数学（湖南卷）-【试题猜想】2024年中考考前最后一卷（附答案解析）

数学（湖南卷）-【试题猜想】2024年中考考前最后一卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列各数在数轴上表示的点距离原点最近的是（）

3.如图，在，ABC中，ZC=90°,点C在直线由上.若/1=27。，乙〃4，则N2的度数为

C.72°D.73°

4.下列计算正确的是（）

A.".々5=〃8B.5a—a=4

C.（2a2）3=6a6D.(a+6)2—a2+b2

5.近年来我国芯片技术迅猛发展，麒麟系列芯片突破封锁，采用先进的7纳米工艺.7纳

米=0.000007毫米，将数据0.000007用科学记数法表示为（）

A.7X10-6B.7x10-5C.0.7x1。/D.0.7xlO-5

6.中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对

象.如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（）

A.1080°B.900°C.720°D.540°

7.如图，AB为O的直径，ZABC=36°,则NCD3=()

A.36°B.72°C.64°D.54°

8.某班级的一个小组6名学生进行跳绳测试，得到6名学生一分钟跳绳个数分别为166,

160,160,150,134,130,那么这组数据的平均数和中位数分别是（）

A.150,150B.155,155C.150,160D.150,155

9.函数丁=丘+匕（左、Z?为常数，左w0）的图象如图，则关于犬的不等式"+人＞0的解集

为（）

A.x>0B.x<0C.x>2D.x<2

10.如图，二次函数y=a%2+b%+c的图象过点A（3,0）,对称轴为直线x=l,①次?c＜0；

②a+6+c2“无2+bx+c；③若M（〃2+l，x）,N（/+2,%）为函数图象上的两点，则

④若关于尤的一元二次方程依2+fox+c=p（P＞。）有整数根，则p的值有2个.其中正确

的结论为（）

试卷第2页，共6页

C.①②④D.②③④

二、填空题

ii.若代数式）占有意义，则实数x的取值范围是.

12.如图，在RtAABC中，NC=90。，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB,垂足为

点E,若AC=8,BC=6,则线段DE的长度为^.

13.不等式组]:+：>?一”的解集是____________.

[l-2x<2

14.如图，AC是操场上直立的一根旗杆，旗杆AC上有一点8,用测角仪（测角仪的高度

忽略不计）测得地面上的。点到8点的仰角/BDC=45。，到A点的仰角NADC=60。，若

3c=3米，则旗杆的高度AC=米.

15.有一组数据如下：92,93,a,94,95,它们的平均数是93,则这组数据的方差是—.

16.已知一元二次方程/+7彳-5=0的两根为占、X],贝ljx：+王.

17.如图，菱形ABC。的对角线ACM相交于点。NADC=60o,AC=10,E是4）的中点,

则0E的长是.

18.如图，ABC的内切圆。与3C,C4,AS分别相切于点D,耳尸，且AB=5,3C=13,

C4=12,则阴影部分的面积为（结果保留"）.

三、解答题

19.计算：VT2-（3.14-7r）°-4sin60°+Q^.

20.先化简，再求值：、：।/其中x=应-1.

x+2x+lJ

21.2023年11月7日，世界互联网大会“互联网之光”博览会在浙江乌镇开幕，大会主题为

“建设包容、普惠、有韧性的数字世界——携手构建网络空间命运共同体”.为增强学生网络

常识及安全意识，某校举行了一次全校6000名学生参加的安全知识竞赛.从中随机抽取〃名

学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四

个等级(D：60Vx<70；C：70Vx<80；B：80<x<90；A：90<x<100）,并根据分析

结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图.

D:60(x<70

C:70WxV80

B:80Wx<90

A:904W100

试卷第4页，共6页

(2)请补全频数分布直方图；

(3)扇形统计图中3等级所在扇形的圆心角度数为；

(4)若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的6000名学生中达到“优秀”等级的

学生人数.

22.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增

加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价

1元，商场平均每天可多售出2件.

(1)若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天嬴利最多？

23.如图，2是〈。的切线，切点为A,AC是的直径，连接OP交(。于E.过A点

作于点£),交：。于B,连接BC,PB.

(1)求证：PB是。的切线；

⑵若BC=\,求尸。的长.

10

24.如图，在平面直角坐标系无Oy中，矩形Q4BC的边。4在无轴上，0c在>轴上，OA=4,

k

OC=2(不与B,C重合)，反比例函数y=1%>0,x>0)的图像经过点且与AB交于点

E,连接OO,OE,DE.

⑴若点。的横坐标为1.

①求％的值；

②点尸在x轴上，当sQDE的面积等于6©尸的面积时，试求点P的坐标;

(2)延长即交，轴于点/，连接AC,判断四边形A£FC的形状

25.如图，AB是।。的直径，。是。上一点，过点。作。的切线交A3的延长线于点C,

DA=DC.

（1）求NC的度数;

⑵如图2,P是线段BC上的动点，过点P作AD的平行线，交；。于点E,F[PF＞PE）,

连接BE,BF,AB=10.

①当tan/FB4=l时，求BE的长;

②当5尸为何值时，=

26.定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线了="

为常数）对称，则称该函数为“X⑺函数”.

⑴在下列函数中，是“X（”）函数”的有一（填序号）.

①y=x；②y=2024x+l；®y=-；®y=x2

X

（2）若关于尤的函数＞=（工-〃）2+%是“乂（0）函数”，且图象与直线y=4相交于A,B两点，函

数y=（x—〃y+上图象的顶点为尸，当/尸54=45。时，求//,左的值.

⑶若关于无的函数＞=加+法+4（"0）是X⑴函数，且过点（3,1）,当—1W时，函数

的最大值X与最小值方的差为2,求r的值.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.c

【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最小即为距离原点最

近，即可作答.

【详解】解：：在数轴上的位置距离原点最近，

•••绝对值最小的即为距离原点最近，

V|-A/3|=A/3,

又,:0.5<1<A/3<4,

二0.5的位置距离原点最近，

故选：C.

2.D

【分析】此题考查中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图

形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180。后与原图重合.

【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；

故选：D.

3.B

【分析】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答.根据平角的定

义得出/3的度数，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可.

.-.Z3=180o-900-27o=63°,

.■.Z2=Z3=63°,

故选：B.

答案第1页，共20页

4.A

【分析】本题考查了同底数幕的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式，解题的关键

是掌握同底数塞相乘，底数不变，指数相加；合并同类项，字母和字母指数不变，只把系数

相加减；积的乘方等于每一个因数乘方的积；完全平方公式（a+，）2=4+2而+后.

【详解】解：a3-a5=a3+5=a8,选项A中计算正确，符合题意；

5a-a=4a,选项B中计算错误，不符合题意；

（2/）3=23.（/）3=8.6,选项C中计算错误，不符合题意；

（a+b^a2+2ab+b2,选项D中计算错误，不符合题意.

故选A.

5.A

【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记

数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为axlO-"的形式，其中1＜忖＜10,〃为整

数，〃的值等于把原数变为。时小数点移动的位数.

【详解】解：将数据Q000007用科学记数法表示为7x10-6,

故选：A.

6.A

【分析】根据多边形的内角和为180。、（“-2）,其中“为正多边形的边数，计算即可，此题

考查的是求正八边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键.

【详解】解：正八边形的内角和为：180。x（8-2）=1080°

故选A.

7.D

【分析】题目主要考查圆周角定理和三角形内角和定理，根据题意得出/ACB=90。，然后

利用三角形内角和定理求解，再由圆周角定理即可求解.

【详解】解：为。的直径，

/ACB=90°.

・.•ZABC=36°,

：.ZCAB=90°-ZABC=54°,

・•・ZCDB=ZCAB=54°.

答案第2页，共20页

故选D.

8.D

【分析】本题主要考查算术平均数和中位数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺

序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数

据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.根据中位数和算术平均

数的定义列式求解即可.

【详解】解：这组数据的平均数为：x(166+160+160+150+134+130)=150,

故选：D.

9.D

【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题关键.直接利用图象

得出答案.

【详解】解：如题图所示：不等式履+6>0的解集为：x<2.

故选：D

10.C

【分析】本题考查的是抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的

性质，二次函数的图像与一元二次方程的整数根的情况判断，掌握以上知识是解题的关键.由

抛物线的开口方向判断。与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，再根据对

称轴方程可判断b与。的关系，从而可判断①，由对称轴方程可得：当x=l时，函数取最大

值，可判断②，由I+2>"+121,可得河(〃2+1,%),77(/+2,%)的位置，结合二次函数

的性质可判断③，先求解6=-2“,c=-3a,再由函数图像得当时，-l<x<3,其

中x为整数时，x=0,1,2,从而可判断④.

【详解】解：：抛物线开口向下，“<0;

b

・・•抛物线的对称轴为直线x=-^-=l>0,

2a

：.b>0；

抛物线与y轴的交点在x轴上方，

c>0,

abc<0,故①正确；

答案第3页，共20页

・••当x=l时，y最大，a+b+c>ax2+bx+c故②正确；

•/n2+2>n2+l>l

M("+I，X),N(1+2,%)在对称轴上或右侧，y随x的增大而减小,

必，故③错误；

•••抛物线的对称轴是x=1,与尤轴的一个交点是(3,0),

抛物线与无轴的另个交点是(TO),

把(3,0)代入>=办2+6欠+。得，0=9a+3b+c,

h

V抛物线的对称轴为直线x=-白=1,

2a

b=-2a,

；・9a—6a+c=0,解得，c=-3a.

y=ax2—lax—3a=l)2—4tz(^<0),

顶点坐标为(LYa),

由图象得当。<yV-4a时，-1<X<3,其中X为整数时，x=0,1,2,

又：片。与x=2时，关于直线x=l轴对称当x=l时，直线恰好过抛物线顶点.

所以P值可以有2个.故④正确；

故选C.

11.x>l/l<x

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义

的条件是被开方数大于等于0,分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可.

【详解】解：：代数式有意义，

.卜一止。

"卡0，

••X>1,

故答案为：X>1.

12.

4

AnDP

【分析】先求出AE长,根据相似三角形的判定得出△AED-AACB,得出比例式差=衿，

答案第4页，共20页

代入求出DE长即可.

【详解】解：・.・NC=90。，AC=8,BC=6,

・•・AB二7AC2+BC2=A/82+62=10,

•「DE垂直平分AB,

AZDEA=90°,AE=-AB=-xl0=5,

22

・•・ZDEA=ZC,

又,.・NA=NA,

AAAED^AACB,

,AEDE

**AC-BCJ

口门5DE

即一二——

86

•nJ

・・DE——.

4

故答案为7.

【点睛】本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定的应用,

能推出△AED-AACB是解此题的关键.

13.x>—

4

【分析】根据解一元一次不等式组的步骤即可求解.

।详解】解：

解①得：尤>9

解②得：工”—Q

故该不等式组的解集为：尤

4

故答案为：x>~7

4

【点睛】本题考查求解一元一次不等式组，掌握求解一元一次不等式组的一般步骤是解题的

关键.注意计算的准确性.

14.3G

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据仰角构造直角三角形.在

答案第5页，共20页

RtBDC中,根据/BDC=45。，求出OC=3C=3米，在RtADC中，根据/ADC=60。即

可求出AC的高度.

【详解】解：在Rt3DC中，

ZBDC=45°0,

OC=3C=3米，

在RtADC中，

ZADC=60°,

/.AC=DCtan60°=3出米.

故答案为：3百.

15.2

【分析】本题考查方差的定义与意义：一般地设九个数据，尤”尤2,…%的平均数为无，则方

差s2=1a-元)2+伍一叶+...+(匕-可]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，

波动性越大，反之也成立.先由平均数计算出a的值，再计算方差，一般地设〃个数据，

士，尤2,…X”的平均数为于，x=-(x+x+...+x),则方差

nA2n

22-2

S=』[(X]-x)+(x2—x)+...+(xn-X)J

【详解】解：0=93x5-92-93-94-95=91,

=1x[(92-93)2+(93-93)2+(91-93)2+(94-93)2+(95-93)2]=2,

故答案为：2.

16.54

【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，熟知“不，X?

_bc

是一元二次方程0^+法+。=0(<1*0)的两根时，%+々=-一，匕％=—”是解题的关键.先

aa

根据题意得出为+々与七超的值，代入变形后的代数式进行计算即可.

【详解】解：一元二次方程Y+7x-5=0的两根为毛、巧，

/.玉+%2=-7,玉％2二-5,

/.%；++X2

答案第6页，共20页

2

=(玉+X2)-玉%2

=(-7)2-(-5)

=49+5

=54.

故答案为：54.

17.5

【分析】本题考查求线段长，涉及菱形性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边中

线等于斜边的一半等知识，先由菱形性质确定△AOD是直角三角形，再结合等边三角形判

定确定.ACD是等边三角形，从而得到菱形边长，最后在Rt,AC©中，由直角三角形斜边中

线等于斜边的一半即可得到答案，熟练掌握菱形性质、等边三角形判定与性质及直角三角形

斜边中线等于斜边一半是解决问题的关键.

【详解】解：在菱形ABCD中，DA=DC,ZADC=60°,

ACD是等边三角形，

AD=AC=10,

在菱形ABC。中，AC1BD,则△AOD是直角三角形，

E是AD的中点，

:.OE=-AD=5,

2

故答案为：5.

18.26-271

【分析】先根据勾股定理的逆定理得出ABC是直角三角形，再设：O的半径为r,根据三

角形的面积公式得出r的值，然后根据正方形的判定与性质、扇形的面积公式、三角形的面

积公式即可得.

【详解】AB=5,BC=13,CA=12

：.AB2+CA2=AB2

■■■ABC是直角三角形，且NA=9O°

设GO的半径为r,则OD=OE=。尸=r

内切圆(。与分别相切于点

:.OD±BC,OE±G4,OF±AB

■SABC=S0BC+SOAC+S0AB

答案第7页，共20页

:.-ABAC=-BCOD+-CAOE+-ABOF

2222

BP—x5xl2=—xl3r+—xl2r+—x5r

2222

解得r=2

又OE±CA,OF±AB,ZA=90°

，四边形AEOF是矩形，NEOF=90。

OE=OF

，矩形AEOF是正方形

则S阴影=s,ABC-So+$扇形^0/-SAEOF+S扇形片0尸

90%,

=-ABAC-7ir2H-----------OEOF+

2360360

，5xl2一2»+攻名90%x2?

—2x2+

2360360

=26-2%

故答案为：26-27.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、正方形的判定与性质、扇形

的面积公式等知识点，掌握三角形内切圆的性质与扇形的面积公式是解题关键.

19.3

【分析】本题考查特殊角的三角函数值的运算，实数的混合运算，先进行开方，零指数幕,

负整数指数累，特殊角的三角函数值的计算，再进行加减运算即可.

【详解】解：原式=2痒1-4速+4=3.

2

20.---,一巫

x+12

【分析】本题考查分式的化简求值，先将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，约分化

简，最后将x=0-1代入求值即可.

【详解】解：21号-”

x+2；x+l「(X-1)

xx~l—x2+1

(X+1)2X2-1

X%(1-力

(x+1)2+

答案第8页，共20页

Xx+1

(x+l)2X

_1_

x+1'

将兀=J^—1代入，得:

原式

21.(1)150,36

(2)见详解

(3)144°

⑷估计960人

【分析】本题考查了从关联统计图中获取信息，样本估计总体；

（1）由A等级人数除以所占百分比，即可求出抽取的总人数“，从而可求出优，即可求解;

（2）可求O等级的人数为150-54-60-24=12,补全图，即可求解；

（3）所占百分比x360。,即可求解；

（4）用样本中A等级人数除以所占百分比乘以总人数，即可求解；

能正确从频数分布直方图和扇形统计图中获取信息是解题的关键.

【详解】（1）解：由频数分布直方图和扇形统计图得

A等级有24人占16%,

24

n=——=150,

16%

54

m%=——x100%=36%,

150

m=36；

故答案：150,36；

（2）解：由题意得

。等级的人数为：

150-54-60-24=12（人）；

补全图，如下：

答案第9页，共20页

40%x360°=144°,

故答案：144。；

（4）解：由题意得

16%x6000=960（人）,

答：估计该校参加竞赛的6000名学生中达到“优秀”等级的学生人数为960人.

22.⑴每件衬衫应降价20元

（2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元

【分析】（1）设每件衬衫应降价无元，则每件所得利润为（40-x）元，但每天多售出2x件即

售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（40-x）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求

解.

（2）设商场平均每天赢利y元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求

解.

【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元，

根据题意得（40-x）（20+2x）=1200,

整理得2x2-60x+400=0

解得%=20,x2=10.

因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，

故每件衬衫应降20元.

答：每件衬衫应降价20元.

（2）设商场平均每天赢利y元，则

y=（20+2x）（40-x）

答案第10页，共20页

=—2%2+60x+800

=-2(X2-30X-400)

=_2[(尤_15)2—625]

=-2(尤-15)2+1250.

・・・当x=15时，，取最大值，最大值为1250.

答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，根据题意列出方程与函数关系

式是解题的关键.

23.⑴见解析

(2)PO=5

【分析】⑴连接由垂径定理可得=通过一。⑦金。如(SSS),得

ZAOD=ZBOD,通过经03P(SAS),可得/OBP=NQ4P=90。，根据切线的判定定

理，即可求解，

(2)由NO4P=90。，AC是；O的直径，可得=根据锐角三角函数可求AC,

AO的长度，由N£>a4+ZBAC=90°,可得NDOA=NPAB,在B4O中，根据锐角三角函

数，即可求解，

本题考查了垂径定理，直径所对的圆周角是90。，全等三角形的性质与判定，切线的性质与

判定，锐角三角函数，解题的关键是：根据切线的判定定理，连接辅助线.

【详解】(1)解：连接02,

AB1PO,

:.AD=BD,

VOA=OB,OD=OD,

答案第11页，共20页

・・・OAD^,OBD(SSS)f

:.ZAOD=ZBOD,

・：OA=OB,OP=OP,

：.OAT^OBP(SAS),

・•・/OBP=NOAP,

・・・K4是。的切线，

・•・ZOAP=90°f

：.ZOBP=ZOAP=90°,

：・PB是O的切线，

(2)解：由(1)可知，ZOAP=90°f

ZPAB+ZBAC=90°f

・・•AC是O的直径，

・・・ZBCA+ZBAC=90°f

:.ZPAB=ZBCAf

cosZPAB=cosZBCA=-=巫，即：工二叵,解得：AC=M,

AC10AC10

・・・AO=-AC=—

22

■:ABLPO,

：.ZDOA-^ZBAC=90°,

：.NDOA=/PAB,

cosZDOA=cosZBCA=-=叵,

即：2_,解得：PO=5,

PO10To~~i6~

故答案为：PO=5.

24.⑴①2；②或1?，0)

⑵四边形AEFC是平行四边形，理由见解析

【分析】(1)①根据矩形的性质得到NBCO=N5=NAOC=90。，得。(1,2),把。(1,2)代

入y=[(k>0,x>0)即可得到结论；

答案第12页，共20页

k

②由O,E都在反比例函数丫=人的图像上，得至!JSAC8=SAAOE=1，根据三角形的面积公

式得至!JS48E=2X4-；X1X2-：X4X；-：X：X3=],设尸（工0）,根据三角形的面积公式

乙乙乙乙乙|0

列方程即可得到结论；

（2）连接AC,根据题意得到（4,£|,设所的函数解析式为'="+"解方

程得到。/=一，求得CF=O尸-2=:=AE,根据平行四边形的判定定理即可得到结论.

44

【详解】（1）解：①：四边形ABCO是矩形，。4=4,

Z.ZBCO=ZS=ZAOC=90°,BC=OA=4,

：OC=2,点。的横坐标为1,

.•.0（1,2）,AB=OC=2,

反比例函数y=:e＞0,尤＞0）的图像经过点D,

Z=lx2=2,

的值为2；

②•:0（1,2）,

CD=1,

2

”,E都在反比例函数＞=—的图像上，

x

••SMOD~^/^AOE=1，

•••1=5AAO£=|OA-AE=1X4A£,

AE=—,

2

13

・•・BE=AB-AE=2——=-,

22

・c―1-1/113c15

・・S/\ODE=2x4-5乂卜2-5*4*5-5X5X3=1'

•・•点。在1轴上，QD内的面积等于,OOP的面积，

设尸（工,0）,

「・S8P=5xWX2=1,

解得：x=?或尤=一日，

44

答案第13页，共20页

点尸的坐标为[1,oj或卜了,0卜

(2)四边形AEFCAEFC是平行四边形.

理由：连接AC,

k

V0A=4,OC=2,D,E都在反比例函数y=—(左＞。,％＞。)的图像上,

咕",不力

设防的函数解析式为：y=ax+b,

\k7c

—xa+b=2

・2

4,k'

4a+b=—

[4

1

a=——

2

解得：Q7,

78+左

b=------

[4

二石尸的函数解析式为：＞=一;x+f，

当％=0时，得：)=牛，

4

OF=^~,

4

k

：.CF=OF-2=-=AE,

4

又；CF//AE,

.•.四边形AEFC是平行四边形.

【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查待定系数法确定解析式，反比例函数图像上

的点的坐标的特征，矩形的性质，平行四边形的判定，三角形的面积等知识点.掌握反比例

函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键.

25.(1)30°

(2)0BE=|(V6-V2)；②当3尸=§巴一15时,警=,

2rSrnr

答案第14页，共20页

【分析】(1)连接由。4=0D得到NOD4=NA,Affi!ZCOD=ZA+Z,ODA=2ZA,

根据8是：O的切线，得到/CDO=90。，从而/C+/COD=90。，即NC+2NA=90。，结

合NA=NC即可解答；

(2)①连接AF,由AB是直径得到/AEB=90。，由tan/Fa4=l得到/加=45。，解直角

三角形得到AF=AB-sinNABF=5j^，连接。尸，则。尸=：48=5,由EP〃AD得到

NFPO=3。。,解直角三角形得到OP=56，EP=10,BP=OP-OB=5y/3-5,证明

&AFPs_EBP,得到A黑F=FP代入即可解答；

BEBP

②过点8作8GLEP于点G,证得△ABFs^EBG,得到空=空，设BP=2x,贝|

BGBE

BG=-BP=x,班-3/=45・36=10%.过点。作ON_L跖于点N,=

222

22215+2x52x2

EN=OE-ON=()(~),^4EN=(15+2x)(5-2^).根据王=变得到

4EFBF

BEBF=EF2,分别代入得到方程，求解即可解答.

【详解】(1)解：连接OD,

("A

\

9

：OA=ODf

.・・ZODA=ZA,

：.ZCOD=ZA+ZOZM=2ZA,

•・•CD是O的切线，0。是半径，

：.OD±CDf

：.ZCDO=90°,

：.ZC^ZCOD=9Q°,BPZC+2ZA=90°,

•：DA=DC

：.ZA=NC,

・•・ZC=30°；

（2）解：①连接"，

答案第15页，共20页

TAB是直径，

：.ZAFB=90°,

VtanZFBA=l,

JNFBA=45。，

**.AF=AB-sinZABF=10•sin45。=50，

BF=ABcosZABF=10COS45°=5A/2，

连接。尸，则。尸=！A5=5

2

VAF=BF,AO=BO,

：.FOLAB,

：.ZFOP=90°,

■:FP//AD,

：.ZFPO=ZDAC=ZC=30°,

FO5

OP==5A/3,

tan/FPO~tan30°

——=10,

sin/FPOsin30°

BP=OP-OB=5^/3-5,

ZFAB-^-ZFEB=180°,ZPEB+ZFEB=180°,

：.ZFAB=ZPEB,

,:ZAPF=ZEPB,

：.AFPsEBP,

.AF_FPHn5>/210

BEBPBE5A/3-5

BE=|(V6-V2)；

②过点B作BGLFP于点G,

答案第16页，共20页

・•・ZBGE=/BGP=9伊,

:・ZBGE=ZAFB,

•:ZBEP=/FAP,

：.AAB尸sAEBG,

.BFAB

**BG-

BEBF=ABBG,

设5尸=2%,

VZBGP=90°,NBPG=30。,

JBG=-BP=x,

2

・•・BEBF=ABBG=10x.

过点。作ONLE厂于点N,

ZOPN=30°,

：.ON=-BP=-(BO+BP]=^^

22、72

/.在RiAONE中，EN2=OE2-ON2=52-=0'字⑶,

：ON过圆心O,且ONLEF,

/.EF=2EN,

22

：.EF=4EN=4-(15+2?(5一洞=(15+2x)(5-2x).

..BEEF2

•7^7--z~-，即BnBE•BF=EF2，

EFBF

：.10x