),所以B不成立;易知函数f(x)=2x在R上是单调递增函数,11.ADA正确,∵x2-x+1=x-122+34B错误,函数y=ln(x2-x+1)在x>12时是增函数,在x<12C错误,由x2-x+1=x-122+34≥34可得y=ln(x2-∴函数的值域为ln3D正确,函数的图象关于直线x=12对称.故选12.BD依题意得,若b是f(x)的值域中的数,则-b也是值域中的数,即f(x)的值域关于原点对称,选项A中函数的值域为[0,+∞),不是“M函数”;选项B中函数的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),是“M函数”;选项C中函数的值域为(0,+∞),不是“M函数”;选项D中函数的值域为R,是“M函数”.故选BD.解题模板精确理解题意是解题的关键.“对随意x∈D,都存在y∈D,使得g(y)=f(x)成立”的含义是“f(x)的值域是g(y)的值域的子集”.本题中“对随意x∈D,都存在y∈D,使得f(y)=-f(x)成立”,意思是若s在函数f(x)的值域内,则-s也在函数f(x)的值域内,从而解决问题.三、填空题13.答案1解析log233×log32=13log23×log32=14.答案4.58解析由题意可得40=10+(100-10)·e-0.24t,化简可得e-0.24t=13,∴-0.24t=ln1∴0.24t=ln3≈1.099,∴t≈4.58.15.答案13;7解析由已知得24=2×4+2+4-1=13.函数f(x)=2x42x=4+2x+42x-1=3+2x+42x≥3+22x所以函数f(x)=2x42x的最小值为716.答案1解析f(x)=x2-2x+logaax-1在1,32内恒小于零,即(x-1)2<loga(x-1)对于x∈1,32恒成立,画出函数y=(x-1)2与y=loga(x-1)的图象(图略四、解答题17.解析(1)因为f(x)+f(-x)=0,所以log2(x2+a+x)+log2((-x)2则log2a=0,则a=1. (5分)(2)证明:由(1)知f(x)=log2(x2+1+所以g(x)=2log2(x2+1-则g(x2-x)=1-x2+x=-x-122+54≤18.解析(1)(32×3)6+(-2025=108+1-7+π-3 (4分)=99+π. (6分)(2)原式=log23×(2log32)×12log25=lg3lg2×lg2lg3×lg5lg2×lg2lg5=119.解析(1)依题意得b=1, (2分)由f(0)=0得a+1=0,解得a=-1. (4分)因此f(x)=-12|x且f(-x)=-12|-x|+1=-12|x|+1=f(x),故函数f(2)不等式m·[1-f(x)]>14x+1可化为m>依题意知m>14x+112|x|对随意的令y=14x+112|x|,x∈[-2,2],则令t=12x,当x∈[0,2]时,t∈14,1,y=t2+1t=t+1t,当t=14时,y当x∈[-2,0)时,t∈(1,4],y=t2+1t-1=当t=4时,y取得最大值,最大值为68. (11分)综上,m的取值范围为m>68. (12分)20.解析(1)设日销售量q=kex(25≤x≤40,k为常数),则ke30=100,∴k=100e30∴日销售量q=100e30ex(25≤x≤∴y=100e30(x-20-t)(2)当t=5时,y=100e30(x令y=100e4,则x-25=ex-26, (8分)画出函数y=x-25与y=ex-26的图象如图所示,由图可得方程x-25=ex-26的解为x=26, (11分)∴当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的日销售利润为100e4元. (12分)21.解析(1)证明:g(x)=f(2x)=4x-2a·2x+9, (1分)任取x1,x2∈R,且x1<x2,则g(x2)-g(x1)=4x2-2a·2x2+9-(4x=4x2-4x1-2a(2x2-2x1)=(2x2-2x=(2x2-2x1)(2x2+2∵函数y=2x在R上单调递增,∴2x2>2x1,即又2x2+2x1>0,a≤0,∴2x∴(2x2-2x1)(2x2+2x1-2a)>0,∴g(∴函数g(x)在R上单调递增. (4分)(2)设t=2x(1≤x≤2),则2≤t≤4,∀x∈[1,2],f(2x)≤0恒成立,即∀t∈[2,4],t2-2at+9≤0恒成立,即2a≥t+9t(t∈[2,4]),令h(t)=t+9t(t∈[2,4]), (6易得h(t)在[2,3]上单调递减,在[3,4]上单调递增,又h(2)=132,h(4)=254,∴h(t)的最大值为132,∴2a≥132,即∴实数a的取值范围为134,+∞(3)∵函数f(x)在(-3,9)上有两个零点且f(x)=x2-2ax+9的图象的对称轴为直线x=a,∴-3<a<解得3<a<5.∴实数a的取值范围为(3,5). (12分)22.解析(1)∵f(x)=x2+(m-2)x-m,∴f(x-2)=(x-2)2+(m-2)(x-2)-m=x2+(m-6)x+8-3m. (2分)∵y=f(x-2)是偶函数,∴m-6=0,∴m=6,∴f(x)=x2+4x-6,∴g(x)=x-6x+4(x≠0). (4分(2)令lnx=t,∵x∈1e2,1∵不等式g(lnx)-nlnx≥0在1e2∴g(t)-nt≥0在t∈[-2,0)上恒成立. (