2024年高考最后一套压轴卷-数学（文）试题（全国甲卷）含解析

2024高考压轴卷数学（文科）全国甲卷

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无

效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合八{一2，一1，0，1，2}，3={#一4<。},—）

A.{-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1}D.{-2-1,0,1,2}

2.已知复数2=。+例（46€1<”是虚数单位，若Z—27=2+3/，则复数Z的虚部为（）

A.布B.2出C.®D.2小i

3.已知平面向量3=[2,3-m),b=(l,w),若，则加=()

A.-2B.1C.2D.4

*-LxK0,

4.已知函数/'（x）=<1若/（掰）=3,则m的值为（）

x^,x>0,

A.也B.2C.9D.2或9

3

5.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于万的概率为（）

6.函数》=粤+3在卜2,2］的图象大致为

则APR外的面积为()

A.2B.有C.4D.2y/3

8.设命题pTmeR,使〃x)=(加—DX/TZ是幕函数，且在(0,+。)上单调递减；命题

4：祗<2,+00)2>/,贝！］下列命题为真的是()

A.0A(-iq)B.(w)八gC.PzqD.(-p)vq

9.已知数列｛4｝满足2a“+1-2=勺々用，且q=3,则=()

14

A.3B.vC.-2D.-

23

10.设函数/U)为偶函数，且当xNO时，/(x)=er-cosx,则不等式/(2x—l)—/(x—2)>0的解集为()

A.(-1,1)B.(-=c-3)

C.(-3,+℃)D.(1,+«))0(-00,-1)

11.将函数/(x)=sin(：加-冷］(勿>0)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数

126J4

g(x)的图象.若g(x)在［oqJ上有且仅有3个极值点，则。的取值范围为()

P11

(2,2B.I4C.吟D.

12.设石，鸟是双曲线C：3-A=l(a>0)>0)的左、右焦点，以线段片国为直径的圆与直线区-强=。

牙

在第一象限交于点A,若tan445。=2,则双曲线C的离心率为()

\、\y/

c.小

二、填空题」本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.cosl50cos75°=.

14.直线V=x与圆/+^2+2方一3=0交于4B两点、,则|AB|=.

15.若函数/卜)=；^--+工+1存在极值点，则实数a的取值范围为.

16.已知球。的表面积为36兀，正四棱锥尸-4BCD的所有顶点都在球。的球面上，则该正四棱锥尸-48CD

体积的最大值为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.为提升学生身体素质，鼓励学生参加体育运动，某高中学校学生发展中心随机抽查了100名学生，统计他

们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为，运动达标”，时间不超

过30分钟的记为，运动欠佳”，运动达标与运动欠佳的人数比为3:2,运动达标的女生与男生的人数比为2:1,

运动欠佳的男生有5人.

(1)根据上述数据，完成下面2x2列联表，并依据小概率值a=0.01的独立性检验，分析运动达标情况”与“性别”

是否有关?

运动达标情况

性别合计

运动达标运动欠佳

男生

女生

合计

(2)现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2人进行体能测试，求

选中的2人中恰有一人是女生的概率.

参考公式：*二白尿喘焉距可…+Hc+小

a0.100.050.010.001

%2.7063.8416.63510.828

18.如图，在平面四边形中，已知点C关于直线助的对称点。在直线3上，NCBD=NCDB=30。，

ZACD=75°.

(I)求瞪器的值；(II)设m=3,求

B

19.已知球内接正四棱锥尸-43CZ)的高为3,AC,5。相交于O,球的表面积为竺也，若E为PC中点

(1)求证：OE〃平面P4D；

(2)求三棱锥C—EO3的体积.

22/T

20.已知椭圆C：二+1=1(。＞力＞0)的离心率为左，且过点4(2,1).

a2b’2

(1)求。的方程：

(2)点、M,N在C上，且4M_L4V,AD工MN,。为垂足.证明：存在定点0,使得|。0为定值.

21.已知函数/(x)=-x-lnx(加eR).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若对任意的x>0,不等式/'(x)>2/恒成立，求加的取值范围.

(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记

分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程

x=2+/cosa

为/-2pcos8-2psin8-2=0,直线/的参数方程为〈.G为参数).

［y=2+fsma

(1)写出曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线/与曲线C交于aB两点,定点尸(2,2),若|尸川+|pg|=2ji，求直线/的倾斜角.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知函数

(I)解不等式/(2X)+/(X+4)N6；

(II)若。、6eR,同＜1,例＜1,证明：f(ab)＞f(a-b+l).

2024高考压轴卷数学（文科）全国甲卷答案

1【答案】A

【解析】因为5=-4<0}=甸-2<x<2},4={-2,-1,0,1,2},

所以403={-1,04}.故选：A

2【答案】A

［解析］z-2z=a+历-2（a-6i）=—u+3bi=2+3-\/3i,

-a—21a=-2

则（「，解得hr，则其虚部为君.故选：A.

3b=3->/3

3【答案】B

【解析】因为万〃石，所以2加一（3—加）=0,所以加=1.故选：B

4【答案】C

2x-l,x<0

【解析】•••函数f(x)=,i_,/(冽)=3,

x2,x>0

〃V0m>0

解得加=9.故选：C.

5【答案】C

【解析】设区间（0,1）内取到的数是x,在（1,2）内取到的数为y,

0<x<l

则满足〈，、，作出不等式组对应你的平面区域43cD,如图标,

U<y<2

可得对应的图形的面积为S=1,

33

由两数之和大于一，即x+y>三，

22

311

设直线x+y=g交4瓦4D于点尸产，可得|4F|=5，|4E|=g,

则AAEF的面积为Si=Lx」xL=L,所以五边形BCDEF的面积为S、=1一1=2,

222888

则两数之和大于-的概率为尸=逗=2.

2S8

故选：C.

6【答案】C

【解析】当x>0时，/(x)=Ul磐，令匕里=Onx=L<l,即在区间［0,2］只有一个零点，故应排

xxe

除答案A、B、D,应选答案C.

7【答案】D

【解析】如图

由题意可得双曲线的一条渐近线方程为^3x-2y=0,

焦点外(S,0)到渐近线的距离为|尸局二

所以|OE|=2,司=|*,

所以5»砧=25足隼=2x；|OP||%|=26.故选：D.

8【答案】A

【解析】对于命题P,当用=2时，函数/(x)=x\是幕函数，且在(0,+8)上单调递减，故命题P为真

命题；

对于命题q,当x=3时，23<32,不满足故命题q为假命题.

所以"0A(F)”为真命题，"(「夕)八4”为假命题，“。人”为假命题，"(-?)"”为假命题.故选：A.

9【答案】B

2

【解析】由题意数列｛4｝满足2a»i—2=4・ax，则q+1=5

221242

.c/口«?=----=-2,q=-------=—,Qi=------丁=一必=-----r

故由q=3,得’2-32+22个13^4

z———z——

23

由此可知数列｛4｝的周期为4,

故%023=4x505+3=°3=5，故选：B

10【答案】D

【解析】当xNO时，f(x)=ex-cosx,所以/'(x)=e'+sinx,因为xWO,所以，之1，即

/'(x)>l+sinx>0,所以函数f(x)在［0,+8)上单调递增，又因为函数f(x)为R上的偶函数，所以函数/<x)在

(-9,0］上单调递减，在［0,+8)上单调递增，则不等式/(2x-l)―/(x-2)>0,等价于|2工一1|>卜一2|,

所以X<-1或X>1.

故选：D.

【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函

数的符号，/”，转化为解不等式(组)的问题，若/'(X)为偶函数，则/'(-x)=〃x)=f(|x|).

11【答案】C

【解析】由题可知，g(x)=sin\2cox-^\,当0<x<N时，」<2函」<在处

36636

因为g(x)在上有且仅有3个极值点，所以g〈等一台m，解得4<0］,

所以。的取值范围为：1^4,—,故选：C.

I2」

12【答案】A

【解析】由题意可得12OH，

即有A/O外为等腰三角形，

设Z.OAF2=ZAF2O=a,

贝（JZAOF2-la,

所以tan/4O耳=tan（^-2cr）=-tan2a=——：---=；

即为2=a,

a3

所以e=£=J1+。=J1+竺=2,故选:A

aya2y93

【点睛】关键点点睛：由题意得出△aoEi为等腰三角形，在三角形中利用三角函数，建立关于a力的方程,

是求出离心率的关键，属于中档题.

13【答案】-

4

【解析】cos15°cos75°=cos15°cos（90°-15°）=cos15°sin15°=^-sin30°=（.

故答案为：一

4

14【答案】714

【解析】由圆x?+y?+2x—3=0,得（x+1），+y'=4，

则圆心坐标为（-L0）,半径为2.

圆心到直线x-y=0的距离d=d=史，

近2

AB|=2yjr2-d2=2^1=y/14.故答案为：疝'.

【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，利用垂径定理求弦长.

15【答案】（-0,-QL。，*0）

【解析】因为/'（x）：；%3—加+x+l,可得r（x）=--2ax+l,

因为函数/（X）存在极值点，所以r（x）=o有两不等实根，

则八=4。2_4>0，解得。<一1或a>l,

所以a的取值范围是（-8,T）U（1,M）.

故答案为：（―0°,—

64

16【答案】—

3

由S表=4兀户=36兀，故该球半径r=3,

设正四棱锥尸―A5CD底面边长为45=。，高为PM=h,

则W，五+/=±~a，OM=h-r=h-3,

22

则有&a+(a-3)2=32,化简得/=—23+12人

I7

VP-ABCD=+%=g"(-2*+12/?)=-|/Z3+4/?2,

7

令/(A)=——/z34-4A2(7?>0),贝(jf(力)=—2/+8〃=—2〃(〃一4),

故当0〈为<4时，f(h)>0f当力>4时，/'(〃)<0,

即/(〃)有极大值7(4)=-：X43+4x4?=?,

64

即该正四棱锥尸-ABCD体积的最大值为—.

3

64

故答案为：—.

3

【点睛】关键点睛：本题关键在于得出体积的表达式后构造函数，借助导数研究函数单调性后可得最值.

17.【答案】(1)表格见解析，，运动达标情况”与，性别”无关.

⑵§

'々5

【分析】(1)由条件完成列联表，根据/公式代入计算可判断结果；

(2)先根据分层抽样方法抽取，然后由概率公式计算即可.

【解析】⑴2x2列联表为：

运动达标情况

性别合计

运动达标运动欠佳

男生20525

女生403575

合计6040100

假设4:运动达标情况与性别无关.

100x(20x35-5x40)、竺一556<6.635.

60x40x25x759

根据小概率值a=0.01的独立性检验，没有充分证据推断不成立,

即认为，运动达标情况”与，性别”无关.

(2)已知“运动达标”的男生、女生分别有20人和40人，按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生、

女生分别抽到2人和4人，

C4cd2

则选中2人中恰有一人是女生的概率为尸=-^=-

181答案］.⑴乎(2)15-673

【解析】(1)因为C点关于直线BD的对称点在直线AD上,

所以DB平分N4DC,所以=因为NCBD=NCDB,所以=NCBZ),BC=CD,

所以4DIBC,所以NC4D=乙4CB,

因为NCBD=NCDB=30。，乙48=75°,

所以乙4cB=NC4D=45。，

sinZ.BACBCCDsinZ.CADsin450加

sinZABC~~AC~~AC~sinZJDC-sin60°=~T

⑵因为在△ns中,由正弦定理得:方=而”

所以鼻=鼻，48=3x4，

sin45sin6022

所以CD=灰,所以CB=&，

在UBC中，由余弦定理得，

AB2=CB2+CA2-2CBCAcosZ.ACB

=(>/6)2+32-2V6X3XCOS45O=15-6>/5.

19【答案】(1)证明见解析

(2)1

【分析】(1)依题意可得。石〃4尸，即可得证;

(2)由球的表面积求出球的半径五，由正四棱锥的性质可知球心Q必在尸。上，连接利用勾股定

13

理求出4。，即可求出S48,再由E为尸。中点得到E到平面48CD的距离为；尸。=5,最后由

%_EOB=/.C”计算可得.

【小问1详解】

依题意底面48co为正方形，AC.助相交于。，

所以。为4c的中点，又E为PC中点，

所以OE//AP,

又OEU平面R4O,4「匚平面目4。，

所以OE〃平面R4D.

【小问2详解】

设球的半径为K,由球的表面积公式S=4成2=竺出，

9

13

解得H=U(负值舍去)，

6

设球心为Oi，在正四棱锥尸一458中，高为PO,则。】必在尸。上，

13513

连接4日，则OpP=—,OQ=OP—O\P=_,4Q=—,

666

则在RtZ\OQ4,则OQ；+OM=Od，即(')+.2=(3)，

解得04=2(负值舍去)，

则05=0C=O4=2,所以SABOC=4x2x2=2,

2

13

又E为PC中点,PO1平面4BCD且尸0=3,所以E到平面4BCD的距离为一尸。二一，

22

13

20【答案】(1)斗+三=1;(2)详见解析.

63

【分析】(1)由题意得到关于a,Ac的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.

(2)方法一：设出点可，N的坐标，在斜率存在时设方程为丁=底+m，联立直线方程与椭圆方程，根据

已知条件，己得到掰，左的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直

角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.

■£=立

a2

41、、、

【解析】(1)由题意可得：■—^+记=1,解得：a"==/=3,

a2=b2+c2

故椭圆方程为：1+4=1.

(2)［方法一工通性通法

设点屈(三,必)川(*2，%)，

若直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：y=kx+m,

代入椭圆方程消去歹并整理得：(1+2左2+4区a+2冽°-6=0,

4km2加,—6

可得石+X2=_----y9X1X9=------9

1+2KI，1+2左2

因为4AfJ_4V,所以加・丽=0，gp(x1-2)(x2-2)+(y1-l)(y2-l)=0,

根据M=处+巩％="2+加，代入整理可得：

(左2+ljxjX24-(^m-A：-2)(^+x2)+(»/-iy+4=0,

所以(左+一左-2),4km

+(?n-l)x+4=0,

1+2P

整理化简得(2左+3加+1)(2左+加一1)=0,

因为4(2,1)不在直线上，所以2k+m-lw0,

g(左,1),

故及+3加+1=0,kwl,于是MV的方程为y=

所以直线过定点直线过定点?

当直线MN的斜率不存在时，可得"（看,一必），

由刘五汨=0得:（xi-2）（Xj-2）+（J4-1）（-Ji-1）=0,

得（七一2）2+l-y：=0,结合、+［=1可得：3演2-8X1+4=0,

2

解得：石=：或2=2（舍）.

此时直线MN过点

令0为我的中点，即

若。与尸不重合，则由题设知〃是Rt&W尸的斜边，故口0=；H尸|=2叵，

若。与尸重合，则口0=3b尸|,故存在点使得00为定值.

［方法二］【最优解】：平移坐标系

将原坐标系平移，原来的O点平移至点4处，则在新的坐标系下椭圆的方程为、+2）一+（-+1）'=1,设

63

直线的方程为砂=4.将直线初”方程与椭圆方程联立得工2+4》+2/+4旷=0,即

x2+（wx+ny）x+2y:+（mx+ny）y=0,化简得（〃+2）y［+（冽+〃）Q+Q+m）/=0,即

（〃+2）（上）+（冽+〃）（上）+（1+冽）=0.

设V（须，乂）,"（z2,%），因为则L,七v=2■•力•=”==-1,即加=一〃一3.

%x2〃+2

（44、

代入直线MN方程中得〃（y-x）-3x-4=0.则在新坐标系下直线MN过定点一工，一工，则在原坐标

系下直线MV过定点尸［：，一；］.

又AD工MN,。在以北为直径的圆上.W的中点［g,gj即为圆心。.经检验，直线垂直于x轴

时也成立.

故存在使得⑷⑷51=芈.

［方法三1建立曲线系

A点处的切线方程为三二+L2=1,即x+y-3=0.设直线M4的方程为左x-y-2及+1=0,直线MB

63

的方程为&x-y—2左2+1=0,直线MM的方程为H-y+加=0.由题意得及?左2-1.

则过4M,N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线A",MB可表示为

z22、

—+——1+2（左［X—y—2左I+1）（左/—y-2&+1）=0（其中4为系数）.

（63）

用直线初2及点1处的切线可表示为4（丘-»，+加>0+>>-3）=0（其中〃为系数）.

/22\

即--1—1+4（左y—2左］+1）（向x-y—2左2+1）=/—y+/w)(x+y—3).

163）

对比孙项、x项及y项系数得

」（4+.）="（1->）,①

<“4+左1+左2）=4（加-3左），②

22（左+&-1）=4（加+3）.③

21

将①R入②@,消去力邛并化简得3加+及+1=0,即加=-一k7一一.

33

故直线的方程为旷=左。：一彳）一；，直线过定点产

又ADJLMN,D在以W为直径

的圆上.⑷5中点（9,即为圆心。.

经检验，直线MM垂直于x轴时也成立.故存在。［3，；）,使得⑷。0”|=苧・

［方法四I

设M（X1a“⑸%）.

若直线MN的斜率不存在，则Af（%,%）,N（X］，一乂）.

因为4M_L4N,则而.而=0，即（再-2）2+1-J=0.

由工+其=1,解得石=3或石=2（舍）.

633

所以直线MN的方程为x=2.

3

若直线MM的斜率存在，设直线的方程为y=米+m，则

222

x+2(AX4-W)-6=(l+2A:)(x-jq)(x-x2)=0.

.r"八/八（左+加一）（左+加+）

令x=2,贝！J（七一2）（马一2）二八2——2—12-------1'

又［彳1+2/-6=2+M0一乂)(尸乃),令V=l,则

(2k+掰-1)(一2左+/W-1)

(必-1)(%-1)=

1+2左2

(2k+加一1)(2左+3冽+1)

因为4A/_LAN,所以AM-AN=(演—2)(x?—2)+(%—1)(%-1)=0,

1+2左2

21

即加二-2左+1或加二一一左—.

33

当加二-2左+1时，直线MV的方程为》="-2左+1=左。-2）+1.所以直线MV恒过幺（2,1）,不合题意;

2171

当朗=一丁工时,直线皿的方程为"辰一及一父左p所以直线恒过产

综上，直线MN恒过尸^,一:],所以巨.

V3J3

又因为月。_LMV,即4Z）_L4P,所以点。在以线段"为直径的圆上运动.

取线段4P的中点为贝（l|D0|=g|4P|=¥.

所以存在定点。，使得为定值.

【整体点评】（2）方法一：设出直线AW方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点尸，

再根据平面几何知识可知定点Q即为正的中点，该法也是本题的通性通法；

方法二：通过坐标系平移，将原来的O点平移至点4处，设直线&W的方程为“+盯=4,再通过与椭圆

方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出血，〃的关系，从而可知直线过定点尸，从而可知定点。即为正的

中点，该法是本题的最优解；

方法三：设直线=,再利用过点4ACN的曲线系，根据比较对应项系数可求出冽，左的关系,

从而求出直线过定点尸，故可知定点。即为川的中点；

方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解（玉-2）（血-2）以

及（%一1）（当一1）的计算.

21【答案】(1)答案见解析

⑵(3*)

【分析】(1)求出导函数/'(X),按照相的正负分类讨论，由r(x)的正负可得单调性；

(2)将不等式变形为加>2+4+电工令g(x)=2+』+曲工对g(x)求导,再令〃(x)=-x+l—21nx,

XXTXXx

由纵x)的单调性判断g，(x)的符号，进而确定g(x)的单调性，求出g(x)的最大值即可求出加的取值范

围.

【小问1详解】

由题意知/(X)的定义域为(0,+9),

f'(x)=2mx-l--=2--XT,

XX

当加40时，r(x)<0,/(X)在(0,+8)上单调递减;

当加>0时，令2m工2_工_1=0,

,・,A=l+87n>0,

故方程2M2-X-1=0有两个不同的实数根，

分别为%=匕叵五，七=巨二叵酮，且看<0,X2>O,

4m'4m

当0<」<盯时，f'(x)<0,/(X)单调递减，

当x>x,时，代x)>0,/(X)单调递增.

综上可知，当加40时，/(x)在(0,+8)上单调递减；

当加>0时，/(x)在(0,1