2024年全国研究生考试数学试卷及参考答案（一）

2024考研数学(一)

试卷及解析

一、选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的.

L设/(x)=£ecos(dr,g(x)=J。e’山,则下列正确的是

A./(x)为奇函数，g(x)为偶函数

B./(%)为偶函数，g(x)为奇函数

C./(x),g(x)均为奇函数

D./(x),g(x)均为周期函数

「【答案】C

【解析】e。。",关于/是偶函数，则J。e00、,'S是奇函数，由g(x)=£psinxe,2'd/,则

/•sin(-x).2f-sinx.2fsinx2

g(-x)=£ed/二J。ed/,令:一〃，贝Ug(-％)=-(e"d》，

于是g(—x)=-g(x),g(x)是奇函数.

2.已知「=「(国'2),。=。(%//)均连续，£为Z=一》2—V0,y20的上侧,

则jjPdydz+0dzdv=

A.1:尸+:。卜学

B.用竹p+叫皿

c.加”舞卜学

N

D.「三。-叫皿

s

2.【答案】A

由转换投影公式。

0P卜|）郎+《一同岫

0000

3.幕级数£a“x"的和函数为ln(2+x),则£%=

n=0n=0

11

A.——B.---

63

11

C.一D.-

63

3.【答案】A

［解析］ta(2+x)=tah+M+ln2

4

(、1一」)

---------1-•,-----------1-...

46

£na2n=0+%+2&+3as+4%H—

n=0

11

y

2=_A=_1X1=_1

_x3836

然」4

4.设函数/（X）在区间（—1,1）上有定义，且噂/（x）=o,则

A.lim"x）-加，则/，（0）=m.

B./'（0）=%则lim/、）=m.

Clim/'（x）=m,贝y'（0）=m.

D/（0）=m,贝Ulim/'（x）=m.

4.【答案】B

【解析】由/"(O)=冽.则lim"幻―4°)=mnlim[/(%)-/(0)]=0

从而/(0)=0

于是lim/(x)=lim/(x)—〃°)=加，B选项正确

%一°xx—0

E

5.7Ti:atx+by+czz=dt[i=1,2,3),%=(%,b”cj,优=(知生。”4)/m.rp2=n,

a.

则加=）n=

A.m==2.B.m=n=2.

C.m=2,〃=3.D.m=n=3.

5.【答案】B

【解析】由题意可知，匹，叫,心相交于一条直线，且不重合

axx+bYy+cxz-dx

即方程组＜=%有无穷多解，且火,处,々3两两不相关

a3x+b3y+c3z=d3

(、

a1

/(%,%)=2(i丰yj

故ra3=r%<3,

故加=〃=2.

«1,a,线性相关，且其中任意两个向量均线

2a3

性无关，则

A.a=1,6w1B.a=1,6=—1

C.aw-2,b=2D.a=—2,6=2

6.【答案】D.

【解析】由

'a11、(11a、’11a、

0\—Cl1-/

./\11a0\—Cl1-a之

Z=a1必，见二fT

\17223)

-1b-106+1Q—106+16Z—1

、1a1)、0a—11—ci,、002-a?_a,

由r(apa2,a3)<2且r(a,,aj=2«wj)

故r(a],(z2,a3)=2

CiJ当a=l时，%与%相关，不满足题意

r11a、"11a'

011+a011+a

D当awl时，—f

\17Z7J/06+167—100-b(a+l)-2

、00a+2/、00a+2)

故要满足题意，则a+2=0且—b(a+l)—2=0

a——2

=><

b=2

7.设N是秩为2的3阶矩阵，a是满足力。=0的非零向量，若对满足夕Ta=0的3维列向

量万，均有/£=£,贝U

A.d的迹为2B.43的迹为5

C.42的迹为8D.42的迹为g

【答案】A

【解析】由Za=O且r（/）=2可知；1=0为特征值（且为单根），a为特征向量

由于4»=少=1/且6与a正交

所以少为特征值2=1对应的特征向量，且2=1为二重根

fl00A

记

所以存在可逆？，使得小~尸=o10=A

、000,

所以pT/"尸=/"=/

即tr（N"）=tr（/"）=2,选A

8.设随机变量X,y相互独立，且X服从正态分布N（0,2）,y服从正态分布N（-2,2）,若

P[lX+Y<a\=P{X>Y],则"

A.-2-VH）.B.-2+VH）.

C.-2-V6.D.-2+V6.

8.【答案】B

【解析】E(2X+F)=2EX+EY^-2,Z>(2X+丫)=4OX+OF=4x2+2=10

2X+V+2

所以2X+T〜N(—2,10),X—y~N(2,4),P<

VTo

IX—Y—1L0—2a+2i——

尸n〈一7—=1一0(—1)=0(1),^^=1,即.=9_2

【22JV10

2(l-x)

9.设随机变量X的概率密度为/(x)=。(“<1在X=x(O<x<l)条件下，随机

0,其他.

变量丫服从区间(x,i)上的均匀分布，则Cov(x,y)=

A.--.B.--

3672

C.—.D.—.

7236

9.【答案】D

1

一，x<y<\2(1-x),0<x<1

【解析】由题意可知力|x(Wx)={1-x/(X)=<

0,其他

0,其他.

2,0<x<j<1,

/(x,y)

0,其他.

ifl111

EX=fr2x(1-x)dx=2-——=—

J。u3j3

E(XY)=j\j'2xydy=^

"ry

#(、L2dx=2J,0<j<1,：2

A(v)=iJoElJ2y2d.y=

[o,其他.3

Cov(xy)=---=—

4936

io.设随机变量相互独立，且均服从参数为2的指数分布，令z=|x-H，则下列随机

变量中与z同分布的是

A.X+YB.

C.2XD.X

10.【答案】D

八"(?x>0,y>0

【解析】x与丫的联合概率密度为/。，/二力仁卜/式/^

0,其他

设z的分布函数为弓(z),则％(z)=P{Z<z}=P\\X-Y\<z}

①当z<0时，Fz(z)=0;

(2)当z20时,Fz(z)=P{-z<X-Y<z}=2P{0<X-Y<z}

=21加如财:犷也.

=2r加叫dy_2eTzJ：加叫dy

=l-e-2z.

所以Z〜E(l),从而Z与X服从相同的分布，选D.

二、填空题：11〜16小题，每小题5分，共30分.

ll.lim--------g--------=6,贝1Ja=_____.

xT)x

11.【答案】a=6.

(l+tZX?)-1smxln(l+ax2)_isillxln(1+

［解析】lim^--------i--------=lim-----------------=lim--------------------^=lim?=6.

°xf0Xf0X—>0

所以a=6.

12.设函数/(M,V)具有二阶连续偏导数，且4/Ul)=3dM+4dv,令y=/(cosx」+x2),

贝1」胃,=0

dx

12.【答案】5

【解析】由旷(l,l)=3d“+4dv,则/;(1.1)=3,/；(1.1)=4,由y=/(cosx,l+x2

则*小—对+力2,

W=[];(-sin》)+/；；•2x](-sinx)+工,(-cosx)+(寿(—sinx)+£；•2x)•2x+£

•-2.

因此

d2y

=和,1)(-1)+力(1,1>2=-3+8=5.

dx2

x=0

13.已知函数/(x)=x+l若/(X)=+C0S〃X,X£[0,兀],则

2«=i

lim/sina_=

W—>00ilnx

13.【答案】—1

71

【解析】由

*Tl

an=-\f(x~)cosnxdx=-(x+l)cos«x(k=-xcosnxdx

71J—nno71o

=Ar兀

xdsinnxxsinnx\sinnxdx

7271J°〃兀L0

9

2117t21

—COS72X

nnnrmn花("1)•

44干日

当为奇数时，a=则明7E

nn27i(2〃—Ip兀'_

-41

lira/sin%--limw2-sin----=limz:2•

M—>00M—>00(2〃—1)2兀n—>oo(2〃-1)2・兀兀

14.微分方程y'=-J满足条件y(l)=0的解为

(x+y)

兀

14.【答案】arctan(x+y)二天+^

d丫

【解析】方程化为「=(X+V)2

dy

,,dxdu

u=x+y则——=----1

dydy

即—=//+］贝ijJ-—du=\dy

dy+1

arctanw=y+c

71

代x=ly=0,u=l.得c=一

94

得arctan(x+y)=y+£

(Q+1a、

15.设实矩阵A=,若对任意实向量

IQa)

a=1,/?=1\,(aTA/}Y<aTAafiTAfi

IMUJv

均成立，则。的取值范围是.

15.【答案】a>0

【解析】易知/丁=力=力可正交相似对角化且力的特征值为实数

即存在正交阵Q使2T4。=]=，^A=QAQT

又Va,£有口邓）2《『出『即,

即.@A@T肝Wa，QdQTa户0

（a\（b\

记gTa=a,=।,。»=4=1

\aiJ

即,：/4）2〈因丁人少必丁/4

即（4%4+4%，2）2-（4。；+4姆）（4。；+4,）

/+44"；'；+44。；，：

=>24224*2%-4%2。；公+44。；，；=>44［。；b；+a；b；-2。］4%人20

z、2Cl-T1Cl22

=^>W(ab-a1b)>0^>>0^>|yl|==a+a-a-a>Q

12xaa

16.设随机试验每次成功的概率为p,现进行3次独立重复试验，在至少成功1次的条件下,

4

3次试验全部成功的概率为—,则夕=.

2

16.【答案】p=~

【解析】设事件A：全成功，B：至少成功一次，则

P(AB)P(A)「34

P(图8)==丽

P(B)1—(1—力13

13P3=4-4(l_p)3

整理得p(3p-2)(372+6)=0=>P=~-

三、解答题：17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知平面区域。=—计算07^^<卜⑪.

D+y

【解析】

X

0/2%2改⑪=20,dxdj

2

As/x-+yg卜+F

=2扁6虾*^.曲+J?d，甲9%rdr]

r-；r

则

1

it1ncos。

=1BdeJ]CosOcosed"11cos。，—rd0

2

1

---—f^sec0d0=—ln(sec0+tan3)=Ln(拒+1)

coseJ2202

兀[兀]sin6

A=J；inOcosedr二f2cos^--r2d3

2*171**1**71c

441

兀

1%e-11

-f-7121

-j2-

-万-----

兀2e2C

-s兀N

41

-4

2m-

故原积分

ln(V2+l)+(V2-l)

18.已知函数/(%,力=/+，—(x+y)2+3,r为曲面z=/(x,y)在点(1,1,1)处的切平

面.。为「与坐标平面所围有界区域在x0y平面上的投影.

(1)求「的方程；(2)求/(x,y)在。上的最大值与最小值.

【解析】⑴F(x,j-z)=x3+j3-(x+y)2+3-z.

2

Fx=3x-2(x+v)

则月=3/—2(x+y)记尸(1,1,1).

Fl

乩=T・矶=f月L=T-

即F(x,y,z)在(1,1,1)处的切平面方程的法向量为(-1,-1,-1),且过(1」』)

所以(_l)(x-1)+(-l)(v-1)+(-1)(2-1)=0

即厂的方程为x+y+z=3

(2)由(l)可知：有界区域在xoy平面上的投影为：D={(x,y)\O<x<3,O<y<3-x)

f=3x2-2(x+y)=0<44

⑴在区域。内：7，x：(［、「得唯一驻点：

旧=3歹-2(x+y)=0133

(ii)在x轴上，f(x,y)=xi-x2+3=g(x)(0<x<3)

2(2)

令g'(x)=3f-2x=0=>x=—.所以

(iii)在〉轴上，同理可得

(iv)在直线y=3-x,f(x,y)=x3+(3-x)3-6=/z(x)(0<x<3)

令/Z'(X)=3X2_3(3—X)2=0

端点片(0,0),4(3,0),6(0,3)

4417

代入各点，最大值/(3,0)=/(0,3)=21,最小值为/

35327

19.设函数/⑴具有2阶导数，且/'(0)=/'⑴,/"?)日1.证明:

(1)当xe(O,l)时，|/(x)—/(O)(l—X)—/⑴x卜^4

⑵w(°)+/⑴J

Jov7212

证明：⑴

小)=/(。)+/,(。)》弓岂2⑴

/(刈=/(1)+八1)(1)+小丹》—1)2(2)

(1-x)(1)+X(2)

^/(x)=/(0)(l-x)/(l)x/W(l-x)/'(W-l)xm

++++2x-l)2x

|/(x)-/(O)(l-x)-/(l)x|

11

x2?(l-x)+—x(l-x)92

——x(l-x)(x+1-x)

_x(l-x)

-2・

0

⑵([/(X)-〃0)(1-X)-/⑴工拉卜R/(x)dx-/(o>(1-4-/⑴，;

212

=f/(x)dx-/(0)+/(D

*u24-

20.已知有向曲线L为球面Y+/+z2=2%与平面2x—z—1=0的交线.从z轴正向往z

轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分

J(6xyz-yz2)dr+2x2zdy+xyzdz.

L

5炉—6x+y2+1=0.、

【解析】曲线在X0平面上的投影为人：z=0万向为逆时针，"围成的

区域面积为。.

则原积分=£^6xy(2x-1)-y(2x-1)2出+2x2(2x-l)dy+xy(2x-l)d(2x)

由格林公式，可得4x)—(12x2_4x_1川°=i&7=%

上挈在所以原积分为挈，

七=_2X"T+2Z“_],

21.已知数列｛XJ-NJ-ZJ满足/=—1,%=O,Zo=2,且＜yn=-2yn_x-2zn_x,记

z

n=-6x„_1-3j„_1+3z„,1,

a„=yn写出满足%=Na,i的矩阵/,并求义"及苞,,以/“(〃=1,24一).

r)

Xxn-\

【解析】（1）由题意可知，?』

yn-i

\Zn-\)

/-202、

%=/%一10%0-2-2%_]

、—6-33

、Z”?

202、

故4=0-2-2

「6-33,

2+20-2

⑵由\XE-A\=02+22=2(2-1)(2+2)=0

632-3

解得4=°,%=L4=-2

I」、

当4=0时，解得线性无关特征向量为刍=-1

id

当4=1时，解得线性无关特征向量为或=2

、-3/

[1、

当4=—2时，解得线性无关特征向量为&3=-2

r-21、"0、

故存在可逆矩阵尸=（。忑2，&）=-12-2使得p-，P=/=1

,1-30,、一2,

故/=尸/「7

即

、

p-210(63-2、

An=(^PAP^'=PAPx=-12-221-1

、1-30(-2门-1-10

<(-1),,+12,,-4(―1)向2"—22、(X„-2\

B+1

(-l)"2+4(―1)"2向+2-2y„=Az,-i=斤然一2

-6-33Z

7<«-2)

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