2024届南平三检数学试题+答案

南平市2024届高三第三次质量检测

数学试题

（考试时间：120分钟满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真

核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在

本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.若复数z满足z+i=2i（z—i）,则［z|=（）

A.lB.V2C.V3D.2

2.已知a,beR,贝U“log2a>log2b”是“g<g”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知向量1,B满足同=4,忖=2,仅图=150。，则之在B上的投影向量为（）

A.bB.y/3bC.—bD.—y/3b

4.对任意非零实数a,当忖充分小时，（1+x）晨l+a-x.如:

凤14+1=22fl+—«2x|l+—x—j=2.25,用这个方法计算近的近似值为

4124)

A.1.906B.1.908C.1.917D.1.919

,(兀贝!Jcos12a一女]=()

5.已知tana+—

16)2I3,)

3344

A.——B.-C.——D.-

5455

6.关于7的实系数二次不等式"+他―1）/+。<0的解集为（―2,—1）,若优—>=1,（x,yeR）,则2"

的最小值为（）

A.-B.V2C.2D.2V2

2

7.在正四面体ABCD中，尸为棱AD的中点，过点A的平面a与平面平行，平面afl平面

ABD=m,平面ap|平面AC。=〃，则根，〃所成角的余弦值为（）

V212V3

A.—B.-C.—D.---

3333

8.已知椭圆C的焦点为耳（—1,0）,工（1,0）,点A在C上，点5在y轴上，F\AL~F\B,

___.?___■

F,A=——F,B,则。的方程为（）

232

X2V2.

A.—+/=1B.---1--------=1

2•32

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.六位评委给某选手的评分分别为：16,18,20,20,22,24.去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据

相比不变的是（）

A.极差B.众数C.平均数D.第25百分位数

10.已知圆C：（x—iy+（y—2）2=25,直线/：（2机+l）x+（机+l）y—7加一4=0（机eR）,则

（）

A.直线/过定点（3,1）

B.圆C被x轴截得的弦长为

C.当加=-2时，圆C上恰有2个点到直线/距离等于4

D.直线/被圆C截得的弦长最短时，/的方程为2x-y-5=0

11.已知函数/（x）及其导函数尸（x）的定义域均为R,记g（x）=/（x）"（x）满足

/（2x-l）-/（3-2x）=4x-4,g（x—l）的图象关于直线x=l对称，则（）

A./（2）-/（0）=2B.g⑴=1

100

c.y=〃1+”一工为奇函数D.£g（左）=10。

k=l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合A=｛（x,y）,2=4%｝,3=｛（羽丁）b=@,则AC5的子集个数为.

13.函数/（x）=sinox（o〉0）在区间-工巴上单调递增，且在区间（0,2兀）上恰有两个极值点，则。的

63

取值范围是.

14.在正四棱台ABC。-AgG，中，AB=2,4月=1，且该正四棱台的每个顶点均在表面积为8兀的

球。上，则平面3CGB1截球。所得截面的面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

31

已知函数/(x)=axln%——x——+2,且/(x)图象在x=1处的切线斜率为0.

22%

(1)求〃的值；

⑵令g(x)=r(x),求g(x)的最小值.

16.(本小题满分15分)

建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧

制而成，工艺难度大，成功率低.假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏10个，其中

5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙三人烧制建盏的成品率依次为

0.2,0.1,0.3.

(1)从这10个建盔中任取1个，求取出的建或是成品的概率；

(2)每件建盖成品的收入为1000元，每件废品的收入为0元.乙烧制的这3件建盔的总收入为X元，求

X的分布列及数学期望.

17.(本小题满分15分)

如图，在四棱锥P—A3CD中，P41,平面ABC。，AB//CD,AB=BC=AD<CD,

2itCMDN

ZABC=—.M,N分别为棱CD,尸。上的动点(与端点不重合)，且一=—.

3CDDP

(1)求证：ADJ_平面APC；

⑵若AP=#>AB,设平面AMN与平面APC所成的角为a,求cosa的最大值.

18.(本小题满分17分)

已知A(-1,0),4(1,0),直线A。，&P相交于点P,且它们的斜率之积是4,记点尸的轨迹为曲线

C

(1)求C的方程；

(2)不过A，4的直线/与C交于M，N两点，直线A£4,与N4交于点S,点S在直线x=g上，证

明：直线/过定点.

19.(本小题满分17分)

若数列｛%｝共有机®eN*,修3)项，对任意由eN*,0")都有q-S(S为常数，且S〉0),

则称数列｛%｝是S关于m的一个积对称数列.已知数列｛凡｝是S关于加的一个积对称数列.

(1)若机=3,。[=1,%=2,求。3的值；

A

(2)已知数列也｝是公差为d(dwO)的等差数列，b]=-Ll,若加二10,。〃=」也，求d和S的值;

bn

⑶若数列｛%｝是各项均为正整数的单调递增数列，求证：%+也+…+&+2〈奥.

。2%盘3

南平市2024届高中毕业班第三次质量检测

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.A2.A3.D4.C5.A6.C7.B8.D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.BC10.ACD11.ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

358

12.413.-<®<-14.—兀

447

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分13分）

31

【解析】（1）/,（x）=tz（l+ln%）-j+—,

依题意得广⑴=0,

所以。=1.

31

（2）由（1）知函数/（%）二刃!1¥-5%-5-+2,

“X）的定义域为（0,+oo）,

11

/'（X）=lnx+

MW

则g（x）=lnx+^y-,求导得/（冗）二』一」=x2-l

2%2xxX3

当0<%<1时，g'（x）<0,当％>1时，>0,

则函数g（力在（0,1）上递减,在（1,+8）上递增,

g（x）min=g⑴=8

16.（本小题满分15分）

【解析】（1）设事件3为“取得的建盏是成品”，事件4,4,4分别表示“取得的建盏是由甲、乙、

丙烧制的”.

51391

则尸（4）=—=—，P（A）=—=0.3,P（A）=—=-

'力102'〃10V37105

又尸（必4）=02,P（B|A）=0.2,P（B|4）=0.3,

所以P(B)=P(A)P3a)+P(4)P(而A)+P(A3)P(B|A)

=0.5X0.2+0.3x0.1+0.2x0.3=0.19

（2）设这3件中成品的件数为y.由题可知Y〜

因为X=1000Y,X的可能取值为0,1000,2000,3000

729

所以尸(x=o)=p(y=o)=c；

1000

243

P(X=IOOO)=P(Y=I)=C；

1000

27

P(X=2000)=P(y=2)=C^

-iooo,

i

()()；

PX=3000=Py=3=Cwoo

所以X的分布列为

X0100020003000

729243271

P

1000100010001000

c729243271

所以E（X）=Ox------+1000x——+2000x——+3000x——300元

1000100010001000

17.(本小题满分15分)

【解法一】

2兀

⑴因AB=BC=A。，AB//CD,ZABC=—,

3

jr2jrjrjr

所以/CA5=—,ZCAD=------=—,即ADLAC

6362

又PA，平面ABCD,所以P4，AD

因ACnP4=A

所以AD,平面PAC

（2）设AD=1,如图所示，建立空间直角坐标系A-盯z.

则有两'=/［丽，DN=ADP

即■一百,%，4)=川-百,1,0),解得M(百(1-4),40)

设平面AMN的法向量为“=(x,y,z),

令x=l,贝叮=或二1z=

得平面AMN的一个法向量为£=[1,逝—I),(匕」

222

\7

又由(1)可知血=(0,1,0)是平面APC的一个法向量，则有

当且仅当[匕4]=1,即;1=工时取“=”

I-2

又ae［o，D，所以costz的最大值cosa=V15

【解法二】

(1)同解法一

(2)不妨设AD=1,由AC,AD,AP两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系A-盯z,

则根据题意可得：AM=2AC+(1-2)AD=(732,1-2,0)

AN=AAD+(1-A)AP=

2e(O,l)

设平面AMN的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-AM=V32x+(l-2)y=0

n-AN=+V3=0

取x=l

'叵22

于是n=

V32(2-l)

cosa=i

^(2-1)4+322(2-1)2+24

当且仅当［匕=1,即;1=工时取“=”

I-2

又。生］

所以cosa的最大值cosa

18.(本小题满分17分)

【解法一】

(1)设P(x,y),则即&即A,=^y(xwl)

X+1X—L

由已知，有上y=4(%w±1),

x+1x-l

y2/、

故C的方程为一7=1("±1)

（2）设〃（菁,％）,N（x2,y2）

若直线/的斜率为0,则直线MA,与N4的交点在y轴上，与已知矛盾,

故设直线/的方程为：x=my+n[n=+\）

,[x=my+n（、

由《，，得z，（4m02-l）^2+8mny+4n2-4=0,

4x—y=4'7

22nW-4

A-16(4m+n-1]>0,则%+%=—§7

74m-1MF4m2-1

由点S在直线X=，上，设则左AM=——=2%，

21214M1+13

2

所以=-3左,又鼠N,ZaN=4，则左AN，(—344加)=4,

4

即m=-屋

%%一

•一4,

x2+lXj+13

—3%%=4(7吵+72+l)(/n%+〃+1),

(4疗+3)%>2+4(m〃+机)(％+%)+4(〃+1)~=0,

/.2c\4〃2—4"/x-Smn八2c

(4m~+3；----F4(mn+m)----l-4(n+l)=0,

'U'74m2-lV)

n2-n-2=0,所以〃=一1（舍去），或〃=2,

所以/的方程为x=/ny+2,过定点（2,0）

【解法二】

（1）同解法一；

（2）设M（X]，x）,N（x2,y2）,

若直线/的斜率为①则直线加4与的交点在y轴上，与已知矛盾,

故设直线I的方程为：x=my+n^n=±1)

x=my+〃/

由＜收-：=4得’(4m2-1)/+8加*+4n2-4=0,

—Smn4/-4

A=16(4机2+〃2一］)〉Q,则X+%

4m2—1MF4m2-1

所以(/_1)(%+%)=-2mny1-y2,

叩_(/-1)(%+%)

即YYty^,2—9

2n

又直线股的方程为y=上^(x+1),

I1

直线N%的方程为y=—1),

%2—1

联立直线MA1与直线N4的方程，可得V1(x+l)=』7(x

又点S在直线x=，上，故％，1+,=_3,

2%(丁1)

所以%(苞+1)=%(g+〃+l)=阳］%+("+1)%

%(%2-1)%(m为+"-1)加M%+("-1)%

y-1)(y1+y2)1(〃-1)(%+%)

"1旧_”+1%

2n2n

1(“2—孤+%)n—1("+1)(%+%)

----------------------+1(〃-1)%X

In2n

_n+1+_〃+1_a

—•/\一(7-=-J，

n—\一(〃+1)%+(〃—1)弘n-1

故〃=2,直线/的方程为1=加歹+2,过定点(2,0)

19.(本小题满分17分)

q

【解法一】(1)依题意S=a2a2=4,所以。3=—=4

ax

(2)由机=10知对任意，都有。刈“7=S

即4+2%-i_4+('+l)dx4+(12-')d_q

2i4+(，-l)d4+。。-，”

22

b^+(12+lli-i)d+13b1d

厅+(—10+Hi—/"2+950-'

所以一储『+11/i+12d②+厅+1360=S(-d2i2+lld2i-10d2+邛+9仇力

-d2=-d2S

所以lid2=lid2S

12d2+厅+13如=S(-10/+厅+如)

5=1

因dwO,4=—11所以《