第四节复数课件高三数学一轮复习

第四节复数1.复数的定义及分类

全体复数构成的集合叫做复数集,记为C,显然有R∈C(1)复数的定义形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做

虚数单位

,实部是

a

,虚部是

b

.

(2)复数的分类微点拨1.复数的实部与虚部都是实数,特别注意复数a+bi(a,b∈R)的虚部是b,而不是bi.2.对于复数a+bi(a,b∈R),其实部a=0是a+bi为纯虚数的必要不充分条件.2.复数的有关概念

微思考

“3+2i>1+2i”“2+i<4+i”等结论对吗?为什么?提示

不对.两个实数可以比较大小,但两个虚数只能判断它们是否相等,而不能比较它们的大小.3.复数的几何意义

微点拨

若复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,则|z1-z2|的几何意义是点Z1,Z2之间的距离.4.复数的运算设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则:常用结论

自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.形如bi(b∈C)的数一定是纯虚数.(

)2.若z2<0,则z是纯虚数.(

)3.若z是复数,则z2=(-z)2=|z|2.(

)4.关于x的方程x2+x+3=0没有解.(

)×√××题组二

回源教材5.(人教A版必修第二册第七章习题7.2第7题改编)已知2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,则实数p,q的值分别为

.

答案

p=12,q=26解析

(方法1)由已知得2(2i-3)2+p(2i-3)+q=0,整理得(10-3p+q)+(2p-24)i=0,于是10-3p+q=0,2p-24=0,解得p=12,q=26.(方法2)由已知得-2i-3也是方程2x2+px+q=0的一个根,由根与系数的关系得(2i-3)+(-2i-3)=-,(2i-3)(-2i-3)=,解得p=12,q=26.6.(人教A版必修第二册第七章复习参考题7第4题)已知复数z与(z+2)2-8i都是纯虚数,求z.解

因为z是纯虚数,所以设z=bi(b∈R,b≠0),于是(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=-b2+4bi+4-8i=(4-b2)+(4b-8)i.又因为(z+2)2-8i也是纯虚数,所以4-b2=0,4b-8≠0,得b=-2,因此z=-2i.考点一复数的有关概念(3)(多选)(2023·江苏泰州高三模拟)已知z1,z2均为复数,则下列结论正确的有(

)答案

(1)C

(2)D

(3)BD(3)令z1=1,z2=-i,满足|z1|=|z2|,而z1≠±z2,故A错误;令z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,z1+z2=2a为实数,故B正确;令z1=1,z2=i,(z1-z2)2=-2i,|z1-z2|2=2,规律方法

复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,解决这些概念问题时,关键是将已知复数化为标准的代数形式z=a+bi(a,b∈R),然后根据概念的不同,列出实部、虚部应满足的条件,从而解决问题.考点二复数的运算例题(1)(2022·新高考Ⅰ,2)若i(1-z)=1,则z+=(

)A.-2 B.-1 C.1 D.2A.-1 B.-22022

C.1 D.22022答案

(1)D

(2)D规律方法

复数运算注意点(1)复数的加减法:在进行复数加减法运算时,可类比实数运算中的合并同类项法则(实部与实部相加减,虚部与虚部相加减)进行.(2)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含虚数单位i的看作一类同类项,分别合并即可.(3)复数的除法:复数除法的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数,同时注意将i的幂写成最简形式.对点训练(2023·重庆高三模拟)已知非零复数z满足z(2+2i)=|z|2,则z=(

)A.2+2i B.2-2iC.-2+2i D.-2-2i答案

B考点三复数的几何意义

引申探究(变结论)若本题组(3)的条件不变,