2024年中考数学复习15个相似模型及构造练习

相似模型及构造15个专题练习

专题一相似模型及构造⑴一平行构相似

01.（2020二中）如图,△ABC中,D,E分别为边AB,AC上的一点，且〃8GS^ADR=S仄边彩DEC8呗必ABC与4ADE相似比的值

为—.

02.（2021连云港）如图,△ABC中,BD_LAB,BD,AC相交于点D,AD=^AC,AB=2,乙ABC=150。，则△DBC的面积是一

03.如图，点O是四边形ABCD对角线AC,BD的交点,4BAD与乙1CB互补，器=辅。=6,AB=7,AC=5,则BC的长为.

D

04.（2023广东）边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图）,则图中阴影部分的面积为

10

05.如图，已知.AB=AC./.B<30°„BC上一点D,满足.NB4D=120。,若黑=；则%=

OU3AC

06.如图,△ABC中，ZBAC=90°,AD±BC于点D,点M在AD上,且2ADAM=BDDC,BM交AC于点E,EF±BC于点F,若AE=4,EC

=9,求EF的长.

07.如图,在2\ABC中,AC>AB,AD是角平分线,AE是中线,BF14D于点G,交AE于点F,交AC于点M,EG的延长线交AB于点H,

若NBAC=60。厕卷=

08.如图,在△ABC中，点D在AB边上，点F在BC边上,过点D作DE||BC交AC于点E,AF交DE于点M,在DC上取点N.使MN〃AC,

连接FN.

⑴求证：,=DN

CN

(2)若AB=5,BC=6,AC=4,当MN=FN时,求BF的长.

BC

专题二相似模型及构造⑵一射影型与子母型

核心考点一认识模型

01.如图,△ABC中.ZBAC=90°,D为AC的中点4E1BD,E为垂足,求证:ZCBD=ZECD.乙CBD=4ECD.

核心考点二直接应用模型

02.（2021福建）如图力ABC中,.AB=5,AC=3,点D在边AB上,且LACD=则线段AD的长为

03.（2020华源）AABC中.AB=6,/.ABC=60°„D为BC上一点,“4C=60°,0°,若BD=x,CB=y,则y与x之间的关系为、

04.在.AABC^p,Z.BCA=90°,BC=AC,,D为AB边上一动点,连接CD,E为CD中点连接BE.若KBED=45。,。,则党的值为

核心考点三射影型与子母型、勾股定理结合

05.（2019—初）如图,在4ABC中,.AC=AB,LBAC=90°„D为边AC上一点,AH1BD于点H,连接CH.延长AH交BC于点E,若AC

=6/DHC=45°„则EH的长是_____.

A

D

核心考点四构造子母型模型

06.（2020外校）如图.M,N分别是口ABCD边BC,CD的中点若乙MAN=/B,AAN=NB,则整的值为」

核心考点五构造一线三等角与子母型结合

07.（2021六中）如图，在△ABC中，.乙4BC=45°,AB=2V2,AD=AE,^DAE=900,CE=Z，则CD的长为.

核心考点六子母型与平行构相似

08.【问题背景】⑴如图1,在△ABC中,D为AB上一点.乙4CD=/B.求证：4C?=4。MB；

【尝试应用】（2）如图2,在口ABCD中,E为BC上一点,F为CD延长线上一点,FE,FB分别交AD于点H,G.若ZBFE=NA,BF=4,

BE=3,GH:AG=9:8,求生的值.

专题三相似模型及构造⑶一一线三等角

“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形.这个角可以是直角，也可以

是锐角或者钝角.对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图二中点型“一线三等角”中间的三角形与两侧的三角

形相似.

“一线三等角”的起源：三垂直

DE绕A点旋转，从外到内，从一般位置到特殊位置.

公公A

zK

BCCBD(E)C

下面分几种类型讨论：

一、直角形“一线三等角”——“一线三直角”

B\D(E)C

同侧型异侧型母子型

结论:△ADB^ACEA

二、锐角形“一线三等角”

DAEAC

J

EAD

同侧型异侧型中点型

结论:AADBs^CEA,当A为DE中点时,AADB^ACEA^ACAB

三、钝角形“一线三等角”

V^z/C

DAEA\DAE

同侧型异侧型中点型

结论:AADBs/\CEA,当A为DE中点时.△ADB^ACEA^ACAB

常考类型：

核心考点一三角齐见，模型自现——发现模型

0L如图，等边△ABC的边长为3,点P为BC边上一点，且,BP=1,点D为AC边上一点，若^APD=60。,则CD的长为.

02.如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,G,F分别为AD,BC边上的点，若.AG=1,BF=2,ZGEF=90°,则GF的长为.

03.如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为

核心考点二隐藏局部，小修小补----补一个角

04.如图,在矩形ABCD中,BC=4,AB=2,RtABEF的顶点E在边CD上且乙BEF=90。,EF=^BE,DF=:低则BE=

05.如图,RtAABC中,NB=90°,AB=BC,D为AB的中点,E为BC边上一点,且BE=1,连接DE,BE=1,DC,ZEDC=45°,

贝!J.BC=.

06.四边形ABCD中,NABC=NBCD=12(T,AB=BC=k.CD.若BC上存在唯一的点P,使NAPD=120。,贝!Jk=

核心考点三一角独处，两侧添木H~补两个角

07.如图,在△ABC中，ZBAC=60°,ZABC=90°,直线卬出|人,。与办之间的距离是1,卜与b之间的距离是2,k上，b分别经过点

A.B,C,则边AC的长为____.

08.如图,△ABC,以AB为边,向外做RtAOAB,使C,O在AB同侧,且NBOA=9(T,NOAB=60。,连接OC,若NOCA=NOAB,且CO=3,C

A=4,贝[]BC=.

09.如图,在矩形ABCD中,E为边AB上一点,AE=2,BE=4,连接DE,作NDEF=45。交边BC于点F,若AD=x,BF=y,贝！］y关于x的函数

关系式为一.

BFC

核心考点四构造同侧一线三等角综合题

10.如图,在Rt△ABC中,NC=90°,AC=4,BC=1V3,D是BC上一点/BAD=30°,CD=.

11.如图，在四边形ABCD中，乙4BC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5低则BD的长为.

核心考点五构造异侧一线三等角综合题

12.如图，点P为.Z2BC内一点，点D在BC上,且.Z.ABC=乙4PB=乙BPD=30°,PA=3,P。=5,D=5,则PB的长为

C

13.在△ABC^p,ABAC=45°,P为小ABC内一点，且△ABC乙APB=AAPC=120。,若PZ=遍+1,PB=2,则PC的长为

BC

专题四相似模型及构造⑷——中点型一线三等角（2024新热点）

方法：一线三等角的中间一角顶点为中点时，称为中点型一线三等角，此时，中间的三角形与两侧的三角形相似，即三个三角

形都相似，中点为旁心.

核心考点一认识模型

0L如图.在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动（点E不与点B,C重合），满足NDEF=NB,且点D,F分别在边AB.AC上.

A

（1）求证:△BDE^ACEF;A

（2）当点E移动至（JBC的中点时,求证:FE平分NDFC.

/\A

BEC

核心考点二利用模型的性质求线段、周长、面积

02.如图，在Rt/MBC中=4C,,点D是BC的中点，点E,F分别在边AB,AC上，.nEDF=45。,。「占'5J「若4E

=3,AF=效以DEF的面积为.

03.（2024宁波堇洲十二校）如图.在A4BC中,AB=AC=m„D为BC的中点,BD=n,n,E,F分别在AB.AC上，若乙EDF=90

乙4,则4AEF的周长是.（用含m,n的代数式表示）

BDC

04.如图，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点,乙4==乙CDF=45°,,若AC=9,BF=8,求线AC=9,BF=8,段CF的长.

05.(2024深圳福田)如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF1EC交AB于F.连接FC(AB>AE),设黑=k,当k=____时.△AEFABCF.

DC

AED

BC

核心考点三发现隐藏的中点型一线三等角

06如图.在^ABC中,CD平分NACB交AB于点D,若G为4△4BC的内心,E.F分别为BC,AC边上的点,且CE=CF,BE=5,AF=2,求

EF的长.

07如图,在等腰A4BC中,AB=4C,点O为底边BC的中点，以O为圆心作圆与AB,AC相切.切点分别为D.E.过圆上一点F作

的切线分别交AB,AC于M,N,则等的值是—.

专题五相似模型及构造（5）——旋转相似

核心考点一认识模型

01.如图,若^ADE^AABC,求证:△ADB^AAEC.

C

核心考点二模型应用

02.（2021龙岩）将含30。角且大小不等的两个三角板按如图摆放，使直角顶点重合，连接AE,BD,则熬=

B

03.如图，已知NACB=NDCE=9(F,NABC=NCED=NCAE=30。,AC=3,AE=8,求AD的长.

04.（2022宁波）如图，在△BAC中,ZBAC=90。,tanZACB=2,WABAC绕点A顺时针旋转至△DAE,点D刚好落在BC射线上,若4B

DE的面积为4,则BD的长为

05如图,在RtAABC中,N4CB=90°,tanB=与ABC~DEC,K^IADEC绕C旋转过程中，当CH=倔寸，则y/2AH-BH的值是

E

核心考点三旋转相似与特殊角、解三角形

06.如图，点A,B,E在同一直线上,./FEB=乙4cB=90°,AC=BC,EB=EF,,连AF,CE交于点H,AF,CB交于点D.若tanzC/lD=

则%-•

07.如图.矩形ABCD中,AB:BC=3:5将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形CEGF,若点E在AD上,连接BF.DF,则会=

核心考点四模型构造

08.如图，D是^ABC内一点，ZBAD=ZCBD=30°,ZBDC=90°,AB=4,AC=2_V3AD=^,_

09如图,△ABCdp.^BAC=60°,BC=佰IC,点P是△48c内一点，且PA=PB=5,PC=2很必PAC的面积为.

A

BC

专题六相似模型及构造(6)——十字架模型

01.某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两相邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明.

问题背景:如图,在矩形ABCD中,EF1GH,EF分别交AB,CD于点E,F,GH分别交AD,BC于点G,H.求证:券=龄

结论应用：如图,在满足上题的条件下，又.AM工BN,,点M,N分别在BC,CD边上，若笠=白则第=

(JHIDAM

02.如图.矩形纸片ABCD,4D:4B=V2:1,点E,F分别在AD.BC上,把纸片如图沿EF折叠，点A,B的对应点分别为.4,8',连接4

并延长交线段CD于点G,则篇的值为一.

03.如图,把边长为AB=2VxBC=4且=45。的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长

专题七相似模型及构造⑺——对角互补模型

01如图,RtAABC中，.NC=90。,24c=3BC„点D,E,F分别在线段AB.AC,BC上,且BD=2AD,DE_LDF,则—=

02.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点E在对角线AC上,连接BE,作EF1BE”垂足为E,直线EF交线段DC于点F,则整=

03.如图,若AB=BC=6,DA=DC=8,ZBAD=90°,DE_LCF,求DE:CF的值.

04如图，等腰Rt△ABC中,NB=90°„D为AB中点E,F分别是BC,AC上的点（且E不与B,C重合），且EF1CD.若（CE=nBE,=nBE,

则喋的值是一.（用含n的式子表示）

CF

BEC

专题八相似模型及构造(8)——相似的性质应用

核心考点一相似三角形的相似比等于周长比

0L如图,D是等边△4BC■边AB上的一点,且AD:DB=1:2,现将A4BC折叠，使点C与D重合,折痕为EF,点E,F分别在AC和BC上.

贝U(CE:CF=

核心考点二相似三角形的相似比和对应的高之比

02.如图,已知锐角.△48c中,边BC长为12,高AD长为8,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E,F分别在AB,AC边上,EF

交AD于点K.

⑴求黑的值;

(2)设EH=x，矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式，并求S的最大值.

核心考点三相似三角形的相似比的平方等于面积比

03.如图,DE平分等边△48c的面积，折叠△BDE得到△FDE„AC分别与DF,EF相交于G,H两点若.DG=m,EH=n”用含m,n的式

子表示GH的长是.

BEC

04.如图.△ABC中.D为BC的中点，点E在AC的延长线上,且.乙4BC=NE,,延长AD交BE于点F.

A

⑴若登=|,则与=

(2)若BD=5,BF=4,则EF的长为

05.问题背景：

(1)如图).△ABC中.DE〃BC分另U交AB,AC于D,E两点过点E作EF||48交BC于点F.请按图示数据填空：

四边形DBFE的面积S=—,&EFC的面积;=A4DE的面积。S2=

探究发现：

⑵在⑴中.若BF=a,FC=b,DE与BC间的距离为h,试证明:S2=4sls2.

拓展迁移：

(3)如图2,平行四边形DEFG的四个顶点在△4BC的三边上,若△ADG.LDBE,4GFC,ADBE,AGFC的面积分别为2,5,3,试利

用⑵的结论求△4BC的面积.

核心考点四相似三角形的相似比与周长比和勾股定理、最值结合

06.如图,在RtAABC中,NACB=90°,作(CDJ.4C,垂足分另(］为D,E,设△BCD,△4BC'的周长分另(］为的,。?,以直接

写出然色的最大值为

C3

ADB

专题九相似模型及构造（9）一相似与黄金分割点（2024新热点）

方法：若C为线段AB上一点，且4c2=BCXAB,,则称C为线段AB的黄金分割点,就有黄金比.含有36。角的等腰三角形，

短边：长边=等.

0L如图.等腰△ABC中.AB=AC=10,顶角NA=36o,BD为NABC的平分线，则CD的长是.

02.如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点F,若AE=2,,则AF的长为—.

03.如图，在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB和AC上,CE与BF相交于点D.若AE=CF,AE=CF,D为BF的中点，则端的值为.

C

04.如图，是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在0O上,将该圆形纸片沿直线CO对折,点B落在OO上的点D处（不与点

A重合）,连接CB,CD,AD.设CD与直径AB交于点E.若AD=ED,则乙B=。.一度;华；的值等于.

C

05.如图,在矩形ABCD中,BE±4c分别交AC,AD于点F,E,若AD=1,AB=CF,则AE=.

D

C

06.如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处.连接DF.若点E,F,D在同

一条直线上,AE=2,则BE=.

07.已知正方形ABCD中，点M为边AB的中点.

⑴如图1,点G为线段CM上一点,且.^AGB=90。,,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.①求证:BE=CF;F;②直接写出

⑵如图2,在边BC上取一点E,满足.BE2=BC-CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tanZCBF的值.

图1图2

专题十相似模型及构造（10）——子母型的构造与勾股定理

方法：当特殊角和等角同时出现时，往往想到构造子母型和作垂，构造此结构。

01.如图.在.A中,D为AB边上一点,E为CD中点AC=V2,/.ABC=30°,ZA=ZBED=45°„则BD的长为

02如图，已知矩形ABCD中“AB=1,,点E,F分别在AB,BC上,EF||4C,,连接DE,DF,设.乙EDF=a.F=a.当AC=2,a=60。时，求BE的

长.

03.如图,A4BC中,4ABC=60°(AB<4C),,D为边AC上的点,乙IDB=45°,AC=BD=3V2,贝!]AB长是

BC

专题十一相似模型及构造(11)—奔驰型(布洛卡点)与共边型相似

01.如图1,若P是△ABC内部一点且NPAC=NPCB=NPBA=a,则称P为△ABC的布洛卡点,同时称a为AABC的布洛卡角.布洛卡点

是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名，布洛卡点的再

次发现，弓I发了研究“三角形几何”的热潮.

如图2,在^ABC中,AB=AC,P是&ABC内部一点,ZPAC=ZPCB,ZAPC=ZBPC,且NBAC=NAPB.

(D说明P为AABC的布洛卡点,并求NBAC;

(2)若D为BC中点作AE_LAP交DP的延长线与点E,连接CE,求差的值.

图2

02.如图,AABC中，ZABC=60°,点P是A4BC内一点，使得,乙4PB=乙BPC=Z.CPA,,且PA=8,PC=6,则.PB=.

03.如图，/4CB=90°„点D,E分另［J在BC,AB上，/ADE=90°,AAED=AB+^BAD.

(1)求证:AD2=AC-AE;

(2)作EF1仍于点F,CD=2喘=I且BD的长.

CDFR

专题十二相似模型及构造(12)——共圆型相似

核心考点一斜A字型相似

01.在锐角.AABC中,点D,E分另！J在边AB,AC上,AF1BC于点F,A4G_LDE于点G,ABAF=^EAG.

⑴求证:△ABCAAED;

(2)若4B=5,AG=2,EG=1,求AF的长.

02如图，等腰AABC的顶点B,C在。O上,4B=4C,点A在G)O外，OD1AC于点OD1ACD.若BC=8,sin/ABC=胃,。。

=3,则。。的半径为()

A.3B.4C,5D.6

核心考点二斜8字型相似

03.如图,在Rt△4BC中,“=90。,4c=6,BC=8,00为△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,直线EF交AO,BO于M,N两点，则S

_{\triangleOMN}v的值为____.

CEB