2024年新课标Ⅱ卷高考数学试题及答案

2024年新课标II卷高考数学试题及答案

本试卷共10页，19小题，满分150分.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准

考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写

在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知z=—l—i,则忖=()

A.0B.1C.72D.2

2.已知命题0：VxeR,|.r+l|>l；命题g：>0,Xs=%，贝。（）

A.p和q都是真命题B.r7和1都是真命题

C.p和都是真命题D.F和E都是真命题

3.已知向量满足M=1,卜+2©=2,且则忖=（）

A.1B.在C.BD.1

222

4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量

（单位：kg）并部分整理下表

亩产

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

量

频数612182410

据表中数据，结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

5.已知曲线C：X2+/=16(y>0),从C上任意一点?向x轴作垂线段尸P,P为垂足,

则线段PP的中点〃的轨迹方程为()

A.—+^=1(y>0)B.工+工=1(y>0)

164168

C.工+三=1(y>0)D.-^+―=1(y>0)

164168

6.设函数/(x)=a(x+l)2-1,g(x)=cosx+2(xc,当xe(-U)时，曲线y=fO)与y=g(x)

恰有一个交点，则。=()

A.-1B.1C.1D.2

7.已知正三棱台ABC-$用£的体积为52方，AB=6,Ag=2,则4人与平面/a1所成角

的正切值为()

A.JB.1C.2D.3

8.设函数〃尤)=(x+a)ln(x+b),若/'(©NO,则/+力2的最小值为()

A.—B.—C.-D.1

842

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

7T

9.对于函数/(x)=sin2x和g(x)=sin(2x-：),下列正确的有()

A.『⑴与g(x)有相同零点B.Ax)与g(x)有相同最大值

C./(尤)与g(x)有相同的最小正周期D./(尤)与g(尤)的图像有相同的对称轴

10.抛物线C：/=4x的准线为户为C上的动点，过户作。A:x2+(y-4)2=l的一条切

线，。为切点，过户作/的垂线，垂足为氏则()

A./与。A相切

B.当只A,方三点共线时，|尸。|=厉

C.当|尸2|=2时，PALAB

D.满足IPA目尸切的点尸有且仅有2个

11.设函数f(x)=2丁-Bar?+1,则(

A.当“>1时，Ax)有三个零点

B.当。<0时，x=0是/(尤)的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点⑴)为曲线y=f(x)的对称中心

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.记S”为等差数列｛4｝的前〃项和，若。3+4=7,3%+%=5,贝go=.

13.已知1为第一象限角，。为第三象限角，tana+tan分=4,tanatan尸=拒+1,则

sin(a+/3)=.

14.在如图的4X4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有.

种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记AABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+GcosA=2.

⑴求4

(2)若a=2,后sinC=csin23，求AABC的周长.

16.已知函数/(无)=e*—ax—/.

⑴当。=1时，求曲线y=/(x)在点(1J(D)处的切线方程；

(2)若/(X)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

17.如图，平面四边形/阅9中，AB=8,CD=3,AD=5上,ZADC=90°,NBAD=30°,

___2__.__►i__.

点£,F^^AE=-AD,AF=^AB,将△入£尸沿功对折至！PE尸，使得尸C=4A/L

p

Bc

⑴证明：EF±PD；

(2)求面尸切与面惭所成的二面角的正弦值.

18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段

由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少

投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中

得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每

次投中的概率为D乙每次投中的概率为G各次投中与否相互独立.

(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概

率.

⑵假设°<P<4，

(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

(ii)为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

19.已知双曲线C:x2-y2=M〃z>0),点片电4)在C上，上为常数，0<左<1.按照如下

方式依次构造点Pn=2,3,-.),过Pnl作斜率为k的直线与C的左支交于点Qi，令匕为2T

关于y轴的对称点，记匕的坐标为(乙,%).

(1)若次=—,求%，%；

(2)证明：数歹!]｛七-％｝是公比为生的等比数列；

⑶设S“为的面积，证明：对任意的正整数“，S„=Sn+l.

1.c

【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.

【详解】若Z=-L-i,则目«])2+(_1)2="

故选：C.

2.B

【分析】对于两个命题而言，可分别取户-1、x=l,再结合命题及其否定的真假性相反即

可得解.

【详解】对于。而言，取x=-1,则有卜+1|=0<1,故P是假命题，可是真命题，

对于4而言，取x=l,则有x3=F=l=x,故4是真命题，是假命题，

综上，「。和4都是真命题.

故选：B.

3.B

【分析】由]一2句点得片=2鼠九结合同=1,卜+2+2,得1+4遍+方=1+6片=4,

由此即可得解.

【详解】因为0-2q二，所以0-2a”=O,即7=271，

又因为恸=1,卜+2q=2,

所以1+4[.石+4B=1+6石=4，

从而w=q.

故选：B.

4.C

【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；

根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.

【详解】对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<50,

所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误；

对于B,亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比为=66%,故B错误；

对于C,稻田亩产量的极差最大为1200-900=300,最小为1150-950=200,故C正确;

对于D,由频数分布表可得，亩产量在口050,1100)的频数为100-(6+12+18+24+10)=30,

所以平均值为,><(6x925+12x975+18x1025+30x1075+24x1125+10x1175)=1067,故D

100

错误.

故选；C.

5.A

【分析】设点M(x,y),由题意，根据中点的坐标表示可得尸*,2y),代入圆的方程即可求解.

【详解】设点”(羽，),则P(X,%),P(X,O),

因为M为尸P的中点，所以%=2y,即尸(x,2y),

又P在圆V+y2=16(y>0)上，

所以x2+4y2=16(y>0),BP—+=l(y>0),

164

即点M的轨迹方程为1+]=l(y>0).

164

故选：A

6.D

【分析】解法一：^F(x)=ax2+a-l,G(x)=cosx,分析可知曲线y="尤)与y=G(元)恰有

一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得。=2,并代入检验即可;

解法二：令法x)=f(x)-g(x),xe(-l,l),可知Mx)为偶函数，根据偶函数的对称性可

知〃(x)的零点只能为0,即可得a=2,并代入检验即可.

【详解】解法一：令/(无)=g(x),即a(x+l)2T=cosx+2ax,可得依?+a_1=cosx,

F(xj=axr+a—l,G(x)=cosx,

原题意等价于当xe时，曲线y=尸(此与y=G(x)恰有一个交点，

注意到P(x),G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得尸(0)=G(0),即a-1=1,解得a=2,

若a=2,令尸(x)=G(x),可得2/+1—cosx=0

因为(-L1),贝2/>0,l_cosx20,当且仅当％=0时，等号成立，

可得2f+l-cosxNO,当且仅当元=0时，等号成立,

则方程2/+1-cosx=0有且仅有一个实根0,即曲线y=尸(x)与y=G(x)恰有一个交点，

所以。=2符合题意；

综上所述：a=2.

解法二：令k(x)=/(x)-g(x)=ax2+a-1-cosx,x&(-1,1),

原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，

因为〃(-x)=+a-I-cos(-x)=ax2+<z-1-cosx=h(x),

则/7(X)为偶函数，

根据偶函数的对称性可知〃(x)的零点只能为0,

即/"0)=°_2=0,解得。=2,

若a=2,贝I]/z(x)=2/+1—cos尤,xe(-1,1),

又因为2d20,l-cosx20当且仅当x=0时，等号成立，

可得/?(尤)20,当且仅当x=0时，等号成立，

即“尤)有且仅有一个零点0,所以。=2符合题意；

故选：D.

7.B

【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高/7=迪，做辅助线，结合正三棱台

3

的结构特征求得40=生8,进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台

3

ABC-AgG补成正三棱锥P-A3C,AA与平面46C所成角即为PA与平面46c所成角，

根据比例关系可得/=18,进而可求正三棱锥P-ABC的高，即可得结果.

【详解】解法一：分别取2C,4cl的中点2。，则AD=3百,42=囱，

可知S.ABC=；X6X6X5=94，S"B,G=)X2X^=若，

设正三棱台ABC-A4G的为〃，

则％C.AB,G=；(96+6+加瓦耳卜=”，解得〃=?,

如图，分别过A，2作底面垂线，垂足为“，N,设AM=x,

贝！I伍=JAM2+AA/2=J尤2+g,DN=AD-AM-MN=25X,

2

可得DDX=^DN+D,N-=J（2退一元”,,

结合等腰梯形BCCK可得BB；=1好J+DD；,

即d+：=（2退一尤丁+1+4,解得了=手，

所以AA与平面/玄所成角的正切值为tan?AAO翌=1；

AM

解法二：将正三棱台ABC-A4G补成正三棱锥P-ABC,

则AA与平面/及7所成角即为PA与平面力及?所成角,

因为d=她=!，则—B,q=J_

PAAB3VP_ABC27

2652

可知匕BC-AMG=而"^P-ABC=丁，则Vp-ABC=18，

设正三棱锥P-ABC的高为d,贝|力=J_dx、6x6x正=18,解得d=2g,

p-ABC322

取底面49c的中心为0,则尸。上底面/用且AO=2有，

P0

所以PA与平面/比所成角的正切值tanZPAO=—=1.

AO

故选：B.

8.C

【分析】解法一：由题意可知：/（X）的定义域为（-万,+8）,分类讨论-。与-6,1-匕的大小关

系，结合符号分析判断，即可得匕=。+1,代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分

析ln(x+6)的符号，进而可得x+a的符号，即可得6=。+1,代入可得最值.

【详解】解法一：由题意可知：Ax)的定义域为(-七+8),

令％+々=0解得九=一々；令ln(%+6)=0解得％=

若-aS—b,当无£(一6』一b)时，可知％+〃>0,ln(x+b)<0,

此时不合题意；

若一b<-"]-b,当了£(一。』一人)时，可知x+a>O,ln(%+〃)<0,

此时/。)<0,不合题意；

若一Q=l—b,当无£(—"1一〃)时，可知X+a<0,ln(%+Z?)<0,止匕时/(x)>0；

当兀c[l—"+oo)时，可知x+Q〉0/n(x+Z?)N0,此时/(%)N0；

可知若-。=1-。，符合题意；

若一4>1一人，当％w(l—仇一a)时，可知％+a<0,ln(x+b)>0,

此时八%)<0,不合题意；

综上所述：-a=l-b,即Z;=a+1,

则/+62=/+(°+1)2=2(.+工丫+!》工，当且仅当。=一1,6=1时，等号成立，

V[2)2222

所以的最小值为3；

解法二：由题意可知：了⑺的定义域为(-6,+8),

令％+a=0角牟得九二一a；令ln(%+6)=0角军得了=1—。；

贝|当无£(一瓦1一〃)时，ln(x+Z?)vO,故工+Q40,所以1一匕+〃<0；

光£(1一瓦+8)时，ln(%+b)>0,故X+Q>0,所以1—b+aNO；

故1—b+Q=O,则+。2=Q?+(4+1)2=+

当且仅当。=-;,6=g时，等号成立，

所以/+〃的最小值为

故选：C.

【点睛】关键点点睛：分别求x+a=O、In(尤+勿=0的根，以根和函数定义域为临界，比较

大小分类讨论，结合符号性分析判断.

9.BC

【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.

【详解】A选项，令"x)=sin2x=0,解得x=日状eZ,即为零点，

令g(x)=sin(2无一；)=0,解得尤="+1水eZ,即为g(x)零点，

显然/(%),g(%)零点不同，A选项错误；

B选项，显然/(4)皿=g0)皿=1,B选项正确；

C选项，根据周期公式，/(x),g(x)的周期均为弓=兀，C选项正确；

D选项，根据正弦函数的性质fM的对称轴满足2x=E+gox="+；,%eZ,

224

g(x)的对称轴满足2尤-乙=E+'ox=@+型,ZeZ,

4228

显然/(*),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.

故选：BC

10.ABD

【分析】A选项，抛物线准线为x=-l,根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三

点共线时，先求出P的坐标，进而得出切线长；C选项，根据|PB|=2先算出p的坐标，然后

验证心勤=-1是否成立；D选项，根据抛物线的定义，|依|=|尸耳，于是问题转化成

1pAi=|尸司的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直

接设P点坐标进行求解.

【详解】A选项，抛物线丁=以的准线为尸-1,

。A的圆心(。,4)到直线户-1的距离显然是1,等于圆的半径，

故准线/和。A相切，A选项正确；

B选项，尸,A3三点共线时，即PA_L/,则F的纵坐标力=4,

由巾=4%，得到％=4,故尸(4,4),

此时切线长|PQ|=一/=萩-12=屈,B选项正确；

C选项，当|。用=2时，xP=1,此时yj=4%p=4,故。(1,2)或。(1,-2),

4-24-2

当尸(1,2)时，40,4),3(—1,2),k=--=-2k^----=2

PA0—1fABU—f

不满足如4%=T；

当P(L-2)时，40,4),3(-1,2),kPA=^-^-=-6,左.=^^=6,

不满足%1KB=T；

于是PA_LA3不成立，C选项错误；

D选项，方法一：利用抛物线定义转化

根据抛物线的定义，|「耳=|尸耳,这里尸(1,0),

于是|上4卜|尸同时尸点的存在性问题转化成|朗|=|尸目时尸点的存在性问题，

A(0,4),厂(1,0),AF中点，,2),AF中垂线的斜率为一，一=:,

于是A尸的中垂线方程为：>=与抛物线V=4x联立可得;/_i6y+30=0,

A=162-4X30=136>0,即AF的中垂线和抛物线有两个交点，

即存在两个P点，使得|尸川=归司，D选项正确.

方法二：(设点直接求解)

设尸［jj,由可得B(-M),又4。，4),X|PA|=|PB|,

根据两点间的距离公式，、匚+(-4)2=匚+1,整理得产一6+30=0,

V164

△=16?-4x30=136>0,则关于，的方程有两个解,

即存在两个这样的P点，D选项正确.

故选：ABD

11.AD

【分析】A选项，先分析出函数的极值点为x=O,x=a,根据零点存在定理和极值的符号判断

出了⑺在(T,0),(0,a),32a)上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分

析；C选项,假设存在这样的6,使得x=b为/⑺的对称轴，则”x)=/(26-x)为恒等式,

据此计算判断；D选项，若存在这样的使得(1,3-3a)为/(x)的对称中心，贝I]

f(x)+f(2-x)=6-6a,据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.

【详解】A选项，f(x)=6x2-6ax=6x(x—a),由于。>1,

故xe(-8,0)u(a,+(»)时f\x)>0,故/(x)在(-co,0),(a,+8)上单调递增，

xe(0,a)时，/'(元)<0,7(x)单调递减，

则/(x)在尤=0处取到极大值，在x=。处取到极小值，

由/(0)=1>0,/(a)=l-a3<0,则J(0)/3)<0,

根据零点存在定理/(无)在(0，。)上有一个零点，

X/(-l)=-l-3a<0,/(2a)=4«3+l>0,则/(一1)/(0)<0,7(a)/(2a)<0,

则“X)在(-1,0),(。,2a)上各有一个零点，于是“>1时，/a)有三个零点，A选项正确；

B选项，f'(x)=6x(x-a),0<0时，xe(a,0),/,(x)<0,/(a)单调递减，

xe(0,+x)时/''(x)>0,/(x)单调递增，

此时/*)在x=0处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的a,6,使得x=b为Ax)的对称轴，

即存在这样的。,b使得以x)=f(2b-x),

即2丁一3ax2+1=2(26-x)3-3a(2Z?-x)2+1,

根据二项式定理，等式右边(23-4展开式含有/的项为2C；(26)°(T)3=-2/,

于是等式左右两边丁的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的。力，使得X=b为的对称轴，c选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

/(1)=3-3«,若存在这样的使得(L3-3a)为了⑺的对称中心,

则/。)+/(2-彳)=6-6",事实上，

f{x}+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-彳丁-3a(2-x)2+1=(12-6a)d+(12。-24)x+18-12。，

于是6-6。=(12-6。)*2+(12。-24比+18-12。

12-6a=0

即12a-24=0,解得。=2,即存在。=2使得(L/⑴)是/⑺的对称中心，D选项正确.

18—12a=6—6a

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

f(x)=2x3—Sax2+1,/'(%)=6x2—6ax,fn(x)=12x—6a,

由广(x)=0ox=],于是该三次函数的对称中心为[■!/,

由题意(1"(D)也是对称中心，故■|=loa=2,

即存在a=2使得(1"⑴)是/(x)的对称中心，D选项正确.

故选：AD

【点睛】结论点睛：(1)/*)的对称轴为A匕0/⑴=/侬-彳)；(2)/(X)关于(o,b)对

称o/'(x)+/(2a-x)=»；(3)任何三次函数/(*)=依3+桁2+5+，都有对称中心，对称

中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是尸5)=0的解，即，是三次函

数的对称中心

12.95

【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出q,d,再利用等差数列的求和公式节即

可得到答案.

\CL2d+〃[+3d=7[CL=-4

【详解】因为数列4,为等差数列，则由题意得“小心<,解得'。，

[3（q+d）+4+4d=5[a=3

inxQ

贝！J，o=10q+^―d=10x（—4）+45x3=95.

故答案为：95.

2A/2

3

【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tan（a+£）=-20,再缩小a+6的范围，最

后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

tana+tanJ34

【详解】法一：由题意得^1（C+分）==-2A/2

l-tanatan/1-(&+1)

因为a2E,2fai+]G(2mn+TC,2mn+3兀

2

则a+/£（（2根+2左）兀+兀,（2根+2左）兀+2兀）,k,meZ,

又因为tan(a+£)=-2后<0,

则a+/(2"1+2左)兀+],(2M+2左)兀+2兀

,k,meZ,贝Usin(a+/)<0,

则:需：/k-2后,联立sin2(a+^)+cos2(«+^)=l,解得sin(a+£)=—乎

法二：因为a为第一象限角，/?为第三象限角，贝!Jcosa>0,cos分<0,

cosa1cos/7-1

=—COSPD=I=/=

Vsin2+cos2aV1+tan2aJsin2尸+cos2f3Jl+tan2[3

贝Usin(cr+月)=sinacos0+cosasinj3=cosacos夕(tana+tan(3)

-4_______________________-4______________-42夜

=4cosacos/3=

A/1+tan2+tan2/7^/(tana+tan/3)2+(tanatan/3—I)2,4、+2丁

故答案为：-逑.

3

14.24112

【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出

所有的可能结果，即可求解.

【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，

则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，

第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，

所以共有4x3x2x1=24种选法；

每种选法可标记为(a,6,c,d),a,4c,d分别表示第一、二、三、四列的数字，

则所有的可能结果为：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.

故答案为：24;112

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方

格可选，利用列举法写出所有的可能结果.

15.(l)A=y

6

⑵2+&+3应

【分析】(1)根据辅助角公式对条件sinA+6cosA=2进行化简处理即可求解，常规方法

还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决;

(2)先根据正弦定理边角互化算出B,然后根据正弦定理算出b,c即可得出周长.

【详解】(1)方法一：常规方法(辅助角公式)

由sinA+百cosA=2可得』sinA+cosA=1,即sin（A+*）=1,

223

..小、/71/兀4jCI».71兀口.兀

由于A£（0,兀）=>A+不£（不二），A+—=—,解得A

33332o

方法二：常规方法(同角三角函数的基本关系)

由sinA+J5cosA=2,又sin?A+cos2A=1,消去sinA得到:

4cos2A—4^3cosA+3=0<=^>（2cosA—^/3）2=0,解得cosA=

2

又A£（0,7T）,故A=m

6

方法三：利用极值点求解

设/（%）=sinx+若cos%（0<%〈兀），贝U/（x）-2sin^x+^-j（0<x<兀），

显然x时，/（x）max=2,注意到/（A）=sinA+\/5cosA=2=2sin（A+q）,

63

/（初四=/（人），在开区间（。，兀）上取到最大值，于是％=A必定是极值点，

即/'（A）=0=cosA-百sinA,BPtanA=,

又Ae（0,兀），故

6

方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）

^a=（l,y/3）,b=（sinA,cosA）,由题意，o-B=sinA+百cosA=2,

根据向量的数量积公式，力石=同即。5,石)=2cos标，以

贝(12cos扇7=2ocos扇7=1,止匕时方石=0,即同向共线，

根据向量共线条件，1-cosA=A/3-sinA<^>tanA=，

3

TT

又Ae(0,7i),故4=自

方法五：利用万能公式求解

设/=1211金，根据万能公式，sinA+百cosA=2=3y+回二。

整理可得，产_2(2_®+(2_局=0=«_(2_我)2,

解得tang=f=2-亚根据二倍角公式，tanA=3=走，

21"3

又4£(0,兀)，故A=f

(2)由题设条件和正弦定理

V2Z?sinC=csin23oy/2sinBsinC=2sinCsin5cosB，

又民Ce(0,7i),贝IsinBsinCA0,进而cosB=变，得到8=工，

24

7兀

于是C=TC—A—5二—,

12

sinC=sin(7i—A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=-----------

4

2_b_c

由正弦定理可得，三=刍=三，即—===『？，

sinAsinBsinCsin—sin—sin——

6412

解得b=2c=A/6+A/2，

故AABC的周长为2+指+3忘

16.(1)(e-l)x-y-l=O

⑵(1,+s)

【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；

(2)解法一：求导，分析“W0和。>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得

"+lna-l>0,构建函数解不等式即可;解法二:求导，可知((x)=e，-a有零点，可得。>0,

进而利用导数求的单调性和极值，分析可得"+lna-l>0,构建函数解不等式即可.

【详解】(1)当a=l时，贝ijf(x)=e*-x-1,f'(x)-ex-I,

可得/(l)=e-2,r(l)=e-l,

即切点坐标为(Le-2),切线斜率％=e-l,

所以切线方程为广(e-2)=(e-l)(x-l),即(e-l)x—y—1=0.

(2)解法一：因为Ax)的定义域为R,且尸(x)=e，-“，

若aW0,则/O0对任意xeR恒成立，

可知〃幻在R上单调递增，无极值，不合题意；

若a>0,令/'(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<ln”；

可知/(x)在(一》,Ina)内单调递减，在(ina,+oo)内单调递增，

则了(无)有极小值〃lna)=a-alna-q3,无极大值，

由题意可得：/(lna)=a-aln<7-a3<0,gpa2+lna-l>0,

构建g(q)=/+lna-1,a>0,贝!]g(a)=2a+』>0,

a

可知g(a)在(0,+e)内单调递增,且g⑴=0,

不等式"+lna-l>0等价于g(a)>g⑴，解得“>1,

所以a的取值范围为(L”)；

解法二：因为/*)的定义域为R,且尸(无)=e=a,

若了⑺有极小值，则f\x)=e-a有零点,

令f'(x)=e1-a=0,可得e*=a,

可知y=e，与有交点，则a>0,

若a>0,令/'(x)>0,解得尤>lna；令/(尤)<0,解得x<lna；

可知人>)在(-℃,In。)内单调递减，在(Ina,+co)内单调递增，

贝ij/(x)有极小值/(lna)=q-alna-/,无极大值，符合题意，

由题意可得：/(ln<7)=a-£?lna-a3<0,即aZ+ma-i>。，

构建g(a)="2+lna-1,a>0,

因为则>=42广=111。-1在(0,+8)内单调递增，

可知g(a)在(0,+功内单调递增,且g⑴=0,

不等式储+in〃-1>0等价于g(a)>g(1),解得“>1,

所以a的取值范围为(1,y).

17.(1)证明见解析

⑵8A/65

65

【分析】(1)由题意，根据余弦定理求得EF=2,利用勾股定理的逆定理可证得EFIAD,

贝结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；

(2)由(1),根据线面垂直的判定定理与性质可证明PELED,建立如图空间直角坐标

系E-孙z,利用空间向量法求解面面角即可.

【详解】(1)由AB=8,AD=5g,荏=|通，通=(通，

得AE=2百,AF=4,又/BAD=30",在中，

由余弦定理得EF=4AE2+AF2-2AE-AFcosABAD=J16+12-2-4-2⑥9=2,

所以4£2+族2=4尸2,则AE_L£F,即

所以EF，PE,EF，DE,又PEC\DE=E,PE、DEu平面刊圮，

所以砂工平面PDE,又尸Du平面PDE,

故EFJ.PD；

(2)连接CE,由ZADC=90°,ED=36,CD=3,则CE?=ED?+C»2=36,

在APEC中，PC=45PE=2®EC=6,EC2+PE2=PC2,

所以尸E_LEC,由(1)知PE_LEF,又ECC1EF=E,EC、EFu平面ABC。，

所以PE_L平面ABC。，又EOu平面A3CD,

所以PE_L£D,则尸E,EF,ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系e一孙Z,

则E(0,0,0),P(0,0,2g),ZXO,3&,0),C(3,3^,0),F(2,0,0),A(0,—26,0),

由尸是AB的中点，得8(4,26,0),

所以定=(3,3上,-2回,PD=(0,3上,-2后,PB=(4,26,-2/),而=(2,0,-2厢，

设平面PC。和平面PBF的一个法向量分别为“=(%,y,Z]),机=(孙％,22),

贝工=占+豆%—任］=

J93320m-PB=4x2+2岛2-2Gz2=0

、［n-PD=3y/3y-2y/3z=0

l1m-PF=2X2-2A/3Z2=0

JC

令yt=2,2=上,得％=0,Zj=3,y2=-1,z2=1,

所以3=(0,2,3),浣=(有,一LI),

1_765

所以k°s涌司=韶

V5.A/13~~65~

设平面PCD和平面PBF所成角为0,贝i|sin。=Jl-cos?。=如叵,

65

即平面PC。和平面P2P所成角的正弦值为双匝.

(2)(i)由甲参加第一阶段比赛；(i)由甲参加第一阶段比赛;

【分析】(1)根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案;

(2)(i)首先各自计算出舄=口-(1-OP]/,与=[1-(1-4)31°3,再作差因式分解即

可判断；(ii)首先得到x和y的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，

再次作差比较大小即可.

【详解】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二

阶段也至少投中1次，

二比赛成绩不少于5分的概率尸=0_0.63)(1_0.53)=0.686.

(2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为

^=[l-(l-p)3]^3,

若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为

p<q,

:.%一%=q3-(q-pqf-p3+(p-pqf

=(4-°)(/++/)+(°-q)•[(0-pqf+(q-pqf+(p-pq)(q-pq)\

=(P-q)(3p2q2_3P2q_3Pq2)

=3Pq(p_q)(pq_p_q)=3pq〈p-q)[(l-。)(1-4)-1]>。，

，辱〉吃,应该由甲参加第一阶段比赛.

(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X的所有可能取值为0,5,10,15,

尸(X=O)=”p)3+[l_(l_p)3].(l—q)3,

P(X=5)=[1-(1-°产]c；q.(1-4,

P(X=10)=[1-(1-p)3](的(1-0,

产(X=15)=[l-(1-op}/,

E(X)=15[l—(l—p)3]q=15(p3—3p2+3p).q

记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩¥的所有可能取值为0,5,10,15,

同理口F)=15(/-3q2+3g)-p

E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3Pq(p-q)]

=15(p-q)pq(p+q-3),

因为°<p<g,则p+q—3<1+1—3<O,

贝1Kp—4)。4(。+4—3)＞。，

・.・应该由甲参加第一阶段比赛.

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解

从而比较出大小关系，最后得到结论.

19.⑴々=3,%=。

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出心的坐标即可；

(2)根据等比数列的定义即可验证结论；

(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S”的取值为与"无关的定值即可.

思路二：使用等差数列工具，证明S”的取值为与“无关的定值即可.

由已知有〃z=52—42=9,故C的方程为尤2一V=%

当A时，过片(5,4)且斜率为1的直线为〉=与，与d-y2=9联立得到

2z2

解得尤=-3或x=5,所以该直线与C的不同于勺的交点为2(-3,0),该点显然在C的左支

上.

故£(3,0),从而.=3,y2=0.

(2)由于过匕(%,券)且斜率为上的直线为〉=左(*-无“)+%,与Y-y2=9联立，得到方程

x2-(^(x-x„)+y„)2=9.

展开即得（1一用/_2耳％_丘“）尤一心y_9=0,由于匕（匕,%）已经是直线

y=k（x-%）+%和f-y2=9的公共点，故方程必有一根无=%.

2%(%-您)

从而根据韦达定理，另一根x=,相应的

\-k21-k2

y.+Ey—kX"

X-k1

2仇一x“一〃尤“y«+Ey相-2kx“、

所以该直线与C的不同于匕的交点为Q„,而注意到Q的

22

1-k1-k7

一（%一