解三角形（两大易错点+九大题型）（原卷版）-2024年高考数学复习（新高考专用）

解三角形

目录

【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测

【应试总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点一：正弦定理的边角互化

易错点二：判断三角形个数

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略

【题型一】最值与范围：角与对边

【题型二】最值与范围：角与邻边

【题型三】范围与最值：有角无边型

【题型四】三大线：角平分线应用

【题型五】三大线：中线应用

【题型六】三大线：高的应用

【题型七】图形：内切圆与外接圆

【题型八】图形：“补角”三角形

【题型九】图形：四边形与多边形

高考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题、解答题☆☆☆☆☆

考向预测正余弦定理求边，求角。

应试

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作为高考固定题型，每次会出现在解答题的第一题或者第二题，新高考出现了结构不良题的新题型，

无外乎的就是和三角函数与解三角形结合出现在解答题第一题里，占10分，难度不大也适应了新高考的新

题型，所以是热门，必须要把各题型都能熟练掌握。

今年从九省联考的试卷可以看出，新结构试卷中把原有的解三角形大题弱化了，新结构试卷解三角形

的位置会在选填中考察，出现在大题的机率也是有的，即使出现难度也是不大的，所以基础题型和小题中

对于正余弦定理的运用就需要掌握的透彻。

误区点拨

易错点一：正弦定理的边角互化

1.正弦定理：="=1J=2R,其中R是三角形外接圆的半径.

sinAsinBsinC

由正弦定理可以变形:(l)a：b：c=sin_A：sin_B：sin_C；(2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C；(3)sin

A=-,sinB=-,sinC=£等形式，以解决不同的三角形问题.

2R2R2R

易错提醒：

1.在用正弦定理进行边角互化时需要注意2R的存在，等式两边2R的数量一致才可相消。

2.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在AABC中，

A>B=a>b=sinA>sinB.

,2「

例(2024•辽宁辽阳一模)在。8c中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且叱+4Z?=6c?,贝Ij‘人。

sin4sin8

的最小值为.

变式1：(2024・四川凉山•二模)设“3C的内角4B,C的对边分别为a,b,c,若。叫一封〜空】,

QC0S8+力cos/C

则4=.

易错点二：判断三角形个数

1.在AABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

A为锐角A为钝角或直角

Cccc

图形A工

AZLBAB

关系

a=bsinAbsinA<a<ba>ba>b

式

解的

一解两解一解一解

个数

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例（2022•江苏南通•模拟预测）在“BC中，内角4丛C所对的边分别为。〜则下列条件能确定三角

形有两解的是（）

._.71

B.a=4,b7=5,A=一

4

C.a=5,b=4,A=—

6

D.a==5,A=一

3

12

变式1:（2022高三•全国・专题练习）在中，cos^=—,smB=m,若角。有唯一解，则实数加的取

值范围是（）

A-GHB♦岛1]C.肾卜{.D.呜/{1}

抢分通关

【题型一】最值与范围：角与对边

注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边",6,c的齐次式或关于角的正弦sin4sin8,sinC的

齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换.求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角

函数形式，利用此角的范围求得结论.

।—।

典例精讲

【例1】（23-24高三下•河南濮阳•开学考试）已知。8c的内角4B,C的对边分别是a,b,c,3wC.若

A.gB.-C.2D.3

22

【例2】（2024•海南省直辖县级单位•一模）在锐角AABC中，角A,3,C的对边分别为a,b,c,且a=3,

/=60。，则6的取值范围是（）

A.（0,6）B.（0,2⑹C.（73,273）D.（6,6）

【例3】（2024•全国•模拟预测）已知AA8C中，角A、B、C的对边分别是a,6,c,J§6-csird=V^acosC.

（1）求角A的大小；

第3页共14页

⑵若a=3,。为BC边上一点，\AD\=2,2DB=DC,求的面积.

名校模拟

【变式1］（2024•全国•模拟预测）已知。8C的内角48C的对边分别为。也GA/BC的面积

回

S=--abcosCj■

（1）求角A的大小；

⑵若a=4,GsirU=sinS+sinC,求AA8C的面积S.

【变式2］（2024•云南贵州•二模）"BC的内角4以C的对边分别为a也c,已知acosB-bcoM=6+c.

（1）求角A的值；

⑵若。=2G,A/3C的面积为g,求瓦c.

【变式3］（2024•全国•模拟预测）已知“8C的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,a=l,

sinB+也bcosA=0.

⑴求角A；

⑵设是AABC的高，求的最大值.

【题型二】最值与范围：角与邻边

三角形中最值范围问题的解题思路：

要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化

为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。

涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时

可以利用余弦定理进行转化.注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边

的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大

1—I

典例精讲

【例1】（2024•安徽阜阳•一模）在“BC中，角4丛C的对边分别是a,6,c,且

asinAcosB+bsinAcosA=y/3acosC•

（1）求角。的大小；

（2）若a=3,且刀.就=1，求AABC的面积.

【例2】（2024•内蒙古呼伦贝尔•一模）在锐角△/5C的内角/,B,。所对的边分别为a,b,c,已知

c=2ca,cosA,=—7

8

⑴求cosC；

（2）若b=9,求“BC的面积.

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I—I

名校模拟

【变式1］（2024•陕西渭南•模拟预测）已知“3C的内角4B,C的对边分别为a/,c,则能使同时满足

条件N==,6=6的三角形不唯一的。的取值范围是（）

6

A.（3,6）B.（3,+8）C.（0,6）D.（0,3）

【变式2］（2024•河北•一模）在。8c中，内角4,2，。所对的边分别为a,6,c,且满足a?+6?+&ab=c?.

（1）求角C的大小；

（2）若b=l,c-2bcosB,求“BC的面积.

【变式3］（2024•广东佛山•模拟预测）在“BC中，角所对的边分别为“/,c,其中a=l,cos/=，2c-1.

⑴求角B的大小；

（2）如图，D为亚IBC外一点、,AB=BD,NABC=NABD,求2m的最大值.

smZCDB

【题型三】范围与最值：有角无边型

I—I

典例精讲

【例1】（2024•北京石景山•一模）在锐角“8C中，角4瓦C的对边分别为a,6,c,且26siir4-有。=0.

（1）求角B的大小；

⑵求cos/+cosC的取值范围.

sin/+sin5_。-a

【例2】（2024•吉林延边•一模）已知“8C的内角/,B,C所对的边分别为a,b,c,

sinCb-a

(1)求5

⑵若点。在/C上，且AD=BD=2DC,求

c

名校模拟

【变式1］（2024•广东湛江•一模）已知在中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,且

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acos(B-C)+acosA-24icsinBcosA=0.

⑴求4;

⑵若AABC外接圆的直径为2VL求2c-b的取值范围.

【变式2](2023•陕西•模拟预测)-3C的内角/,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

c

acosB+bcosA=

V2cosC

⑴求C；

⑵若收6+gc=2a,求A.

【变式3](2012•广西南宁•一模)已知在“3C中，角4伉。所对的边分别为。,6,。，且

yflacosB=ccosB+bcosC■

⑴求角B的大小；

(2)设向量比=(cos4cos2/),力=(12,-5),求当丽・万取最大值时，tanC的值.

【题型四】三大线：角平分线应用

角平分线定理(大题中，需要证明，否则可能会扣过程分)：黑=票

I—I

典例精讲

27r

【例1】(2024•山东淄博・一模)如图，在△Z8C中，/A4c=的角平分线交BC于P点、,AP=2.

(1)若8C=8,求A/BC的面积;

⑵若CP=4,求AP的长.

【例2】(2024•内蒙古呼和浩特•一模)在“3C中，4民。分别为边a/,c所对的角，且满足2a+c=26cosC.

(1)求的大小；

(2)//的角平分线/。交3c边于点D,当c=2,|/D|=近时，求|CD|

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【例3】(2024•四川•模拟预测)记。8c的内角48,C的对边分别为a,6,c,已知!c+b=acosC.

2

⑴求角A；

(2)若b=3,c=5,/BAC的角平分线交BC于D,求的长.

0=□

名校模拟

【变式1](2024・四川遂宁•二模)已知“8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tan8+tanC=3l生.

ccosB

⑴求角c；

(2)若cr＞是N/CB的角平分线，CD=4杷,“BC的面积为184，求c的值.

【变式2](2024•江苏盐城•模拟预测)已知函数/(x)=6sin(=-2x)-sin(¥+2x).

36

⑴若方程仆)=根在工€[-；,会上有2个不同的实数根，求实数加的取值范围；

(2)在“8c中，若/(?)=-2,内角/的角平分线40=6，AB=4i，求/C的长度.

【变式3](2024・四川广安•二模)已知“8C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且

2acosC-ccosB=bcosC.

⑴求角C;

(2)若。。是//C3的角平分线，CD=Mi,"BC的面积为18石，求。的值.

【题型五】三大线：中线应用

中线的处理方法

一，.、»--►1--►--►(21/-----------*--\

1.向量法：AD=-(AB+AC)<»AM+2AB-AC+ACj

2.双余弦定理法(补角法)：

如图设BD=DC,

在中，AB2=AD2+BD2-2xADxBDxcosZADB,①

在△/CD中，由余弦定理得/C?=402+002-2X4DXDCXCOSZADC,②

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因为NAMB+ZAMC=71,所以cosZADB+cosZADC=0

所以①+②式即可

3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形

4.中线分割的两三角形面积相等

I—I

典例精讲

【例1】(2023•浙江•模拟预测)在。8C中，角4SC的对边分别为a,6,c且

bcosC+csinS=a,--"-----=6五，

sin/+2sinB

(1)求6;

(2)求/C边上中线长的取值范围.

4

【例2】(2023•河北沧州三模)在中，角4,B,C所对的边分别为b,c,2sinC=sin5,cosA=—,

be

且的面积为2g.若6C,4C边上的两条中线/M,8N相交于点P,如图所示.

(1)求ZBMA的余弦值；

⑵求MP°+NP2的值.

【例3】(2023•吉林长春•一模)在"3c中，为3c边上中线，BD=43,AD=^7,tanZBAD^—.

2

(1)求08C的面积；

—10—

(2)若/£=亍/D,求/BEC.

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I—I

名校模拟

【变式1X2023•新疆阿勒泰•三模)在“3C中，/A4c=120。，/。为3C边上的中线且/。=2,则48-2/C

的取值范围是.

【变式2](23-24高三上•河北唐山・期末)在AABC中，角48,C的对边分别为a,b,c,6。sinB+acosB=b+c

(1)求A；

(2)设/C边的中线=且/+02=28,求“3C的面积S.

【变式3](2023•全国•模拟预测)在。BC中，内角4民。所对的边分别为。c,且asinC=csin1/+3.

(1)求角A的大小；

(2)若AABC的中线求6+c的最大值.

【题型六】三大线：高的应用

高的处理方法：

1.等面积法：两种求面积公式

taS=-bcsmA=-BCxAD=-c2

222

2.三角函数法：

在ASCD中，BD=ABcosZABD,AD=ABsinZABD,

I—I

典例精讲

TT

【例1】(2024・四川•模拟预测)在力BC中，AB=5,C=-且tan/=3,贝边上的高〃=_____.

4f

【例2】(2024•全国•一模)已知“3c的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且4D是3c边上的

高.(sinA-sinS)(a+Z))=(c-42b)sinC.

⑴求角A；

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(2)若sin(B-C)=,。=5,求AD.

【例3】(23・24高三下•山东济南•开学考试)在中，内角A,B,。的对边分别为。，b,c,已知

bcosA=a(2-cos5).

⑴求£；

a

2兀

(2)若8=三，且/C边上的高为百，求“8C的周长.

I—1

名校模拟

1co

【变式0(2021・湖南株洲三模)已知“3C中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,a-^g=sinC+cosC

sin2BsinC-cosC

(1)求/的大小；

⑵设4D是3c边上的高，S.AD=2,求“3C面积的最小值.

【变式2](2024・贵州・模拟预测)在中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且6(1+cosC)=V§csin8.

(1)求角C的大小；

(2)若°=而，b-a=2,求/C边上的高.

【变式3](23-24高三上•河南周口•阶段练习)记AASC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,

6,c为边长的正三角形的面积依次为岳，S〉邑，且百一邑一邑=/儿.

⑴求角A；

(2)若6=将，D为线段3C延长线上一点，且BD=4CD,求"3C的边上的高.

0

【题型七】图形：内切圆与外接圆

外接圆：

1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形

斜边中点上。

钝角三角形外心在三角形外。

2.正弦定理：，=—=，=2R,其中火为外接圆半径

sinAsinBsinC

内切圆：等面积构造法求半径

S.=—(a+b+c}rr=——

"2''a+b+c

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I—I

典例精讲

【例1】（2024•吉林•二模）已知以8C的三个内角48,C的对边分别为°也CQ/BC的外接圆半径为百，

且sin25+sin2C-sin5sinC=sin2A.

⑴求a；

（2）求“BC的内切圆半径〃的取值范围

【例2】（2023•安徽合肥・模拟预测）法国著名军事家拿破仑・波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三

角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.

如图，在A/BC中，内角/,B,C的对边分别为a/,c,且io（sinOrj=7-cos2/.以为边向

外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为a,a,Q.

（2）若。=3。。0,。3的面积为拽，求。3C的周长.

4

【例3】（2023・江苏镇江•三模）在凸四边形/BCD中，AB=BC=布,NABC=q.

（1）若8。=2疗,COS//8D=；.求CD的长；

⑵若四边形4BCD有外接圆，求4D+CD的最大值.

rr-TJ

名校模拟

【变式1］（2024高三・江苏•专题练习）已知点M为直角“BC外接圆O上的任意一点，

第11页共14页

ZABC=90°,AB=tBC=43，贝4力-砺）•加的最大值为.

【变式2】（23-24高三下•重庆・开学考试）已知四边形ABCD的外接圆面积为g,且3。=疗,C。=2,ABAD

为钝角，

（1）求NBCD和BC-,

（2）若sin//8O=叵，求四边形/BCD的面积.

7

【变式3］（2023•全国•模拟预测）在“BC中，角48,C所对的边分别为应6。。=7*+。=24力。平分

—►8—►5—►

/BAC,^AD=—AB+—AC.

1313

（1）求仇。；

（2）求^ABC的外接圆和内切圆的面积之比.

【题型八】图形：“补角”三角形

I—I

典例精讲

【例1】（2024•内蒙古包头•一模）如图，在“3C中，AABC=90°,D是斜边NC上的一点，AB=^3AD,

ADC

⑴若NDBC=60。，求ZADB和DA；

。若BD=母,证明：CD=2DA.

【例2】（2024・福建•模拟预测）在AABC中，。为3C的中点，S.ZDAC+ZBAC=7i.

⑴求景

Q)若BC=2插4(2，求cosC.

名校模拟

【变式1］（2024•甘肃陇南•一模）在中，内角/,B,C的对边分别为a/,c.已知ccos/+acosC=3•

⑴求6;

TT

（2）。为边“C上一点，AD=2DC,ZDBC=~,ABLBD,求AD的长度和的大小.

6

【变式2］（2023•全国•模拟预测）在①G（6-ccos/）=psin