抽象函数讲义- 高三数学一轮复习

第页抽象函数教学目标1、函数单调性的定义与逆用；2、函数奇偶性的定义与性质；3、抽象函数性质的提取，抽象函数不等式的转换；4、会解决转化后的不等式恒成立问题；重点抽象函数性质的判定和应用难点抽象函数性质的综合应用知识梳理一、定义：抽象函数问题，一般指没有给出具体函数解析式，只给出了其他一些条件（如函数定义域、解析递推式、取值情况、性质、图像特征等），研究解决这个函数的解析式、性质或与函数相关的参数范围、求值、不等式（或方程）解、图象、比较大小等问题.这类问题具有概念抽象、综合性强、方法灵活等特点.抽象函数问题既是学习的难点，也是高考的热点，认真学习它是提高学生数学能力和创新能力的有效途径.二、常见的抽象函数模型：①正比例函数模型：┄┄┄.②幂函数模型：┄┄┄；.③指数函数模型：┄┄┄；.④对数函数模型：┄┄；.⑤三角函数模型：┄┄┄.三、归纳方法：观察不等式两端的特点，化为同类函数；2、借助函数的单调性，脱掉“”；3、注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0.（一）抽象函数的定义域、递推关系、值域例题精讲【例1】（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域为．（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域．【例2】（1）已知定义在上的函数的值域为，则函数的值域为_________.（2）设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间，上的值域为，，则在区间，上的值域为．【例3】已知函数是定义在上的单调函数，则对任意都有成立，则（1）A． B． C． D．0【例4】已知定义在上的奇函数且满足，且（1），若函数（1）有且只有唯一的零点，则A．1 B． C． D．3【例5】已知函数满足：并且（1），那么：的值为A．2019 B．1010 C．4038 D．3030巩固训练 1、已知函数的定义域为，求函数的定义域；2、设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间，上的值域为，，则在区间，上的值域为．3、设定义在上的函数的值域为，若集合为有限集，且对任意、，存在使得，则满足条件的集合的个数为A．3 B．5 C．7 D．无穷个（二）抽象函数的性质例题精讲【例6】（1）是定义在上的奇函数且单调递减，若，则的取值范围是（）A.B.C.D.(2)已知偶函数在区间上单调递增，则满足的取值范围是（）ABCD【例7】设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则①是函数的一个周期；②函数在上是减函数，在上是增函数；③函数的最大值是，最小值是；④是函数的一个对称轴；其中所有正确命题的序号是____________.【例8】用表示两数中的最小值，若函数的图像关于直线对称，则的值为（）A． B．1 C． D．2【例9】已知函数满足，，，则A． B． C． D．0【例10】定义在上的偶函数满足，则_________．巩固训练1、设定义在上的两个函数、，其值域依次是和，有下列4个命题：①“”是“对任意恒成立”的充要条件；②“”是“对任意恒成立”的充分不必要条件；③“”是“对任意恒成立”的充要条件；④“”是“对任意恒成立”的充分不必要条件．其中正确的命题是（请写出所有正确命题的序号）．2、已知定义在上函数的图象关于原点对称，且，若，则（）A．0 B．1 C．673 D．6743、已知函数是上的偶函数，对于任意都有成立，当，且时，都有．给出以下三个命题：①直线是函数图像的一条对称轴；②函数在区间上为增函数；③函数在区间上有五个零点．问：以上命题中正确的个数有（）．A．个 B．个 C．个 D．个4、已知函数是R上的减函数,且的图象关于点成中心对称.若u,v满足不等式组,则的最小值为______________.5、已知函数对任意实数、都有，且当时，，（1）．（1）判断函数的奇偶性；（2）求在区间，上的值域．（三）抽象函数综合例题精讲【例11】设函数的定义域是，对于以下四个命题：(1)若是奇函数，则也是奇函数；(2)若是周期函数，则也是周期函数；(3)若是单调递减函数，则也是单调递减函数；(4)若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点．其中正确的命题共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例12】对于定义在R上的函数，如果存在实数a，使得对任意实数恒成立，则称为关于a的“函数”．已知定义在R上的函数是关于0和1的“函数”，且当时，的取值范围为，则当时，的取值范围为________．【例13】定义在上的函数为增函数，对任意，都有为常数）（1）判断为何值时，为奇函数，并证明；（2）设，是上的增函数，且（1），若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．（3）若，，为的前项和，求正整数，使得对任意均有．【例14】已知是定义在上，满足，当时，求；时，比较与1的大小；讨论在上的单调性；，求且，求【例15】定义在上的函数为增函数，对任意，都有为常数）（1）判断为何值时，为奇函数，并证明；（2）设，是上的增函数，且（1），若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．（3）若，，为的前项和，求正整数，使得对任意均有．巩固训练1、定义，已知函数，的定义域都是，现有下述命题：①若，都是奇函数，则为奇函数；②若，都是偶函数，则为偶函数；③若，都是增函数，则为增函数；④若，都是减函数，则为减函数；则这些命题中，真命题的个数为____________个.2、已知偶函数对任意都有，则_____________.3、已知函数的定义域为，且满足，且，，则A．2021 B．1 C．0 D．4、设是定义域为的三个函数，对于命题:①若，，均为增函数，则中至少有一个为增函数；②若，，均是以为周期的函数，则均是以为周期的函数，下列判断正确的是() A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题5、已知定义在R上的函数，对任意实数都有，且.（1）若对任意正整数，有，求、的值，并证明为等比数列；（2）设对任意正整数，有．若不等式对任意不小于2的正整数都成立，求实数的取值范围．实战演练实战演练一、填空题1、奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则．2、已知函数是上的奇函数，且对任意的都有成立，，，则实数的取值范围为．3、已知是定义在上的偶函数，且在区间，上单调递增，若实数满足，则的取值范围是4、已知函数满足：，对任意实数，都有，则（1）（2）（3）．5、若对任意，，有，则函数在，上的最大值与最小值的和．6、函数的定义域为，对内的任意、，当时，恒有，则称为非减函数．已知是定义域为，的非减函数，且满足：①对任意，，．②对任意，，．则的值为．二、选择题7、函数是上的增函数，点，是其图象上的两点，则的解集为A．， B．， C． D．8、设函数的定义域为，若对于任意实数、，总有，当时，，那么以下说法：（1）；（2）；（3）是奇函数；（4）在上单调递增；其中正确的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9、定义在上的函数满足，对任意的，，，恒有，则关于的不等式的解集为A． B． C． D．10、定义在上的函数满足：对任意，，总有，则下列说法正确的是A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数三、解答题11、设函数的定义域为，且同时满足以下两个条件：①存在实数，使得（a）；②当，时，有恒成立．（1）函数是