2024年新高考高三数学复习阶段性复习：正弦定理A卷 （解析版）

正弦定理A卷（解析版）

（本试卷满分60分，建议用时：40分钟）

一、单项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.在△ABC中，若2acosB=c,则△ABC一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

【答案】A

【解析】因为2acos8=c,由正弦定理得2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA,所以

sinAcosB-sinBcosA=0,即sin（A-B）=0,因为A5e（0,%）,所以A-Be（—兀㈤,则A-3=0,即A=B,

故△ABC为等腰三角形.

故选A.

2.在△ABC中，6=2,c=5C=->则此三角形解的情况是（）

3

A.无解B.一个解C.两个解D.无法确定

【答案】B

2义旦

【解析】由正弦定理可得一竺所以sin§=2理£=—因为b<c,所以2只

sinBsinCcJ55

有一个解，所以此三角形解的情况是一个解.

故选B.

3.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知6cosA=a（省一cos3）,a-2,则c=（）

A.4B.6C.2V2D.2A/3

【答案】D

【解析】因为6cosA=°（君-cos8）,根据正弦定理得sin8cosA=6sinA-sinAcosB,移项得

sinAcosA+sinAcosB=y/3sinA,即sin（A+3）=且sinA,BPsinC=\/3sinA,则根据正弦定理有

c=yj3a=2\[?>.

故选D.

4.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形,

转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此

具有小排气量就能成就高动力输出的优点.另外，由于转子引擎的轴向运动特性，它不需要精密的曲轴平

衡就可以达到非常高的运转转速.“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆

弧，由这三段囱弧组成的曲边三角形（如图所示）.设“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为4,则

该“莱洛三角形”的面积为（）

A.8K-12A/3B.8K-8生

C.16兀-8右D.1671-473

【答案】B

【解析】由题意可知等边三角形的边长为4,即AB=3C=AC=4,

A

所以扇形ABC的面积等于以A为圆心，A3为半径的圆的面积的二，故扇形ABC的面积S=Jx7t><42=",

663

又S^ABC=gX4X4Xsin60。=8X孝=4君，该“莱洛三角形”的面积为3s-2SAASC=8TI-8A/3.

故选B.

二、多项选择题（本题共1小题，每小题5分，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

5.在AABC中，a,b,c分别为NAZB,/C的对边，则下列叙述正确的是（）

Z7h

A.若，=3,则△ABC为等腰三角形

B.若贝UsinA>sin5

C.若ABBC<0,则△ABC为钝角三角形

TT

D.若Q=bsinC+ccosB,贝！JNC=—

4

【答案】BD

【解析】由‘一=’一得幽3=史g05也28=5M24024=28+2E，或24+25=兀+2为1,

cosBcosAcosBcosA

TT

k^Z,由于在三角形中，所以A=3或A+5=—,故△ABC为等腰三角形或者为直角三角形，故A错

2

误，

由A>5,得a>b,由正弦定理得sinA>sin5,故B正确，

若ABBC<0,贝"431卜。105（兀iB）<0ncos5>0,因此3为锐角，故无法确定△ABC为钝角三

角形，故C错误，

由a=bsinC+ccosB得sinA=sinBsinC+sinCeosB，进而可得

=>sin（B+C）=sinBsinC+sinCcosB=>sinBcosC=sinBsinC,由于sin5W0,所以

cosC=sinC=>tanC=l,由于Ce（0,7r）,所以C=:,故D正确.

故选BD.

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上）

6.下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？

【题目】在△ABC中，a=x,b=2,5=45,若△ABC有两解，则x的取值范围是（）

A.（2,+oo）B.（0,2）C.（2,20）D.（在2）

【解法1】/XABC有两解，asinB<b<a,xsin45<2<x,即2<龙<2后，故选C.

a_basinBxsin45。42x

【解法2】sinA=

sinAsinBb~2一丁

△ABC有两角轧bsinA<a<b,2x^^<x<2»即0<x<2,故选B.

4

你认为是正确的.（填“解法1”或“解法2”）

【答案】解法1

【解析】根据题意画出图形，三角形有两解即满足asinB<h<〃，解法1是正确的;

解法2中因为5=45。，要是三角形有两解，则应该正<sinA<l,即也<叵<1,所以错误.

224

7.在△A5C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且gacosB=bsinA,则3的值为

sinA+sinC的最大值是.

【答案】Pb

【解析】团J^〃cos5=bsinA,回由正弦定理得百sinAcos3=sinBsinA,又sinAwO,故6cos3=sin3,

团tanB=y/3,回0<_8<兀，^\B=—,0A+C=,

HsinA+sinC=sinA+sin（g-=sinA+sincosA-cossinA=A/3^^^sinA+^-cosA=A/§sin（A+^J

HO<A<—,0-<A+-<—,回当A+&=&,即A=g时，病in[A+j]取得最大值如，团当A=工,。=巴

3666623\oy33

时，sinA+sinC取得最大值73.

故答案为:；6.

2冗

8.如图，在△ABC中，AD是角A的平分线，AB=2,AC=4,ZBAC=——，则AZ）=.

3

A

4

【答案】J

27r7T

【解析】因为4）是角A的平分线，NBAC=」，所以ZBAD=ZCAD=2,由SAABC=SAASD+SAACD,

Zi/iIJZ\rxDLJL\tW^U

AB-AC-sin—=-AB-AD-sin-+-AD-AC-sin-,即_Lx2x4x3=工x2AOx且+^40x4x3,

232323222222

4

解得AO=§.

4

故答案为1.

四、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

9.已知函数/（x）=Msin（公v+°）（A/>0,G>0,I初v]j）的部分图象如图所示.

（1）求函数八%）的解析式；

（2）在△ABC中，角AB,C的对边分别是a,b,c,若（2a—c）cos6=/?cosC,求/（f的取值

范围.

【解析】（1）由图象知函数/（X）的最大值为1,最小值为-1,所以M=l,由图象知函数/（X）的周期

T="Ij—=兀，所以3=2,将点代入解析式得sin[m+cp]=1,因为IcpI<|■，所以（P=£,

所以〃x）=12x+胃.

（2）由（2a—c）cosB=Z;cosC,得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC,所以2sinAcosB=sin（B+C）,

2sinAcosB=sinA,因为人£（0,兀），所以sinAwO,所以cosBn1^,B=^,A+C=^2,由（1）

d$=sin（A+{|,又。<A<,,"所以，巾+才（训,所以劣即，所以

的取值范围为[g』.

10.在△ABC中，角ABC所对的边分别为a,b,c,y/3asinB-Z?=bcosA.

(1)求A；

(2)若△ABC为锐角三角形，且Z?+c=2,求a的取值范围.

【解析】（1）y/3asmB-b=bcosA=>A/3sinAsinB-sinB=sinBcosA,因为3e（0,7i）,所以sinBwO,

于是由gsinAsinB-sin8=sinBcosAn^sinA-l=cosA=>sin（A-马，因为Ae（0,7T）,所以

62

71(兀5兀)兀兀.71

A4----e1

61

abca一一,aa

(2)由正弦定理得一J=——=^—=—,所以6=――sinB.c=——sinC,所以

sinAsinBsinCyj373V3

222

7a.a