2024年高考数学模拟试题（二）（新高考Ⅰ卷含答案解析）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合/=-2》一8<0},2={2,3,4,5},则/口8=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.复数三的共飘复数是()

1-2

A.2+iB.-2+i

C.-2-iD.2-i

3.若4是夹角为60°的两个单位向量，且。=2,+°2与3=-3,+2g的夹角为()

A.60°B.120°c.30°D.150°

已知=7,则sin(

4.sina+V2a=()

16j5I、6J1

24247

A.—B.——c.D.

252525~25

5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良

的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45

6.已知42是双曲线£：』y2

=i的左、右顶点,点M在E上，为等腰三角形,

ab1

且顶角为120°,则E的离心率为（）

A.75B.2C.V3D.V2

7.记S“为等差数列｛%｝的前〃项和，已知%>0,邑=-%，则使得S"上为的"的取值范围为

（）

A.1<«<5,weN*B.1<M<9,eN*

C.1<<10,«GN*D.5<w<9,

8.设函数/（x）=6sin[.若存在〃x）的极值点为满足/2+[“/）了<苏，则m的取值

范围是

A.（-00,-6）u（6,oo）

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B.(-00,-4)u(4,oo)

C.(-oo,-2)u(2,oo)

D.(-oo,-l)u(l,co)

二、多选题

9.已知函数/'(x)=+加+6龙+c下列结论中正确的是()

A.若/■'(%)=0,则为是Ax)的极值点

B.3x0eR,使得了(无())=0

C.若看是/(x)的极小值点，则/(x)在区间(-8,X。)上单调递减

D.函数y=〃x)的图象是中心对称图形

10.下列说法中正确的有()

A.在回归分析中，决定系数尺2越大，说明回归模型拟合的效果越好

B.已知相关变量(xj)满足回归方程j)=9.4x+9.1,则该方程对应于点(2,29)的残差为

1.1

C.已知随机变量"3(%⑼,若EC)=30,0©=20,则〃=45

D.以拟合一组数据时，经z=lny代换后的经验回归方程为2=0.3x+4,贝ij

11.已知球。是正三棱锥/-BCD的外接球，BC=3,/8=26，点£在线段2。上，且

BD=3BE.过点E作球的截面，则所得截面圆的面积可能是()

A.兀B.2兀C.371D.4兀

三、填空题

12.在(l-2x)5.(l+3x)4的展开式中，按x的升幕排列的第3项为.

13.如图，在棱长为2的正方体48co-4片GA中，已知监N,P分别是棱Ca，N4,3C的

中点，则平面刊四截正方体所得的截面面积为,若。为平面RWN上的动点，且

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直线QB,与直线。目的夹角为30。，则点。的轨迹长度为.

14.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,

他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：

己知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是2°，接下

来的两项是2°，2、再接下来的三项是2°，2、22,依此类推.求满足如下条件的最小整

数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幕.那么该款软件的激活码是.

四、解答题

15.为提高居家养老服务质量，某机构组织调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用

简单随机抽样方法从该地区抽取了500位老年人，统计结果如下：

性别需要志愿者不需要志愿者

男40160

女30270

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)中的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提

供帮助的比例？说明理由.

2

2n(ad-be)

附：彳二一(一7^―------、八八，

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

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16.在锐角AA8C中，角4夕,C的对边分别为c,且acosC+6ssinC-6-c=0.

(1)求角A的大小；

⑵若。是线段BC上靠近点B的三等分点，a=3,求/。的最大值.

17.如图，在直棱柱4BC-44cl中，AA.=AC=CB=—AB,E,尸分别是棱BC,AC1.

2

的动点，且8E=CF.

(1)证明：A}E1BXF,

⑵当三棱锥G-CEF的体积取得最大值时,求平面BXBF与平面BXEF的夹角的余弦值.

22

18.在直角坐标系xQy中，椭圆G：A+4=l(a>6>0)的左，右焦点分别为耳巴.工也

ab

是抛物线。2：『=人的焦点，点”为G与C?在第一象限的交点，且|亚里|=:.

⑴求G的方程；

⑵已知过点的直线/与椭圆C1交于4B两点，尸为线段48的中点，O为坐标原点，

射线。尸与椭圆交于点D,点。为直线OP上一动点，且丽.而=2历+求证：点。在定

直线上.

19.已矢口函数/OOucosx+lna+x).

(1)求证：/(X)在上有唯一的极大值点；

⑵若/(x)Vax+l恒成立，求°的值；

(3)求证：函数g(%)=/(x)r有两个零点.

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参考答案:

1.B

【分析】求出/={%卜2<x<4},进而求出4c反

【详解】由——2x—8<0解得：—2<x<4,故4={%卜2<x<4},又3={2,3,4,5},

故4cB={2,3}.

故选：B.

2.B

【分析】先将复数的分母化成实数，再求其共朝复数即可.

5(-2-i)-10-5i

【详解】——二-2-i,而_2-i的共朝复数是-2+i.

(-2+i)(-2-i)

故选：B.

3.B

【分析】先求得小后的值，根据数量积的运算法则求得以及£石的模，再根据向量的夹

角公式，即可求得答案.

【详解】因为1是夹角为60。的两个单位向量,

~------1

所以Gq=lxlxcos60°=—,

।.,.-•-•—*—*—*—*•2—*—*•2/17

ixa-b=(2e+e)-(-3^+2e)=-6e+^-e+2e=-6+-+2=-

1221222

/一2一—一2

|a=#4%+e-e+e■+4X—F1—s/l，

x222

be1~-12C]•%+4q—J—12x—+4=y/l

7

故cos〈a,B〉=a-b21

㈤•出・行—2

由于0。44花〉4180。，故&,模=120。.

故选：B.

4.C

【分析】设£=。+9,则a=〃-^，根据诱导公式可得sin(2c-m]=—cos2£,结合二倍

66voy

角的余弦公式计算即可求解.

7T7T4

【详解】设6=a+j贝ija=£-9si“=?,

665

答案第1页，共17页

所以sin12a—己)=sin2(£-曾-[=sin12£-j=-cos2£,

1久7

所以一cos2〃=一(1一2sin24=2sin2/?-l=2x；7--1=丁.

故选：C.

5.A

【详解】试题分析：记/="一天的空气质量为优良”，5="第二天空气质量也为优良”，由

,、,,、P(AB}4

题意可知尸(/)=0.75,尸(/3)=0.6，所以P(B|/)==-,故选A.

考点：条件概率.

6.D

【分析】根据题意可得H创=\BM\=2a,AABM=120°,过点/作AW，x轴,求得”（2a,瓜）,

代入双曲线方程求解.

因为为等腰三角形，且顶角为120。，

所以|/却=忸闾=2氏//9旅=120°,过点M作Wx轴，垂足为N,

在.Rt&BMN中,则忸N|=a,|ACV|=3a,故

代入双曲线方程得（2。丫（△"）=[,解得/=/,即/=,2一°2,

a2b2

所以C2=2/,解得e=JL

故选：D

7.C

【分析】法一：根据条件得到。5=$9=0,卬=凡品,=89+4。=%。，再利用等差数列的通

答案第2页，共17页

项公式及前〃项和公式的函数性质，即可求出结果；法二：根据条件得到为=-44,建立不

等不关系"为2%+(〃-1)4,即可求出结果.

【详解】方法一：因为$9=-%，所以9(%广)=9%="，得到生='=0，

设等差数列包｝的公差为d,由%=%+4d=0,得到。1=-44,又%>0,所以1<0,

所以%=为+(〃-1川=("-5)4,S"="4+"(，；—d=[(才-9ri),

又％=E，Bo=S9+4o—%o,

令M=(x-5)d,%=[(幺-9x),其图象如图所示

结合等差数列的前M项和及通项的函数特征,

由图知，〃的取值范围是lW〃V10(〃eN*).

方法二：由条件品=-〃5得9%=-。5，即。5=§9=0.

因为4〉0,所以d<0,并且有%=%+4d=0,

所以q=-4d.

由S〃，得〃％+〃(:1)、>ax+(〃—l)d,

整理得(/-9山2(2〃-10)4.

因为d<0,所以〃2一—10,

即/_11〃+10<0,解得

所以〃的取值范围是1W“410("eN*),

故选：C.

8.C

【详解】由题意知：“X)的极值为±6,所以「4看)丫=3,因为"x0)=C•百cos'=0,

L」mm

答案第3页，共17页

所以01=丘+W，丘Z,所以血=左+!，4ez即包卜根+:2。，所以/目:，即

m2m2m112

2222

尤；+"(%)?2?+3,而已知年+["/)了〈/，所以疗＞?+3,故等＞3,解得加＞2

或用＜一2,故选C

考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法,

考查分析问题与解决问题的能力.

9.BD

【分析】求出函数的导数，当A=4/一12b＞0时，/'。)=0有两解，列表表示出导数值的正

负以及函数的单调情况，当△=4/72*0时，r«＞0,即可判断A,B,C；证明等式

/(-y-x)+〃x)=2〃一?成立即可判断D.

【详解】A：因为/(x)=/+"2+6%+。，所以/'(%)=3/+2QX+6,

当A=4/_12Z)=0时，/'(x)20,/'三)=0,则/(x)在R上单调递增，％=-三不是极值

点，故A错误；

B：由选项A的分析知，函数/(X)的值域为R,所以玉°eR,使得/'(%)=0,故B正确;

C：由选项A的分析知，当A＞0时，/(无)在上单调单调递增，在(再,々)上单调递减,

所以若与为1(X)的极小值点时，/⑺在(-8,X。)上先递增再递减，故C错误；

D：

f(-:-x)+/(%)=(-T--x)3+〃(-y-1)2+b(-2三—x)+c+x3+ax2+bx+c

432ab.

=——a-------+2c,

273

|)=(-1)3+«(-|^2+^(-|^+c=^-a3-t^-+c,

则〃T-X)+〃X)=2/(_$,

所以点尸(-*/(-?)为＞=/(x)的对称中心，即函数了=/(x)的图象是中心对称图形，故

D正确.

故选：BD.

10.ABD

答案第4页，共17页

【分析】根据线性相关的相关系数的意义即可判断A；根据线性回归方程中残差的算法即可

判断B；根据二项分布中均值与方差的算法列方程，解之即可判断C；将，=ce/转化为

\ny-z=\nc+kx,即可判断D.

【详解】A：因为决定系数火2越大，残差平方和越小，拟合效果越好，故A正确；

B：因为观测值与预测值之差为残差，

预测值3=9.4x2+9.1=27.9,残差为29-27.9=1.1,故B正确.

C：对于二项分布J〜3（%。）,£0=牝=30,。©）=〃0（1-0）=20,

解得P=；,"=90,故C错误.

D：对于非线性回归方程9=。*转化为ln9=z=lnc+Ax,

所以lnc=4,贝ijc=e%左=0.3,故D正确.

故选：ABD.

11.BCD

【分析】首先根据几何关系确定外接球的半径，再根据点E的位置，求OE,即可确定球心

到平面距离的范围，即可求解.

【详解】如图，作平面BCD,。1是等边△CB。的中心，。是正三棱锥/-BCD外接

球的球心，点。在NQ上，连结OE,OD,O、E,

连结交8C于点尸，DF=3OXF,

设该球半径为R,贝!|CM=OD=A.

由2。=3,/8=26可得。［£>=3*［乂：=4?>,AO{八-OQ=3,

在RtZkOQQ中，（3-&2+（6）2=尼,解得尺=2,

21

因为=30/,DB=3BE,所以QE//BF,所以歹=^BC=1,

答案第5页，共17页

在RtAOO,£中，。。=/Q-尺=1,QE=1,所以OE=&,

设球心O到过点E的截面圆的距离为义可知d,

截面圆半径/=尺2-/=4-/e[2,4],

所以截面圆的面积的取值范围为[2兀,4兀],

故选：BCD.

12.-26x2

【分析】易知，展开式中有常数项、一次项，二次项，……，故按x的升幕排列，第三项为

含一项，结合展开式的通项可求解.

【详解】解：易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为V项.

整个式子中/项可由(1-2x)5,(1+3x)4的展开式的常数项与二次项、一次项与一次项相乘

得到，其中(1-2x)5展开式的通项为&]=q(-2x)r,(1+3x＞展开式的通项为=c：(3x)4；

22

故所求为：C；xC：(3x)2+ci(_2x)xC；(3x)+C^(-2x)xC：=-26x.

故答案为：-26/•

13.3732元

【分析】如图1,过MN,尸三点的平面为正六边形MEMPG,即可求解其面积；先确定四。

是以。片为轴、直线⑸。与直线8Q的夹角为30°的圆锥的母线，则点。的轨迹为圆锥底面

圆，求出底面圆的半径即可.

【详解】如图1,扩展过跖N,尸三点的平面，

图I

可知平面产儿W与正方体相交的截面即为正六边形AffiNFPG,其边长为血,

因此面积为S=6；x(后了xg=3收

答案第6页，共17页

由上可知，£>q_L平面ACVP,且垂足〃为。内的中点,

如图2,动直线⑸。是以。鸟为轴、直线石。与直线5Q的夹角为30°的圆锥的母线，

1点。的轨迹为圆锥底1面圆.

,4B

图2

因为=^BtD=®NQB\H=30°,所以底面圆的半径强=1,

所以点。的轨迹长度为2兀.

故答案为：3。；27r

14.440

【分析】由题意求得数列的每一项，及前"项和S“=2向-2-"，及项数，由题意可知：2向

为2的整数幕.只需将-2-〃消去即可，分别分别即可求得N的值.

【详解】解：由题意可知:第一项2°，第二项202,第三项2°,2122,L,第〃项2。,21：21,

根据等比数列前"项和公式，求得每项和分别为：2、1,22-1，23-1«…，2"-1，

每项含有的项数为：1，2,3,…，〃，

总共的项数为—+2+3+—T,

所有项数的和为

:21-1+22-1+23-1+...+2"-1=(21+22+23+...+2")-77=^-^-«=2,,+1-2-«>

由题意可知：2向为2的整数幕，只需将-2-〃消去即可，

则①1+2+(-2-“)=0,解得：〃=1,总共有&±詈+2=3,不满足N>100,

@1+2+4+(-2-»)=0,解得：〃=5,总共有地5)*5+3=18,不满足N>100,

2

③1+2+4+8+(-2-")=0,解得：”=13,总共有(1+13)x13+4=95,不满足N>100,

答案第7页，共17页

@1+2+4+8+16+（-2-»）=0,解得：〃=29,总共有^|^+5=440,满足N>100,

该款软件的激活码440.

故答案为：440.

【点睛】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前"项和，考查计算能力及数据分析

能力，属于难题.

15.（1）14%

（2）有关

（3）答案见解析

【分析】（1）根据题意给数据可得需要帮助的老年人的比例估计值为二=14%；

500

（2）根据卡方的计算公式，结合独立性检测的思想即可下结论；

（3）由（2）可知该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，因此先利用分层抽

样方法调查男女比例.

【详解】（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，

因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例估计值为'匕=14%.

500

（2）零假设%：老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关.

500x(40>270-30,160)2

Z*2«9.967>6.635=x

200x300x70x430001

所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.

（3）由（2）的结论知道，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关,

并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显的差异,

因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，

再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.

71

⑹(1)§

(2)6+1

【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和辅助角公式化简可得

sinG-^L1,即可求解;

答案第8页，共17页

（2）方法一：由余弦定理可得从+o2=9①、3=七+2厂）_2,可分别用3种思路

b2+c2-bc

（思路1：利用余弦定理切入；思路2：利用正弦定理切入；思路3：利用极限思想）求出

C

的取值范围，进而利用换元法构造函数，结合导数求解NDmax即可；方法二:

可分别用2种思路（思路1：齐次化不等式处理；思路2：正弦定理函数处理）求出

方法三：如图，贝”五5卜口万+比上府|+团|,确定当三点共线时等号成立，求出

|砌J西即可.

【详解】（1）acosC+y/3asinC-b-c=0，由正弦定理得

sinAcosC+A^sin24sinC=sin5+sinC，

又sinB=sin(/+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sin4cosc+6sin4sinC=sin/cosC+cos^4sinC+sinC，

由sinC>0整理得百sin4-cos4=1,即sin^--j=—,

解得一A-—<--,又4G0，Z，

666v

所以即

665

(2)由余弦定理“2="+C2一cos/,得〃+°2一be=9①，

力02]_24力24_*

由CO=2BD得cosNBDA+cosNCD4=0，即皿十'c十力〃十一j。,

2AD4AD

俨+

解得2=；伊+321?)

AD2c?)-2=3仅丁)2•

b2+c2-be

下面用三种方法求2的取值范围.

C

思路1:用余弦定理切入.

「2+9_〃2

因为春8c为锐角三角形，所以cos5=c+”°>0,即C2+9_/>0,

6c

将①代入得2<2,

C

同理，由cosC>0,得

c2

故二〈一<2.

2c

答案第9页，共17页

思路2：用正弦定理切入.

因为“8C为锐角三角形，所以I：；：*。一c<9。'

解得30°<C<90°,

由正弦定理得2=型刍=sin(12(rC)=色i।L

csinCsinC2tanC2

思路3：用极限方法求解.

因为力3C为锐角三角形，

当2—90°时，232；当C.90°时，2

cc2

故上心3•

接下来换元构造函数求最值.

、八b(1,3(b2+2c2)3(X2+2)

设尤=—e彳,2,则m_^___Z_2=4-------匚2.

c<2Jtr+c~-ber-x+l

,3(f+2)\

设n〃无)=———r-2,xe-52

x-x+112)

由八x)>0得丁+2工一2<0，又;<x<2,

所以g<x<6-l,由/'(尤)<0得百-1〈尤<2,

所以/(x)在(；,G-1)单调递增，在(6-1,2)单调递减,

故〃x)a="6-1)=4+26=(用I)2.

所以4%X=6+L

方法二：思路1,齐次化不等式处理

—►1—,2―►

由得40=—4。+—48,

33

两边平方得/Z)2——+—c1+—bccos60=—(b1+4c2+2bh=':上+，

9999V7b2+c2-bc

令x=2,则

C

x2+2x+43(x+l)3(x+l)=1+----------；----------<4+273

f(_________=1H-------------=1H---------------------------3

=x2—x+1x2—x+1(x+1)2—3(%+1)+3(x+1)H----------3

X+1

答案第10页，共17页

3

则配用1,当川=0即尤=以1时等号成立,

故AD的最大值为V3+1.

思路2：正弦定理函数处理

—1—2—

由CD=25。，^AD=-AC+-AB,

33

i441/、

两边平方得/a=—〃+—，+—加cos60°=-(b2+4c2+2M.

9999V7

bc_3

又因为=2A/3,则b=2百sinB,c=2A/3sinC，

sin5sinCsin60°

代入得)

zr2=1^2+4C2+2Z?C)=273sinf2C-yj+4.

又因为“3C为锐角三角形,

0<C<-

2ATIZra兀一兀

所以解得/〈Cv7,

7162

Q<B=--C<

32

当2cq=5即C=工时，AD2=243sin2Y+4的最大值为4+2省,

所以/。2="+26=用1.

方法三：设8C的中点为EQ4BC外接圆的圆心为。，则打=前+历,

所以府卜园+丽V时+附，

2|^o|=2r=^-=2^,所以|前|=6,

11sin/11

OE2^r2-CE2^3--=-,

44

所以O£=Y工DE=!，所以。。=1.

22

所以/DVG+I，当且仅当a。,。三点共线时等号成立，此时。Be为锐角三角形.

17.(1)证明见解析

(2)平

【分析】(1)由题意建立适当的空间直角坐标系，设N4=NC=CS="，BE=CF=t,只

需证明福•4=0即可.

答案第11页，共17页

（2）由题意得到三棱锥C-C斯的体积取得最大值时当且仅当，E,尸分别为8C,/C的

中点，分别求出两平面的法向量，然后利用平面夹角的余弦公式计算即可.

【详解】（1）由题意知在直棱柱ABC-A^Q中，zc=,可得AC2+BC2=AB1,

2

所以/C/BC,

又CG_L面/JgC,NC,BCu面NBC,所以CQ_L/C,CG_LBC,

即/C,BC,CG两两垂直，如图，建立空间直角坐标系C-.，

不妨设/4=/C=CB=a,BE=CF=t,则/（a,0,0）,4（a,0,a）,尸,0,0）,3（0,a,0）,

B1（0,a,a）,£（0,a-f,0）,

所以AXE=（——t,_a）,Bp—（%,—a,—q）,

可得4再,Bp——at—/+at+a?—0,

所以蔗_Lm，即4E_L5/

i——，2

（2）VC1-CEF=-t（a-t）a<--------=五，

当且仅当，=。-/,即/=£时，有最大值，

2

此时E,尸分别为BC,/C的中点，小|，0；唱‘°'°［，所以丽=仁'4'0］，

由⑴可知4（0,a,a）,8（0,a,0）,所以函=［o,|,〃，丽=（|,一川，55；=（0,0,a）,

不妨设平面片£尸的一个法向量为4=（X］，M，ZJ,

答案第12页，共17页

4•EF=-%；-—j1=0

则"~，令Z]=T,解得再=必=2,

■»‘*a

nx-EB]=—yl+azr=0

所以可取平面均印的一个法向量为力=（2,2,-1）,

不妨设平面4月厂的一个法向量为%=（x2,y2,z2）,

—'—■a

n,•BF=—x,-ay.=0

则:_2令%=1，解得了2=2/2=0,

n2•BB[=az2=0

所以可取平面尸的一个法向量为玩二（2,1,0）,

设平面4台/与平面片跖的夹角为。，则cose=kos相利=咨?=二=挛,

\ny\m\3V55

所以平面BXBF与平面BXEF的夹角的余弦值为平.

2

18.（1）土Y+匕V=1

43

（2）证明见解析

【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义求得进而W/1=（,结合椭圆的定

义求出。，进而求出"即可求解；

（2）当直线/的斜率存在时，设/的方程为＞=左（》-1）+1,联立椭圆方程，利用韦达定理

表示%+%,%+%,得P］嘿/当左N0时，直线。尸方程联立椭圆方程求出

说M和。（&,坨），结合丽.丽=2OD2化简计算可知点。在定直线;+g=2上;当人=0或

后不存在时也符合以上结论.

5?

【详解】（1）由题意得匕（1,0）,|峥|=为+1=§,解得

由于点河在。2上，所以yj=4x〃=1,解得力短，

33

所以呜孚］'所以那术+1）、（当）",

75_____

则2。=§+§=4,即。=2,又c=l,所以6=J?一02二班,

答案第13页，共17页

22

所以椭圆方程为土+匕=1.

43

(2)当直线/的斜率存在时，设/的方程为>=心》-D+1,

与椭圆方程:+：=1联立，消去y得(4/+3)/+阳1-左)尤+4](1-汗-3]=0.

因为点尺(1,1)在椭圆内，所以A>0,

设/(须，必)，3值,%),则玉+尤2=坐±?，

4左+3

，/842(左一1)，、6(1-4)

%+%=左(&+9)+2(1-左)=软2+3।2(1-左)=

44收一1)3(1-左)]

所以P4左2+3‘4左2+3)•

33

当上/0时，kOP^--,则直线。尸的方程为y=-三x,

4k4k

与椭圆方程联立得名=著3说=—.

(、34k

设。(%。,%)，贝U二一万％0，&二一-7~歹0・

2

।------*------*-------24K/c-l)3(1—Q(\6k91

由OPOQ=2ODAk2+3'Xq+4^+3'yQ~24^+3+4A:2+3)

2

4k(k-l)xe+3(1-k)yQ=2(16A:+9)

22

n4后x°—3kyQ+3y°-Akx@=2(16k+9)

2

=>4后2芯0-3左x°j+3/0-4后1-■—yQ2^6k+9)

=、+也=2,

43

所以点。在定直线：+]=2上.

当左=0时，由条件可得P(0,l),x°=0,五=3,%=0,坨=6,

则点。(0,6)也在直线二+乙=2上.

43

当人不存在时，由条件可得尸(l,0),为=0,x悌=4,&=8,%=0,可知点。(8,0)也在直线

综上，点。在定直线:+5=2上.

答案第14页，共17页

【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联

立方程组并消元得到关于X或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的

交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有网%巧+%或为%，%+%，最后利用韦达定理

把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.

19.（1）证明见解析

⑵0=1

（3）证明见解析.

【分析】（1）利用二次求导，结合零点的存在性定理讨论函数/（x）的单调性，即可证明；

（2）设为（x）=/（x）-ax-l,一方面:由题意可知［〃（尤）］maxW0,则x=0是”（无）的一个极大

值点，即〃'（0）=0,求得4=1；另一方面：当“=1时，利用导数,结合不等式

cosxWl,ln（l+x）Vx讨论函数〃（X）的性质即可；

（3）由（2）,根据导数和零点的存在性定理可得在函数g（无）卜一：'-1,0）、［0,兀］上各有1个

零点；由（1）,利用放缩法计算可知g（x）在5,+◎上无零点.

11

【详解】（1）因为/'（X）=—s