山东省德州市2024届高三5月第三次模拟考试数学试卷及答案

高三数学试题2024.5

本试卷分第I卷（选择题）和第U卷（非选择题）两部分，第I卷1—3页，第U卷3—4

页，共150分，测试时间120分钟.

注意事项：

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在测试卷上.

第I卷选择题（共58分）

署一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项

£是符合要求的.）

1.设集合A={]£期一2VxW4},B={ieZ|log2N&l）4[|AnB=

A.（-2,2]B.（-2,4]C.{-1,0,1,2}D.{1,2}

2.已知两个非零向量a满足|a|=30，（a+b）J_&,则cos<a,fc>=

A.—B.-yC.—D.-y

3.已知等差数列"“}的前"项和为S"，若a2=3,2S,=3S3+l,则S7=

整A.35B.21C.14D.7

4.某学习小组共有9名学生，其中有5名女生，现随机从这9名学生中抽取2名任小组组

长,A表示“抽到的2名学生都是女生”，B表示“抽到的2名学生性别相同”,

则F（A|B）=

ZBWC-DW

A15834

/77—

5.已知复数2=『，贝『'|z+21=2”是“a=4”的

1一I

警A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知点Q为圆C：/+y2=4上一动点，点P满足琼=（1,—2）,记点P的轨迹为E.直

线/：z—、+3=0上有一动点M,直线MP与E相切于点P,则1PM|的最小值为

A.2B.75C.714D.372

高三数学试题第1页（共4页）

7.已知函数/'(£)=2024—"+log20242024/+1012,则关于i的不等式f(3i—2)+

1+J7

/（I一久）＜2024的解集为

A.(-,+oo)B，万)C.(―,2)D.(-,1)

8.双曲线具有光学性质:从双曲线的一个焦点出发的光线照射到双

曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦

y2

点.若双曲线E：滔一序■=l（a〉0,6〉0）的左、右焦点分别为

Fi,尸2,从F2发出的光线经过图中的A,B两点反射后,分别经

过点C和D，且tan/CAB=—*,|访|2=e•囱5,则双曲线

O

E的离心率为

B.冬D.”

Vy.Z

二、选择题（本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.某运动爱好者最近一周的运动时长数据如下表：

星期一二三四五六日

时长（分钟）6015030601090120

则

A.运动时长的众数为60B.运动时长的平均数为60

C.运动时长的30%分位数为60D.运动时长的极差为140

10.已知四棱锥PABCD的底面是边长为。的正方形,PC=PD=Z,则

/n-

A.当l=a，NPCA=45°时，点P到平面ABCD的距离为学"

B.当Z=a,/PCA=45°时,二面角PAB-C的余弦值为《

C.若四棱锥P-ABCD的各顶点均在同一个球面上,则此球体积的最小值为餐k外

代一42

D.若四棱锥P-ABCD为正四棱锥且/=a，则该四棱锥内切球的半径为a

3

高三数学试题第2页（共4页）

11.曲线/.（z,y）=O上存在两个不同点，若在这两点处的切线重合，则称这条切线为曲线

/Gr,y）=0的“自公切线”，则下列曲线中存在“自公切线”的为

A.了=£2—2\x\B.y=xcosx

\x2+i+lVO

C.3——xy+1—0D.y=<

[Inx，久〉0

第n卷非选择题（共92分）

三、填空题（本题共3小题,每小题5分，共15分）

12.已知抛物线*=（力>0）上一点M到焦点的距离比它到直线人了+6=0的距离小

2,贝！Jp'.

13.设•2+Cio•22+-+C|•源被9除所得的余数为二，则（6+的展开式

\/X

中的常数项为.

14.数列｛七｝中，沏=1,。2=2,设2=0是函数/（久）=。〃—+〃一。〃+1）2一2（%>2且

11

"GN*）的极值点，则£（工"的整数部分为.

四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（本小题满分13分）

已知函数/（丁）=az2+（>+l）z—41ar.

（1）当«=0时,求曲线，=户工）在点处切线的方程；

（2）若a>0时，函数/（z）存在极值点了=1,且/Cr）>c恒成立，求实数c的取值范围.

16.（本小题满分15分）

如图,在多面体P-ABCFE中,PA_L平面ABC,PA//CF//BE，且PA=2CF=4BE,D

为PA的中点，连接BD,PC,点M,N满足疝=2D法,P片=2超.

(1)证明:MN〃平面ABC；

/65

(2)若PA=2AB=2BC=4,cos/PEF=%,求直线PM与

65

平面PEF所成角的正弦值.

高三数学试题第3页（共4页）

17.（本小题满分15分）

O

如图，四边形ABCD中,AB=2^3,BC=2,ZABC=ZADB=y.

（1）若BD=2,求AD的长度；

（2）若20BDW2VI,求aBCD面积的取值范围.

18.（本小题满分17分）

某学校为了激发学生的体育运动兴趣,助力全面健康的生活和学习，组织全体学生开展

以体育锻炼为主题的实践活动，现将该学校1500名学生一周的体育运动锻炼时间（单位:

小时）统计如下表所示，其中每周的锻炼时间在6小时以上（包含6小时）的有975人.

每周锻炼时间（单位:小时）[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12]

频率0.2m0.3n0.1

（1）为了了解学生参与活动的情况，从每周锻炼时间在［4,6）,［6,8）,［8,10）三组内的学

生中,采取分层抽样的方法抽取了14人,现从这14人中随机抽取3人，记每周锻炼时间

在［6,8）内的学生人数为X,求X的分布列和数学期望；

（2）以样本的频率估计概率，从每周锻炼时间在［4,10）内的学生中随机抽取20人，这20

人中每周锻炼时间在［8,10）内的学生最可能有多少人？

19.（本小题满分17分）

丁2y2反

已知椭圆「：-?十力=1（。>6>0）的离心率为为，右焦点为F,上顶点为A,左顶点为B,

_a|FA|-IFBI=8+4遮，。为坐标原点.

（1）若直线V=义工与椭圆r交于C,D两点,其中点D在第一象限，过点C作斜率为相

的直线Z1，直线h与椭圆的另一个交点为R,与直线X=4的交点为Q,过点Q作直线

RD的垂线Z2,求证:直线Z2恒过定点；

（2）过点P（—1,一万）分别作直线八，/4,直线23与椭圆相切于第三象限内的点G,直线

Z4交椭圆「于M,N两点.若|PG|2=|PM|•|PN|,判断直线儿与直线OG的位置

关系,并说明理由.

高三数学试题第4页（共4页）

高三数学试题参考答案

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合要求的.）

1.D2,D3.A4.B5.B6.C7.D8.B

二、选择题（本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.ACD10.AC11.ABD

三、填空题（本题共3小题,每小题5分，共15分）

12.813.7014.511

四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.解：（1）当a=Q时"（2）=2一41rLz,

4

所以〃1）=1且/（/）=1——...........................................2分

x

所以切线斜率左=/'（1）=-3............................................3分

所以切线方程为'-1=—3（z—1）,即3z+y-4=0

故曲线，=/＜z）在点（1，/（1））处切线的方程为3z+y—4=0................4分

（2）/'（z）=2"+，+l—*=2*2+（/+1）"—4（7〉0）..................6分

XX

因为函数/（Z）存在极值点了=1

所以/''（1）=々2+2々一3=0,解得＜2=-3或a=1..........................7分

令/（z）〉0,得工〉1.此时八7）单调递增，

令/'（z）＜0,得0＜工＜1,此时/Cz）单调递减，

因此/（z）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增，....................10分

因为/Cz）＞c,所以恒成立

所以/（了）的最小值为/（1）=3.........................................12分

故c&3................................................................13分

高三数学试题答案第1页（共6页）

16.(1)证明:过M作MG〃PA,交AB于点G,过N作NH〃PA,交AC于点H,

则MG〃NH,....................................................................................................................2分

「MGBM2NHNHCN1

又布=丽=1"，河=^5=函=1''侍MG=NH，

所以MNHG是平行四边形，.............................................4分

所以MN〃GH,又MNU平面ABCGHU平面ABC,所以MN〃平面ABC.5分

7

(2)解：由题意可知PE=JAB2+(?PA)2=A/2+F=/T3,

EF=,JBC2+(^CF)'=/2I+F=V5,................................................................7分

在△PEF中,PF?=PE?+EF?—2PEXEFXcos/PEF

,LL^05

=13+5-2X713X75X-T^=16,

65

12

AC2=PF2-(-PA)=12,即AC=2偌，.................................9分

以AC中点。为坐标原点,OB,OC,OS所在的直线分别

为z,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，

所以P(0,-73,4),E(1,O,1),F(O,V3,2),

12A/34、

M(—,，W)

11分

JFP•n-—2^)+22=0,

设平面PEF的法向量为〃=,N）

\EP•n=—x—直'6+32=0,

不妨取丁=1,则1=2西，N=西，即〃=（2石，1,乃），......................13分

设直线PM与平面PEF所成的角为心

,5-

\PM•n\__3__5/51

sin9=|cos<FM•n>|

\PM\\n\~2^17X7~136

所以直线PM与平面PEF所成角的正弦值为......................15分

高三数学试题答案第2页（共6页）

17.解：(1)在△ABD中，

由余弦定理可得AB2=DB蠢+A+2—2DB-AD-cosZADB,................2分

所以12=4+AD2-4AD•(-y),

所以A。一2AD—8=0,.................................................4分

解得AD=2或AD=-4(舍去)，

所以AD=2；............................................................6分

(2)A+/ABD=/①，/CBD+/ABD=，②，

TT

②一①可得NCBD=A+g,.............................................8分

在△ABD中，由正弦定理可得多了=一玄,可得BD=4sinA,..............10分

.ZTCsinA

sm-

因为2&BD(2后所以〈WsinA《f，因为Ae(0j),所以……一分

乙乙364

!TTTT

所以SZvSm=3XBDX2XsinNCBD=4sinAsin(A+w)=2sin(2A—7)+1...14分

乙00

因为a―管号]，所以S^BCDG[2,V3+1]...........................15分

18.解：(1)由每周锻炼时间在6小时以上(含6小时)的有975人得：

975525八

n=_-0.3-0.1=0.25,m=_-0.2=0.15)..........................2分

15001500

由题中统计表可知，每周锻炼时间在［4,6）,［6,8）,［8,10）三组的频率之比为0.15：0.3

:0.25=3:6：5,所以14人中每周锻炼时间在6小时以上（含6小时）在［4,6）内的学

365

生人数为hX14=3,在［6,8）内的学生人数为百义14=6,在［8,10）内的学生人数为百

X14=5,................................................................5分

则X的取值可能为0,1,2,3,.............................................6分

~CI2CICI6

所以P(X=0)=^=1Pp(X=l)=v=1r

CICI30Cl5

P(X=2)=p『F，P(X=3)=瓦=亓8分

所以X的分布列为:

高三数学试题答案第3页（共6页）

（或者由题可知X〜“（14,3,6）,所以E（X）=^=*=?）

(2)用样本频率估计概率，该校学生每周锻炼时间在［4,10)内随机抽取20人，每周锻炼

0255

时间在［8,10)内的概率］二元，........................11分

0.15十10.3十0.2514

设每周锻炼时间在［8,10)内的人数为k,

5%g20-々920—左

P(k)=C^pk(l-py°-k=C^(-)(-)—，.....................................13分

C豺5+19-20!

P(k+1)_14s_5(左+1)!(19—左)！_520-

P(k)=C6O5-92°T=可20!=©/+1—........................14分

~~(♦)!(20T)!

13

解得笈＞2=6.5,............................................................................................................15分

所以当6V6时，P（7）》P（6）〉…＞P（l）,当人）7时,P（20）＜…WP（8）WP（7）,

所以当左=7时,P（左）最大，即这20人中每周锻炼时间在［8,10）内的学生最可能有

7人...................................................................17分

（注：由P（/）＞P（4+l）,Pq）＞Pa—1）联立，相应得分）

c

19.解：(1)由题意可知—2'..........................................................................1分

［＜2(＜2+c)=8+4西

解得a2=8,c2=6,b-=2.

了2y2

所以椭圆r的方程为五+7=1....................................................................................2分

O/

1

联立《可求得C(—2,—1)、D(2,1),3分

设Li：yJrl=m(i+2).

_y+ly-ly2—l

设RO,、），则k•k

RCRDjr+2x—2x2-4

高三数学试题答案第4页（共6页）

x2y21

由卫+方=1得后RC•%RD=—彳・.........................................5分

oZ4

又12工RD,所以札=4m...............................................6分

由Zi：，+1=根（1+2）可得Q（4,6加—1）...................................7分

贝！I，2：丁一（6m-1）=4帆（1一4）...........................................8分

即、+1=2机（2①-5）

5

所以直线%恒过定点（方，一1）............................................9分

乙

（2）直线，与直线OG平行.证明如下：

显然直线13斜率存在,设直线13方程为》+歹="屋+1）.

,2+4靖=8,

由I3得（4"2+1）万+（8”?—12"）z+4"2—12〃+1=0.........10分

[y=w（z+l）——

因为直线，3与椭圆相切，

△=（8]?2—12〃）2—4（4/+l）X（4〃2—12〃十1）=4（28〃2+12〃-1）,

令△=（）解得"或.........................................11分

因为直线z3与椭圆相切于第三象限内的点G,所以舍去.

所以n=所以2X2+8X+8=0,XG=-2,

13

所以yc=一"^(KG+1)—"2=~^9

15

所以G(—2,—1),直线OG斜率为I，|PG|2=4..........................12分

直线〃的斜率不存在时，|PM||PN|=g,

所以|PGdPM|•|PN|,不成立......................................13分

3

设直线，4的方程为、+2=后（1+1）,M（X1,）1）,N（R2,）2），

（j：2+^y2=8,

由J3，得（4后2+1）式2+（842—12后）1+4笈2—124+1=0.

直线h交椭圆C于M,N两点.△=4（28〃+12%—1）＞。

高三数学试题答案第5页（共6页）

所以k＜—"，或为＞\.

._\2k-3k2_4笈2—12为+1

所以马+”户]+4公，工3=]+4万15分

PM|=J（『i）2+（g+\）2n/ITF|4+11,同理|PN|=/ITFu2+i|

所以|PM|•|PN|=（l+P）|zi+l|g+l|

=（1+^2）反112+（久1+12）+1I

2

=（1+.）4.+]......................................16分

2511

所以（1十公）77E=五，解得归=5或左=一下；

T：rvIJ.x乙乙

因为为＜一2或左＞"，所以为=万.

所以直线h与直线OG平行............................................17分

高三数学试题答案第6页（共6页）

高三数学试题参考答案

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合要求的.）

1.D2,D3.A4.B5.B6.C7.D8.B

二、选择题（本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.ACD10.AC11.ABD

三、填空题（本题共3小题,每小题5分，共15分）

12.813.7014.511

四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.解：（1）当a=Q时"（2）=2一41rLz,

4

所以〃1）=1且/（/）=1——...........................................2分

x

所以切线斜率左=/'（1）=-3............................................3分

所以切线方程为'-1=—3（z—1）,即3z+y-4=0

故曲线，=/＜z）在点（1，/（1））处切线的方程为3z+y—4=0................4分

（2）/'（z）=2"+，+l—*=2*2+（/+1）"—4（7〉0）..................6分

XX

因为函数/（Z）存在极值点了=1

所以/''（1）=々2+2々一3=0,解得＜2=-3或a=1..........................7分

令/（z）〉0,得工〉1.此时八7）单调递增，

令/'（z）＜0,得0＜工＜1,此时/Cz）单调递减，

因此/（z）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增，....................10分

因为/Cz）＞c,所以恒成立

所以/（了）的最小值为/（1）=3.........................................12分

故c&3................................................................13分

高三数学试题答案第1页（共6页）

16.(1)证明:过M作MG〃PA,交AB于点G,过N作NH〃PA,交AC于点H,

则MG〃NH,....................................................................................................................2分

「MGBM2NHNHCN1

又布=丽=1"，河=^5=函=1''侍MG=NH，

所以MNHG是平行四边形，.............................................4分

所以MN〃GH,又MNU平面ABCGHU平面ABC,所以MN〃平面ABC.5分

7

(2)解：由题意可知PE=JAB2+(?PA)2=A/2+F=/T3,

EF=,JBC2+(^CF)'=/2I+F=V5,................................................................7分

在△PEF中,PF?=PE?+EF?—2PEXEFXcos/PEF

,LL^05

=13+5-2X713X75X-T^=16,

65

12

AC2=PF2-(-PA)=12,即AC=2偌，.................................9分

以AC中点。为坐标原点,OB,OC,OS所在的直线分别

为z,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，

所以P(0,-73,4),E(1,O,1),F(O,V3,2),

12A/34、

M(—,，W)

11分

JFP•n-—2^)+22=0,

设平面PEF的法向量为〃=,N）

\EP•n=—x—直'6+32=0,

不妨取丁=1,则1=2西，N=西，即〃=（2石，1,乃），......................13分

设直线PM与平面PEF所成的角为心

,5-

\PM•n\__3__5/51

sin9=|cos<FM•n>|

\PM\\n\~2^17X7~136

所以直线PM与平面PEF所成角的正弦值为......................15分

高三数学试题答案第2页（共6页）

17.解：(1)在△ABD中，

由余弦定理可得AB2=DB蠢+A+2—2DB-AD-cosZADB,................2分

所以12=4+AD2-4AD•(-y),

所以A。一2AD—8=0,.................................................4分

解得AD=2或AD=-4(舍去)，

所以AD=2；............................................................6分

(2)A+/ABD=/①，/CBD+/ABD=，②，

TT

②一①可得NCBD=A+g,.............................................8分

在△ABD中，由正弦定理可得多了=一玄,可得BD=4sinA,..............10分

.ZTCsinA

sm-

因为2&BD(2后所以〈WsinA《f，因为Ae(0j),所以……一分

乙乙364

!TTTT

所以SZvSm=3XBDX2XsinNCBD=4sinAsin(A+w)=2sin(2A—7)+1...14分

乙00

因为a―管号]，所以S^BCDG[2,V3+1]...........................15分

18.解：(1)由每周锻炼时间在6小时以上(含6小时)的有975人得：

975525八

n=_-0.3-0.1=0.25,m=_-0.2=0.15)..........................2分

15001500

由题中统计表可知，每周锻炼时间在［4,6）,［6,8）,［8,10）三组的频率之比为0.15：0.3

:0.25=3:6：5,所以14人中每周锻炼时间在6小时以上（含6小时）在［4,6）内的学

365

生人数为hX14=3,在［6,8）内的学生人数为百义14=6,在［8,10）内的学生人数为百

X14=5,................................................................5分

则X的取值可能为0,1,2,3,.............................................6分

~CI2CICI6

所以P(X=0)=^=1Pp(X=l)=v=1r

CICI30Cl5

P(X=2)=p『F，P(X=3)=瓦=亓8分

所以X的分布列为:

高三数学试题答案第3页（共6页）

（或者由题可知X〜“（14,3,6）,所以E（X）=^=*=?）

(2)用样本频率估计概率，该校学生每周锻炼时间在［4,10)内随机抽取20人，每周锻炼

0255

时间在［8,10)内的概率］二元，........................11分

0.15十10.3十0.2514

设每周锻炼时间在［8,10)内的人数为k,

5%g20-々920—左

P(k)=C^pk(l-py°-k=C^(-)(-)—，.....................................13分

C豺5+19-20!

P(k+1)_14s_5(左+1)!(19—左)！_520-

P(k)=C6O5-92°T=可20!=©/+1—........................14分

~~(♦)!(20T)!

13

解得笈＞2=6.5,............................................................................................................15分

所以当6V6时，P（7）》P（6）〉…＞P（l）,当人）7时,P（20）＜…WP（8）WP（7）,

所以当左=7时,P（左）最大，即这20人中每周锻炼时间在［8,10）内的学生最可能有

7人...................................................................17分

（注：由P（/）＞P（4+l）,Pq）＞Pa—1）联立，相应得分）

c

19.解：(1)由题意可知—2'..........................................................................1分

［＜2(＜2+c)=8+4西

解得a2=8,c2=6,b-=2.

了2y2

所以椭圆r的方程为五+7=1....................................................................................2分

O/

1

联立