求最值中的几何模型-2024年中考数学答题技巧与模板构建（解析版）

忒承值中的瓜仰模型

题型包藏

模型01将军饮马模型

将军饮马模型在考试中主要考查转化与化归等的数学思想，该题型综合考查学生的理解和数形结合能力

具有一定的难度,也是学生感觉有难度的题型.在解决几何最值问题主要依据是:①将军饮马作对称点;②两

点之间，线段最短；③垂线段最短，涉及的基本知识点还有:利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三

边”、“三角形两边之差小于第三边”等;希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识.

模型02建桥选址模型

建桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小,解题时需要理清楚是否含有

定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置.求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用勾股

定理求解的方法.该题型主要考查了在最短路径问题中的应用，涉及到的主要知识点有矩形的性质、平行四边

形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理,解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径.

模型03胡不归模型

胡不归PA+型的最值问题:当看等于1时，即为“PA+PB”之和最短问题，可用我们常见的“将军

饮马，，问题模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理.当看不等于1时,若再以常规的轴对称思想来解决问

题,则无法进行,因此必须转换思路.此类问题的处理通常以动点P所在图象的不同来分类，一般分为两类研

究.即点P在直线上运动和点P在圆上运动.其中点P在直线上运动的类型通常为“胡不归”问题.

更结•牌型福建;

模型01将军饮马模型

者I向I颗I恻

将军饮马模型问题该题型主要以选择、填空形式出现，综合性大题中的其中一问，难度系数较大，在各类考

试中都以中高档题为主.本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、

含30。角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把

两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.

答I题I技I巧

第一步：观察所求为横向还是纵向的线段长度（定长），将线段按照长度方向平移

第二步：同侧做对称点变异侧，异侧直接连线

第三步：结合两点之间，线段最短;垂线段最短;三角形两边之和大于第三边等常考知识点

第四步：利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型

］或型守＜5'l

(1)点A、E在直线m两侧

•"两点连线，线段最短

［题目1)(2023•四川)如图，等边三角形ABC的边上的高为6,AO是BC边上的中线，〃■是线段AD上

的——个动点，豆是AC中点，则EM+CM的最小值为.

【详解】解:连接BE,与AD交于点

•/AB=AC,是BC边上的中线，

B、。关于AD对称，则EM+CM=EM+BM,

则BE就是EM+CM■的最小值.

•.♦E是等边△ABC的边的中点，AD是中线

BE—AD—6,

.•.EA1+CA1的最小值为6,

故答案为：6.

(2)点4、B在直线同侧•M

题目团（2022.安徽）如图,在锐角△48。中，4B=6,ZABC=60°,/ABC的平分线交力。于点。，点P,

Q分别是B。，AB上的动点，则AP+PQ的最小值为（）

A.6B.6A/3C.3D.373

【答案】。

【详解】解:如图,在BO上取E,使BE=BQ,连接PE,过A作AH_LBC于

•.•BD是/ABC的平分线，ZABD=ZCBD,,；BP=BP,BE=BQ,:.4BPQ卫△BPE（SAS'）,

：.PE=PQ,AP+PQ的最小即是4P+PE最小，

当AP+PE=AEf时最小，在RtAABH中，AB=6,2ABC=60°,

AH=3—,AP+PQ的最小为3，^,

故选：D.

模型02建桥选址模型

考|向|颓|恻

建桥选址模型该题型也主要以选择、填空的形式出现,一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考

查轴对称——最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间

线段最短”等,但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化,即用与它相等的线段

替代，从而转化成两点之间线段最短的问题.目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进

行转化.

答I题I技I巧

第一步：观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；

第二步：分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点

的横、纵坐标的变化规律等）

第三步：周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化

次数或者运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限,或与哪个关键点的横纵坐标

相等；

第四步：利用有理数的运算解题

即型三停I

（1）两个点都在直线外侧：

辅助线:连接AB交直线小、九于点P、Q,则P4+PQ+QB的最小值为AB.

题目区（2022・湖北）如图，在RtAABC中，乙4cB=90°,ZABC=30°,AC=2,以为边向左作等边

△BCE,点。为AB中点,连接CD,点P、Q分别为CE、CD上的动点.求PD+PQ+QE的最小值为

【答案】4.

【详解】如图，连接P4QB,

•M

•.•△BCE和△ADC都是等边三角形，NBCE=60°,乙4c0=60°,

ZACE=ZACB-ZBCE=30°=^-ZACD,：.CE^^^AD,：.PA=PD,

同理可得：CD垂直平分BE,QB=QE,.•.PD+PQ+QE=P4+PQ+QB,

由两点之间线段最短可知，当点4P,Q,B共线时，PA+PQ+QB取得最小值AB,

故+PQ+QE的最小值为4.

(2)一个点在内侧，一个点在外侧：

辅助线:过点B作关于定直线n的对称点B',连接交直线m、n于点P、Q,则P4+PQ+QB的最

小值为AB'.

题目©(2023•山东)如图，在知=需=]中，AB=6,PD=10Q,QC=[QB,直线PD=1BQ是

CQACJJNo

。。〃及7中察=界=春边的垂直平分线，AP=2人。是直线CP=上的一动点，则S/\BPC=

OBBQ633

-|a的周长的最小值为

O

【答案】CQ=：BC

【详解】解：•.•直线nz垂直平分BC,，吕、C关于直线小对称，

设直线加交于。，当P和。重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长,

.♦.△APC周长的最小值是6+4=10.故答案为：10.

(3)如图3,两个点都在内侧：

辅助线，过点A、B作关于定直线小、九的对称点4、B',连接交直线小、九于点P、Q,则PA+

PQ+Q4的最小值为4日.

题目回(2023.浙江)如图所示，/AOB=50°,/BOC=30°,OA/=12,ON=4.点？、。分别是。4、。3

上动点，则MQ+PQ+N尸的最小值是.

【答案】4V13

【详解】解:如图，作点N关于04的对称点则NP=N'P,

作点朋r关于OB的对称点则MQ=M'Q,：.MQ+PQ+NP^M'Q+PQ+N'P,

当在同一条直线上时取最小值，连接ON，，OM',

■：ZAOB=50°,ABOC=30°则^N'OA=AAOC=NAOB—ZBOC=20°,

Z.BOM'=ABOA=50°,AN'OM'=2x20°+30°+50°=120°,

•/ON'=ON=4,OM'=OM=12,ANAON=NAOB—NBOC=50°-30°=20°,

先作射线OM与射线ON关于OA对称，由对称的性质可知NAON'=20°,PN=PN',

6

同理作射线OM，与射线OAf关于OB对称，同理ABOM'=50°,QM=QM',

当N'、P、口、〃7四点共线时，“。+「。+双？最小，

则AN'OM'=AN'OP+AAOB+NBPM'=20°+50°+50°=120°,

作N,垂直的延长线交于点E,：.NEON=60°,AON'=ON=4,

在Rt^N'OE中，AEN'O=30°,根据30°角所对的直角边是斜边的一半可知OE=2,

贝"EN'=2V3,OM=OM'=12,AEM'=OE+OM'=12+2=14,

则N'M=y/N'E2+N'M2=7142+(2V3)2=4V13.故答案为：4V13.

模型03胡不归模型

考|向|演|恻

胡不归模型可看作将军饮马衍生,主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常

以压轴题的形式考查，学生不易把握.本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析,方便掌

握.在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短.

答I题I技I巧

第一步：构造与kPB相等的线段,将“P4+fcPB”型问题转化为“P4+PC”型；

第二步：借助三角函数，构造锐角a,将另一个系数也化为1；

第三步：利用“垂线段最短”原理构造最短距离；

第四步：数形结合解题

题型三校I

题目回(2023•江苏)如图，LJABCD中，ADAB=45°,AB=8,BO=3,P为边CD上一动点,则PB+

乎PD的最小值等于.

/-----7

AB

【答案】4声

【详解】解:如图，过点P作PE_L交4D的延长线于点E,

•/AB//CD,：.NEDP=ADAB=45°,：.sin/EDP=器=*，:.EP=警PD,PB+总PD=PB

+PE,

当点B,点P,点E三点共线且BE_L时，PB+PE有最小值，即最小值为BE,

•••sin/力=煞=浮，.•.BE=¥AB=^X8=4方，

Ao222

7

故答案为：4

真题•强化和I线

题目工）（2023•江苏扬州）如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用AB表示）饮马，再去同侧的。地开

会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？下列给出了四个图形，你认为

符合要求的图形是（）

【答案】。

【详解】解：由选项。中图可知：

作。点关于直线AB的对称点n,连接CD交于点N,

由对称性可知，_DN=ZyN,

ACN+DN=CN+CD,

当C、N、D三点共线时，C7V+_DN的距离最短，

故选：D

题目可（2023.浙江）如图,等边4ABC的边长为4,AD是BC边上的中线，F是40边上的动点，E是AC

边上一点，若AE=2,当EF+CF取得最小值时,则ZECF=.

【详解】过E作EMU交AD于N,如图所示：

VAC=4fAE=2,：.EC=2=AE,：.AM=BM=2,：.AM=AE,

•.•49是BC边上的中线，A4BC是等边三角形，•.•EM7/BC,.•.AD_L&W,

•.•AM=AB,E和M■关于AD对称，连接CM交AD于F,连接EF，则此时EF+CF的值最小，

•.•△人3。是等边三角形，.・./人（78=60°,人。=3。，：入河=3河，.・./£|3=JZACB=30°.

故答案为30°

题目包（2022•安徽）如图,在平面直角坐标系中，乙4OB=30°,P（5,0）,在OB上找一点"■，在04上找一

点N,使APMN局长最小,则此时APAW的周长为.

【答案】5

【详解】作点P关于OB的对称点作P点关于4。的对称点。，连接CD交OA于N,爻OB于河,连接

MP,NP,OC,OD,：.CM=MP,NP=DN,

PM+PN+MN^CM+MN+DN>CD,：.当。、M、N、。点共线时，APMV的周长最小，

ZBOA=30°,OP=OC=OB,：./COD=60°,二△OCD是等边三角形，:.CD=OP,

•：P（5,0）,：.OP^5,：.CD^5,.•.△PMN的周长最小值为5,

故答案为：5.

题目@（2023•广东）如图，在RtAABC中，乙4cB=90°,AC=9,BC=12,AB=15,AD是乙民4。的平分

线，若点P、Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是.

【答案】雪

【详解】解:如图，作。关于4P的对称点。，则PQ=PO,所以O、P、C三点共线时,

CO=PC+PO=PC+PQ,此时PC+PQ有可能取得最小值,

当CO垂直于AB即8移到CM位置时，CO的长度最小，

.♦.PC+PQ的最小值即为CM的长度，

S3c=9ABxCM=-j-AC乂CB,：.15cM=9x12,

.•.。肘=注普=等，即?。+~2的最小值为善，

1555

故答案为要.

5

题目回（2023•江苏）如图，高速公路的同一侧有A,B两城镇,它们到高速公路所在直线MN的距离分别为

AC=2km,BD=4km,CD=8km.要在高速公路上C,D之间建一个出口P,使A,B两城镇到P的距

离之和最小,则这个最短距离为.

【答案】10km

【详解】解:如图所示:作A点关于直线MN的对称点4,再连接交直线MN于点P,

则此时4P+PB最小，过点B作理;_LC4交延长线于点E,

VAC=2km,BD=4km,CD=8km.

/.AE=4—2=2km,AA=4km,

/.AE=6km,BE=CD=8km,

在中，

AB—A/62+82=10km,

则AP+P石的最小值为10km.

故答案为：10km.•fl

题目⑥（2023•浙江）已知点P是△AB。内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC

的费马点（Fermatpoint）.已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当/APB=/APC=/BPC

=120°时，P就是4ABC的费马点.若点P是腰长为V2的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE

+PF=（）

A.2V3B.1+V3C.6D.373

【答案】B

【详解】解:如图：等腰R14DEF中，DE=DF=&,过点D作DM±EF于点、M,过E、F分别作AMEP=

则。"=卒，故DP=1

2MFP=30°,则EM=DM=1,故cos30°=，解得：PE=PF=

EPo

-卒，则PD+PE+PF=2x制^+1--^=V3+1.

ooo

〔题目可（2023•浙江）如图，平行四边形ABCD中，/D4B=45°,AB=8,BC=2,P为边CD上的一动点,

则PB+将D的最小值等于（）

A.4V2B.3V3C.2V2D.273

【答案】A

【详解】解:延长AD,过点B作BE_LAD交CD于点、P,

四边形ABCD为平行四边形，AB〃CD,二NDEP=ADAB=45°,

•/BE.LAD,：.DE=PE,则DE2+PE2^2DE?=PD2,则DE=半PD,

同理可得：BE=^AB,/.PB+^PD=PB+PE,

当点E、P、B在同一条直线上时，PB+警PD的值最小，

•/AB=8,：.PB+^PD=PB+PE=BE=^AB=472.

故选：A.

E

/◊、、

［题目回（2023•四川）如图，在△ABC中，/BAC=90°,ZB=60°,AB=4,若。是6。边上的动点，则2AD+

。。的最小值是（）

•M

【答案】。

【详解】解:过点。作射线CE,使2BCE=30°,再过动点。作DF，CE,垂足为点F,连接AD,如图所示:

在Rt^DFC中，NDCF=30°,DF=^DC,V2AD+DC=2（AD+~DC）=2（AL»+DF）,

：.当在同一直线上，即AF_LCE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，

此时，ZB=ZADB=60,.•.△48。是等边三角形，.[40=80=48=4,

在KtZXAB。中，ZA=90°,/B=60°,AB=4,.•.BC=8,.•.DF=；DC=2,,

：.AF=AD+DF=4+2=6,：.2（AD+DF）＞=2AF=12,：.2（AD+DC）的最小值为12,

故选：D.

题t0（2023•湖南）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线I同旁有两个定点A、B,在直线，上存在点P,使得PA+PB的值最小.解法:如图1,作人点关于直

线I的对称点A,连接4B,则A'B与直线I的交点即为P,且P4+PB的最小值为4'B.

请利用上述模型解决下列问题：

（1）几何应用：如图2,/\ABC中，/。=90°,AC=口。=2,E是AB的中点，P是BC边上的一动点,则PA

+PE的最小值为；

（2）几何拓展:如图3,/XABC中，AC=2,/A=30°,若在AB.AC上各取一点M、N使CM+MN的值最

小，画出图形,求最小值并简要说明理由.

【答案】⑴函

（2）四，图和理由见解析

【详解】（1）解:如图2所示，作点A关于BC的对称点A,连接AE交BC于P,此时PA+PE的值最小.连

接BA',

12

由勾股定理得，BA=BA=y/BC2+AC2=V22+22=272,

是AB的中点，

/.BE==-^BA=V2,

•••/C=90°,AC=BC=2,

：./ABC=/ABC=45°,

ZABA=90°,

APA+PE的最小值=AE=y/AB2+BE2=V(2V2)2+(A/2)2=VW.

故答案为：，语；

⑵解:如图3,作点C关于直线AB的对称点。,作C'N,于N,交于河,连接AC,

则C'A=CA=2,NC'AB=ACAB=30°,

：.ZCAC^60°

：.△C'A。为等边三角形，

乙4CN=30°,

AN=^-C'A=1,

.,.CW+MN的最小值为C'N^V22-l2=V3.

题目①（2023•陕西）在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离.

问题提出：

（1）如图1所示，已知是直线，同旁的两个定点.在直线，上确定一点P,并连接AP与BP,使PA+

PB的值最小.

•H

问题探究：

（2）如图2所示,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点，P是AC上一动点.连接EP和BP,则PB+

PE的最小值是；

问题解决：

（3）某地有一如图3所示的三角形空地AOB，已知AAOB=45°,P是A4OB内一点,连接PO后测得PO

=10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR,点、Q,R分别是OA,OB边上的任

意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值.

【答案】（1）见解析

⑵祈

（3）1072

【详解】（1）解:如图所示，当P点在如图所示的位置时，P4+PB的值最小;

⑵解:如下图所示,

•.•四边形ABCD是正方形，

AC垂直平分

：.PB=PD,

由题意易得：PB+PE=PD+PE>DE,

当D、P、E共线时，在AADE中，根据勾股定理得，==5

（3）解:如下图所示，分别作点P关于。4,OB的对称点、M,N,连接OM,ON,MN,MN交OA,OB于点、

14

Q,凡连接PR,PQ,此时△PQR周长的最小值等于1GV.

由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10,AMOA^APOA,NNOB=NPOB,

：.4MoN=2AAOB=2x45°=90°,

在Rt^MON中，MN=^OM'2+ON2=V102+102=10V2

即/\PQR周长的最小值等于10四.

克天•题型遇莪

【题目兀(2023•山东)如图,已知点4(0,8),B(0,-2),E(0,5),F(-5,0),。为直线EF上一动点，则

OACBD的对角线CD的最小值是()

【答案】A

【详解】解:连接CD,设CD,AB交于点G,如图所示,

•••四边形4BCD是平行四边形，:.CG=GD,AG=GB,v4(0,8),B(0,-2)/.G(0,3),

当CG取得最小值时，CD取得最小值，当CG_LEF时，CG取得最小值，

E(0,5),F(-5,0),：.OE=OF,EG=2,：.△OEF是等腰直角三角形,

此时△CGE是直角三角形，且EG是斜边，

EG=2,：.CG=g：.DACBD的对角线CD的最小值是2四，

故选：A.

题目口乙(2023.上虞市)如图，点P是ZAOB内任意一点，OP=6cm,点河和点N分别是射线。人和射线

。8上的动点,若八/喳亚周长的最小值是631,则乙4。8的度数是()

A.15B.30C.45D.60

【答案】B

分别交04、OB于点河、N,连接O。、OD、PM、PN、MN,如图所示:

•.•点P关于04的对称点为D,关于OB的对称点为C,：.PM=DM,OP=OD,ADOA=APOA;

•.•点P关于QB的对称点为C,:.PN=CN,OP=OC,ACOB=Z.POB,：.OC=OP=OD,ZAOB=

匕/COD,

「△PAW周长的最小值是6cm,.•.PM+PN+JMN=6,：.DM+CN+MN=6,

即CD=6=OP,/.0。=0。=8,即408是等边三角形，.,./。00=60°,/.乙4OB=30°,故选：B.

遮耳叵］(2023•山东)如图，矩形ABC。的边AB==3,E为AB上一点，且力E=1,F为4D边上

的一个动点，连接EF,若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG,EF=EG,连接CG，则CG的最小值

【答案】B

【详解】解:如图，过点G作GH_LAB于H,过点G作AW〃AB,

q„

,;AE=1,；.BE=；,；/GHE=/A=/GEF=90。,

：.AGEH+NEGH=90°,AGEH+NFEA=90°,，ZEGH=AFEA,

又,/GE=EF,：.4GEHW/\EFA（AAS），:.GH=AE=1,

.•.点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动,

当?与。重合时，CG有最小值，此时AF=EH=3,

ACG的最小值=1-3丫+22=告，

故选B.

、题目正（2023•四川）如图，点M是菱形ABCD的边5。的中点，P为对角线BD上的动点，若AB=2,乙4

=120°,则PM+PC的最小值为（）

BMC

A.2B.V3C.V2D.1

【答案】B

【详解】解:连接AW、AC,AM交BD于P,

此时PM+PC最小，连接CP,

•：四边形ABCD是菱形，,OA=OC,AC±BD,：.。和A关于BD对称，,AP=PC,

•••ZA=120°,ZABC=60°,△ABC是等边三角形，二AC=AB=2,

•.•河是日7的中点，；.4河_13。，.・.ZBAM=30°,

：.AM^^AB2-BM'2=V3,/.PM+PC=AM=V3.

故选B.

题目四（2023•湖北）如图，将ZVIBC沿AD折叠使得顶点。恰好落在48边上的点河处，。在BC上，点P

在线段4D上移动，若AC=6,CD=3,BD=7,则△PA4B周长的最小值为.

【答案】18

【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC,PM=PC,：.M点、为AB上一个固定点，则长度固定，

/\PMB周长=PM+PB+BM,：.要使得NPMB周长最小，即使得PM+PB最小，

•/PM=PC,：.满足PC+PB最小即可，显然，当P、B、。三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，

此时，P点与。点重合，PC+PB=BC,4PMB周长最小值即为BC+,

此时，作。S_LAB于S点，DT_LAC延长线于T点，AQ±B。延长线于Q点，

由题意，AD为ABAC的角平分线，,DS=DT,VS“_廿^-AC-DT^^-CD-AQ,$皿=^AB-DS

^^BD-AQ,

.S-BD^AB'DS^BD-AQabBD”AB7解谷

==即：Z=三…丁=了解仔：猾=14,

•/AM=AC=6,：.BM=14-6=8,AFMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18,

故答案为：18.

题目工（2023•北京）如图，P是AAOB内一定点，点M,N分别在边,OB上运动,若ZAOB=30°,OP

=3，则APAW的周长的最小值为.

【答案】3

【详解】如图，作P关于。4,05的对称点C,。.连接OC,OD.则当是CD与。4,OB的交点

时，△尸MN的周长最短，最短的值是CD的长.

•.•点P关于04的对称点为C,

PM=CM,OP=OC,ZCOA=APOA-,

•.•点P关于OB的对称点为。，

PN=DN,OP=OD,/DOB=APOB,

OC=OD=OP=3,4cOD=2cOA+APOA+NPOB+ZDOB=2APOA+2ZPOB=2ZAOB=

60°,

△8。是等边三角形，

:.CD=OC=OD=3.

：.APMN的周长的最小值=P/W+MN+PN=CM+MN+DN>CD=3.

题目二亘（2023•广东）如图，菱形ABCD的边长为6,/B=120°.点P是对角线AC上一点（不与端点A重

【详解】解:如图，过点P作PE_L于点E,过点。作OF_L于点F,

■：四边形ABCD是菱形，且=120°,NDAC=2CAB=30°,r.PE=-j-AP；

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,:/.DAF—60°,Z.ADF=30°,AF=-1-AD==--x6=3;.,.DF=3A/3;

yAF+PD=PE+PD,：.当点、D,P,E三点共线且DE_LAB时，

PE+OP的值最小，最小值为OF的长,^AP+PD的最小值为3V3.

故答案为：3g.

题目包（2023•广东）如图，在放A4BC中，ZBAC=90°,AB=2,AC=4.0,E分别是边AB,力。上的动

点，且CE=2A。,则跳;+2CD的最小值为

【详解】如图，作ACEF〜五以ADC,连接,过B点作BG，AC的延长线与G点,

CFEFEC9

Rt/\CEFS放△ADC,且CE=2AD,：.**,

ACDCAD1

CF=2AC=8,EF=2DC,BE+2CD=BE+EF.

•.•BE+EF>8F,.•.当B、E、F三点共线时，BE+EF=BF,此时BE+2CD的值最小，为BF.

•/ZFCA=90°,ZACG=90°.又；ZA=90°,Z.BGC=90°,/.四边形ABGC是矩形，

BG=AC=^,GC=AB=2,：.FG=FC+CG=8+2=10,

BF=y/BG2+FG2=V42+102=2729.

故答案为：2，药

题目包（2023•内蒙古）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点,且ZABC=

120°,则AM+MB+MD的最小值是

【答案】8代

【详解】解:如图，过点。作。E_L于点E,连接BD,

D

•：菱形ABCD中，120°,乙MAE=30°,

ANDAB=60°,AD=AB=DC=BC,MD=MB,：./\ADB是等边三角形，

/MAE=30°,：.AM=2MEJ：MD=MB,：.MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE,

根据垂线段最短，此时DE最短，即AM+MB+MD最小，

菱形ABCD的边长为8,/.DE=y/AD2-AE2=V82-42=473,

：.2DE=3g++的最小值是8g.

故答案为：8遍.

〔题目,（2023•浙江）如图，河的两岸有A,B两个水文观测点,为方便联络,要在河上修一座木桥MN（河的

两岸互相平行，MN垂直于河岸），现测得A,B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且两点

之间的水平距离为12米,则AM+MN+NB的最小值是米.

【答案】18

【详解】作BB'垂直于河岸，使BE等于河宽，连接与靠近人的河岸相交于作MN垂直于另一条河

岸，过点人作交的延长线于点C,

则MN//BB'且MN=BP,于是MNBB为平行四边形，故MP=BN,

当入2+10=48时，4Al+BN最小，也就是AM+AW+NB最短,

AC=12（米）,BC=5+4+3=12（米），B'C=12-3=9（米）

在Rt/\ABC中，AB=y/AC2+B'C2=15（米），

.♦.入知+跖7+八旧的最小值为：15+3=18（米）

故答案为：18.

题目口口（2023•广东）如图所示，已知O为坐标原点，矩形ABCD（点、A与坐标原点重合）的顶点D、B分别

在力轴、沙轴上，且点C的坐标为（-4,8）,连接BD,将AABD沿直线BD翻折至△A'BD,交CD于点区

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⑴求点坐标.

（2）试在，轴上找点P,使AP+PB的长度最短,请求出这个最短距离.

【答案】⑴4（—芋明；

（2）4P+PB的长度的最短距离为竺工.

【详解】⑴•.•点。的坐标为（-4,8）,

：.OD=BC=4,CD=OB=8,

连接,与交于点G,过A作AF_LQB于点F,

由折叠知，AB=OA=8,OG=AG,OAYBD,

：.SAOBD=^BDOG=-ODOB,

4X88<

.OG=ODOB==

"BD5'

.•.OA=2OG=^^,

5

设则BF=8—x,

・・・OA2-OF2=AF2=AB2-BF2,

即（气⑤/=82—（8—2）2,

解得，，即。尸=¥，

55

AF=y/OA,2-OF2=孚，

5

••.n（一拳喇;

（2）作4点关于力轴的对称点A,连接BA'，与a;轴交于点P,则AP+PB=A'P+PB=A'B的值最小,

•••

用「），

故HP+PB的长度的最短距离为里无.

5

题目区（2023•吉林）数学兴趣活动课上，小致将等腰△ABC的底边BC与直线Z重合.

（1）如图（1）,在△48。中，AB=AC=4,ABAC=120°，点P在边所在的直线I上移动，根据“直线外

一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现AP的最小值是.

（2）为进一步运用该结论,在⑴的条件下，小致发现,当AP最短时，如图（2）,在4ABP中，作AD平分

NBAP,交BP于点D,点、E,F分别是边AD,AP上的动点，连结PE、EF,小致尝试探索PE+EF的最小

值，小致在AB上截取AN,使得AN=AF,连结NE,易证LAEF名/\AEN,从而将PE+EF转化为PE+

EN,转化到（1）的情况，则PE+EF的最小值为；

⑶解决问题:如图⑶，在△ABC中，乙4cB=90°,/B=30°,AC=6,点。是边CB上的动点，连结AD,

将线段AD绕点A顺时针旋转60°,得到线段AP,连结CP,求线段CP的最小值.

【答案】（1）2;（2）73;（3）3.

【详解】（1）如图,过点A作AP_LBC,此时AP的值最小.

BBDP

图⑶

•.•AB=AC=4,ZBAC=120°,A30°,AP==2,故答案为：2.

(2)根据小致的思路作出图形，可知当PN1.AB时PE+EF的值最小，如图：

•/ZABC=30°,AP=]AB=2,.•.BP=2g,=.•.PN=V^,故答案为：一.

⑶如图3中，在48上取一点K,使得AK=AC,连接呢，DK.

ZACB=90°,ZB=30°,ZCAK=60°,APAD=ACAK,：.APAC=ADAK,

■：PA=DA,CA=KA,APAC空DAK^SAS),：.PC=DK,

•.♦KD_LBC时，KD的值最小，最小值为3,.•.PO的最小值为3.

题目亘(2023•河南)唐朝诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中

隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：

如图1所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营.请

问怎样走才能使总的路程最短？

作法如下:如图1,从B出发向河岸引垂线,垂足为D,在的延长线上，取B关于河岸的对称点B,连接

AF,与河岸线相交于P,则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P,饮马之后，再由P沿

直线走到B,所走的路程就是最短的.

(1)观察发现

如图2,在等腰梯形48co中，AB=CD=人。=2,/。=120°,点E、F是底边入。与