2024五年级下册数学思维训练讲义-长方体和正方体（四）含答案

2024五年级下册数学思维训练讲义-第十八讲长方体和正方体

（四）

第四讲长方体和正方体（四）

第一部分：趣味数学

长方体是一个聪明的小男孩儿，他生活在一个叫做“数学之木莎耳奇”的古老部落，那里

一切像世外桃源一样美，长老们都说那是因为他们的祖先得到了自然女神的宠爱，自然女神总

是不定期的出现在他们部落，每一次，她都只见一个有缘人，如果这个有缘人能够通过她的考

验，她就会满足这个有缘人的一个合理的心愿。长方体是“数学之木莎耳奇”最有灵性的男孩

儿，也是最有可能成为自然女神的有缘人的一个，长方体对此却不以为然，因为他并不相信这

个传说。有一天，长方体去小河边玩，已经有一些伙伴在河边嬉戏，有三角形，正方形，圆，

等等。长方体一见他们在那儿，转身就走，因为长方体不喜欢和不聪明的小孩子玩，而部落里

又属他最聪明，所以，他总是自己一个人玩。他刚走两步，就听到三角形喊救命，原来是平行

四边形掉到河里去，水并不深，但平行四边形不会游泳，其它小孩子都吓坏了，纷纷跑到岸上，

也不敢下水，长方体见他们没人敢去，担心平行四边形会有生命危险，就奋不顾身地他才突然

想跳进了河里，这时，他才突然想起，自己也不怎么会游泳，可是，已经晚了，长方体只好赌

一把，拼死救人。一分钟，两分钟，三分钟……十分钟，长方体和平行四边形都没有再浮出水

面。小伙伴们都以为他们死了，哭得好伤心，突然，长方体举着平行四边形冲出了水面，长方

体把平行四边形救出来了。大家都很感谢长方体，长方体什么也没说，就是走开了。长方体坐

在草原上看风景，自然女神出现了，她和人们说得一样美，自然女神说：“长方体，你已经通

过了我的考验，告诉我，你有什么愿望吧？"长方体说：“我不知道你口中的，我通过了什么

考验，我也没兴趣知道。所谓的我的愿望，我也没有兴趣告诉你，”自然女神从没遇到过这么

有个性的小孩儿。自然女神说：“既然你不说，那我就自作主张替你做决定了。”长方体说：“随

便你，反正，我可不会感谢你。”自然女神知道长方体一个人玩，没有伙伴，就创造了正方体，

正方体和长方体一样聪明，而且，正方体和长方体还十分相似呢，有许多共同的特点。长方体

很喜欢这个新伙伴。长方体对自然女神说；“我很喜欢正方体，他有许多和我相似的地方，像

我的影子，但又和我完全不一样，有自己的个性。”自然女神说：“你喜欢就好，其实，正方体

是另一个特殊的你。比你自己还要特别的你。以后，你自然会明白的。”a

第二部分：奥数小练

【例题11从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米

的小长方体，剩下部分的表面积是多少？

【思路导航】这是一道开放题，方法有多种：

①按图所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。

②按图所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。

③按所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。

练习1：

1.从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方

体，剩下部分的表面积是多少？

2.把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体

木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？

3.在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎样

的变化？

/

【例题2】把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图27-4所示，拼成一个立体图形，

求这个立体图形的表面积。

【思路导航】要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个

方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图27-5所示）。

从上往下看从左往右看从前往后看

而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的表面积

可采用(S上+S左+S前)X2来计算。

(3X3X9+3X3X8+3X3X10)X2

=(81+72+90)X2

=243X2

=486(平方厘米)

答：这个立体图形的表面积是486平方厘米。

练习2：

1.一个表面积为56平方厘米的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积

和是多少？

2.边长为1厘米的小正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第五层时，这个立体

图形的表面积是多少平方厘米？

3.一个正方体的表面积是384平方厘米，把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。

每个小正方体的表面积是多少平方厘米？

肮

7【例题3】把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个大

长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？

【思路导航】把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大

厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合

面的面积最大，即减少两个9X7的面。

(9X9+9X4+7X4)X2X2—9X7X2

=(63+36+28)X4—126

=508—126

=382（平方厘米）答：这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。

练习3：

1.把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？

2.一个正方体木块，棱长是1厘米，沿着水平方向将它锯成2片，每片锯成3长条，每条

又锯成4小块，共得到大大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？

3.用6块如图长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中表面积最小的是多少平方

厘米？

『口【例题4]一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3

厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表

面积。

【思路导航】我们知道：体积=长*宽X高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可

知宽X高=40+2=20（平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长X高=90・

3=30（平方厘米）；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长X宽=96+4=24（平方厘

米）。而长方体的表面积=（长X宽+长X高+宽X高）X2=（20+30+24）X2=148（平方厘米）。

即

404-2=20(平方厘米)

904-3=30(平方厘米)

964-4=24(平方厘米)

(30+20+24)X2

=74X2

=148（平方厘米）

答：原长方体的表面积是148平方厘米。

练习4：

1.一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，则体

积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。原来厂房体的表面积是多

少平方厘米？

2.一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正

方体，其表面积减少了120平方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘米？

3.有一个厂房体如下图所示，它的正面和上面的面积之和是209。如果它的长、宽、高都是

质数，这个长方体的体积是多少？

【例题5】某超市工作人员量得24盒牛奶包装纸箱的长为35cm,宽20cm,高Hem,请

你帮他们算一算这样的一个长方体纸箱摆放在地上，最大占地面积是多少？最少呢？

【思路导航】这是求长方体表面积的题目。求占地面积最大是多少，最小是多少，就要弄

清楚这个长方体放在地面上，几个面与地面接触。很明显只有一个面，所以当长方体最大的

面与地面接触时，占地面积最大，反之则最小。因此，求最大占地面积为：35X20=

700cm2,求最小占地面积为：20Xll=220cm2o

练习5：—'

1.小明买了张有一面靠背的床，妈妈准备为它订做一个床罩，量得床长2m宽1.2m,高

0.45m,考虑到床罩不能和床一样高，否则会拖到地面，师傅建议床罩的高度比床矮0.05m,

请你帮他预算一下，床罩的面积是多少？

2.将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知

这个长方体的长是13厘米，宽7厘米，求它的高。

3.把一根长为3m的长方体木材平均截成3段，表面积增加了100dm?,原木材的体积是多少

dm3?

第三部分：数学史话

我们知道用“排水法可以求不规则物体的体积。但同学们知道吗，关于这个问题，还

有一个与古希腊科学家阿基米德有关的流传甚广、为人称道的有趣故事呢。

古希腊叙拉古国的一位国王为显示自己的丰功伟业，决定制造一顶金王冠放入一座圣庙，献

给不朽的神灵。为了使这件事做得完美，国王挑选了优秀的制造商，并精确地称量出黄金交

给这位制造商。不久，一顶精美别致的金王冠被呈献给国王。国王观后十分高兴，心满意

足。不料后来有人告发说，在做王冠时商人盗窃了金子，加上了等量的银子。国王认为自己

受了骗，蒙受了奇耻大辱，同时也感到事情果真如此，那是对神灵的亵渎，罪过实在深重。

但又苦于无法将商人的窃贼嘴脸揭露于众，因为王冠的重量与所给的黄金的重量完全相符。

为此，国王召见了宫廷科学家，就是当时最著名的力学家阿基米德，让他想想办法。阿基米

德了解了这一事情的原委后，日夜冥思苦想。一天，他在洗澡，当身体慢慢浸入水中时，澡

盆中的水逐渐溢出澡盆外。这一简单现象使阿基米德的思路豁然开朗。他一下子从澡盆里跳

出来，光着身子欣喜若狂地大叫：“找到了！找到了！”他找到了解决问题的办法。根据

洗澡这一事实所受的启发，阿基米德设计了一个实验。他做了两件物体，每件的重量与王冠

相同，一件是黄金的，另一件是白银的。他把一个大容器装满水，首先把银制品放进去，而

后再取出来，再用量杯把水注入容器，直到恢复原来的满度。这样，阿基米德根据溢出的水

的体积与沉入容器中的银制品的体积应当相等的道理，求出了银制品的体积。在此之后，阿

基米德又把金制品放入装满了水的容器中，再取出来，并像上一次一样用量杯把水再装满。

他发现第二次溢出的水没有第一次那么多，稍微少了一点点。这说明金制品的体积比相同重

量的银制品的体积要小，两者之差恰好是两次溢出的水的体积之差。最后，他又用水装满容

器，并把制造商制造的王冠放入，发现王冠排出的水比同样重的金制品排出的水要多些，而

比同样重的银制品排出的水要少些。由此他断定制造商在金子里掺进了银子，从而帮助国王

判定了制造商窃取金子的罪行。

参考答案:

练习1

1.根据题意可知，在长方体木块中间挖去一个棱长2厘米的正方体，剩下部分的表面积比原

来长方体的表面积增加了棱长2厘米的正方体的4个面的面积，根据长方体的表面积公式和

正方体的表面积公式解答。

（10X6+6X5+5X10）x2+2x2x4=140X2+16=280+16=296（平方厘米）。

2.一共有三种锯法：

①12X6X2=144（平方厘米）②6X9X2=108（平方厘米）③12X9X2=216（平方厘米）

3.切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面3个1X1的正方形，新增加了左右下面三

个1X1的正方形，所以表面积大小不变。

练习2

1.168平方厘米。因为每一刀增加两个切面增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所

以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为56X3=168（平方厘米）。

2.90平方厘米。这个图形的表面积是俯现面、左视面、正视面得到的图形面积的2倍该立体

图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是1X1X15=15（平方厘米），该图形的总表面积

为15X6=90（平方厘米）。

3.大正方体的一个面的面积:384+6=64（平方厘米），

所以大正方体一个面的边长:8厘米。

正方体平均分成64个相等的小正方体得64=4x4x4

每个小正方体的棱长:8+1=2（厘米）

每个小正方体的表面积是6x2x2=24（平方厘米）

练习3

1.把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积包含这样

的10个面，表面积也就是20X10=200平方厘米。

2.18平方米。锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：

锯的总次数*2=增加的面数。原正方体表面积：IX1X6=6（平方米），

一共锯了（2-1）+（3-1）+（4-1）=6（次），6+1X1X2X6=18（平方米）。

3.想要拼成的大长方体表面积最小，就要最大的两个面重叠在一起，也就是长3厘米、宽2

厘米的两个面重叠。

大长方体的表面积是：（3X2+3X1+2X1）X2-3X2X2=10（平方厘米）。

练习4

1.一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；说明宽X高的面面积为48・

2=24（平方厘米）；

如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米，说明长义高的面面积为65+5=13（平方厘

米）；

如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，说明长X宽的面面积为96+4=24（平方厘

米）；

则原来厂房体的表面积是（24+13+24）X2=122（平方厘米）。

2.根据长方体的特征，相对的面面积相等，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长

方体后，表面积减少了120平方厘米，减少的只是前后左右的侧面积，因为截去两部分后又

露出两个底面;又因为剩下部分是正方体，因此减少部分（上+下）的4个面的面积相等，因此

求出一个面的面积，120+4=